2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷（福建专用，新教材人教版）

**基本信息** 2026年秋季九年级开学学情自测卷，聚焦一元二次方程与二次函数，通过基础题巩固概念，综合题（如丢沙包轨迹、拱桥问题）考查模型应用，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|一元二次方程定义、解法，二次函数顶点坐标等|如第1题考定义，第3题考顶点，夯实基础概念| |填空题|6题24分|增长率问题、方程根与系数、二次函数表达式|11题产量增长模型，体现数学应用意识| |解答题|8题86分|综合实践（丢沙包轨迹）、新定义“灵粹二次方程”、动态几何面积|23题用二次函数解决运动轨迹，24题新定义探究，考查建模与推理能力，契合中考趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版九年级上册第25章一元二次方程，第26章二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 6．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 7．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 10．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 12．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 14．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 15．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 16．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24、25题每题13分． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 20．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 21．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 22．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 23．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 24．已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”． (1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号） ①    ②    ③ (2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值． (3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时． ①试求出m的取值范围． ②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版九年级上册第25章一元二次方程，第26章二次函数 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 6．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 7．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 10．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 12．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 14．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 15．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 16．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24、25题每题13分． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 20．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 21．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 22．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 23．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 24．已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”． (1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号） ①    ②    ③ (2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值． (3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时． ①试求出m的取值范围． ②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式中顶点坐标直接求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，本题中抛物线解析式为，对应得，， ∴抛物线顶点坐标为． 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 5．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 6．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 7．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 10．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 【答案】 【详解】解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 12．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式，可据此求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程中，，，； 若方程有实数根，则 ， 解得； 故的取值范围是：． 13．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 14．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 15．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 16．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24、25题每题13分． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 20．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 21．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 22．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 23．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 24．已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”． (1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号） ①    ②    ③ (2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值． (3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时． ①试求出m的取值范围． ②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)当时，；当时， (3)①或；② 【分析】（1）分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程”的定义进行判断即可； （2）先将t当作已知数，解一元二次方程，得出，，根据此方程是“灵粹二次方程”，得出或，解得或，然后分别求出一元二次方程的最大值即可； （3）①先求出点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可； ②根据m为整数，先求出m的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：，， ∵， ∴此方程是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：， ∵， ∴此方程不是“灵粹二次方程”； 综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②． 故答案为：②． （2）解一元二次方程得：，， ∵是“灵粹二次方程”， ∴或， 解得：或， 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当或时，函数最大，此时最大值为： ； 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当时，函数最大，此时最大值为： ； 综上分析可知，当时，；当时，． （3）①联立，解得：， ∴点A的坐标为：， 把分别代入和得：和， 解得：和， ∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0）， 直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：； 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：； 综上分析可知，m的取值范围是：或； ②存在； ∵m为整数， ∴当时，， ∴此时，解得：， “灵粹二次方程”的二次项系数a=1， ∴， 即， ， ∴， ∴该“灵粹二次方程”； 当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”； 综上分析可知，该“灵粹二次方程”为． 【点睛】本题是一道新定义类题目，求二次函数的最值，解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法，理解新定义，是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学分班·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A B D D A D C D 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11． 12． 13． 14． 15．四 16． 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24、25题每题13分．· 17． 【详解】（1）解：∵， ∴，······（2分） ∴，······（3分） ∴或， ∴，；······（4分） （2）解：∵， ∴，，，······（5分） ∴，······（6分） ∴，······（7分） ∴，．······（8分） 18． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得，······（2分） ∴抛物线的函数解析式为；······（3分） （2）将代入，得， ∴点， ∴，·····（4分） 令，得，解得，，······（5分） ∴点， ∴，······（7分） ∴．······（8分） 19． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴，······（3分） 解得；····（3分） （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，，······（5分） ∵， ∴， 解得 ， ∴，······（7分） ∴．·····发（8分） 20． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件；······（3分） （2）解：由题意可得，，······（5分） 解得，（舍去），，······（7分） 故每件衬衫应降40元．······（8分） 21． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ······（1分） 设抛物线的解析式为，······（2分） 将，代入，， 得， 解得，······（3分） 因此，该抛物线的解析式为；······（4分） （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时，······（5分） ，··（8分） 解得或， 此时水面宽度为，······（7分） 答：此时水面宽度为．······（8分） 22． 【详解】（1）解：，······（1分） 由题意得，解得；······（3分） ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得，······（4分） 解得，（舍去）， ∴的长为米；······（6分） （2）解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，，······（7分） 则围成的菜地面积，······（8分） ，······（9分） ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米．······（10分） 23． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： ······（1分） 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中，······（3分） 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为，······（4分） 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心．······（5分） 略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，······（6分） 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：，······（8分） 解得， ∴抛物线的解析式为，······（9分） 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，· 即沙包达到最高点时距离地面米．······（10分） 24． 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：，， ∵， ∴此方程是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：， ∵， ∴此方程不是“灵粹二次方程”； 综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②． 故答案为：②．······（3分） （2）解一元二次方程得：，，······（4分） ∵是“灵粹二次方程”， ∴或，· 解得：或，······（5分） 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线，······（6分） ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当或时，函数最大，此时最大值为： ；······（7分） 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当时，函数最大，此时最大值为： ； 综上分析可知，当时，；当时，．······（8分） （3）①联立，解得：， ∴点A的坐标为：， 把分别代入和得：和， 解得：和， ∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0）， 直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为······（9分） 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：；······（10分） 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：； 综上分析可知，m的取值范围是：或； ②存在； ∵m为整数， ∴当时，， ∴此时，解得：，······（11分） “灵粹二次方程”的二次项系数a=1， ∴， 即， ， ∴， ∴该“灵粹二次方程”；······（12分） 当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”； 综上分析可知，该“灵粹二次方程”为．······（13分） 25． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点，······（1分） 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得，······（3分） 则抛物线的表达式为；······（4分） （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为，······（5分） 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点，······（6分） ， ， ， ， ，······（7分） ，对称轴为， 又， 当或时，，······（8分） ， 四边形面积的取值范围是；······（9分） （3）解：，······（10分） ， ， ， ， ，······（12分） ， 的最大值为．······（13分） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11．_________ 12．_________ 13．_________ 14．_________ 15．_________ 16．_________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（13分） （备用图） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 ■ 分蜘训浒 ! K-2)0-8-2. 站： 17.(S分)明语华助听快帮大气程： )填含限：还帮社心以限、有障4公)出4公 4[A]B][C]D] 3 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 快工路、传池满照。 8 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 搜健人公用0。amm县电安卡金务 0 6 100 22+38-1-0 10 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20.(8分) (1)每件衬衫的盈利为 元，每天可售出的衬衫 件： (用含x的代数式表示) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 工 工 ■ 4m 22.(10分) M N D M D 门 门 B (图1) (图2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) .5m 10m 请在各题目的答题区域内作数，麴第黑顶知迠稬限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) 请在各题目的答题区域内作蠖，学第黑亟炬瘫限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) M B B (备用图) 请在各题目的答题区域内数学，第超6属矩⑨须框限定区域的答案无效！2026年秋季九年级开学·学情自测卷 : 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版九年级上册第25章一元二次方程，第26章二次函数 o 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 : 1.下列方程是一元二次方程的是() % A.x+1=2 B.x2+y2=3 C.x2+2x=4 D.5 2.方程x2=2x的根是() A.X=2 B.X=x3=2 C.x=-2 D.X=0,x2=2 3.抛物线y=(x-3)2-2的顶点坐标是() : A.(3,-2) B.（-2,3) c.(2,3 D.（-3,-2) 4.关于x的一元二次方程x(x-)=0化为一般形式为() A.x2+x=0 B.x2-x=0 C.x2-1=0 D.x2+1=0 5.将一元二次方程x2-x=0配方后变形为(x+a)=b,则a的值为() A.-1 B.1 C.3 : 2 6.将抛物线y=4x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是() 拟 : A.y=4(x+3)2+2 B.y=4(x-3)2-2 : C.y=4(x+3)2-2 D.y=4(x-3)2+2 7.设x,x2是一元二次方程3x2+4x-2=0的两个根，则() A.X+x2=- 3 B.x+=3 4 : 2 C. ·: D.X=3 8.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 式题第1页（共8页） 6学科网·上好课 9.已知函数y=x2-2x-3的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是() A.当x=1时，函数有最大值是4 B.图象与x轴的交点为(-1,0)和(2,0) C.当x<-1或1<x<3时，函数值y随x值的增大而减小 D.若直线y=m与函数图象至少有3个公共点，则m的取值范围是0<m<4 10.已知二次函数y=ax2+bx-1的图象与x轴没有交点，且过点A(-2,y),B(-3,y),C(1,2),DV5,), 则y,2,八的大小关系是() A.2>月>B.>y2>H C.y>v:>v D.y>y>V 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分， 11.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年 增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件.若设这个百分数为x,则可列方程 12.若关于x的方程x2+4x+k=0有实数根，则k的取值范围是 13.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2021-a-b的值是 14.己知抛物线的顶点坐标为(2,4)且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是」 15.若二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ar+a不经过第 象限， 16.在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且DQ=V2AP,则PQ 的最小值为 B 三、解答题：本题共8小题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24、25题每题13分. 17.用适当的方法解下列方程： (1)(x-2)=x-2: (2)x2+3x-1=0. 18.抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C. x (1)求抛物线的函数解析式. (2)求AC的长 19.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围： 试题第2页（共8页） 可学科网·上好课 (2)若方程的两根为x,x2,且x,=2x2,求m的值. 20.某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件.经调查 发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场 决定采取适当的降价措施.设每件衬衫降价x元 (1)每件衬衫的盈利为 元，每天可售出的衬衫 件；（用含x的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 21.如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m.若以通过拱顶点O的水平直线为x轴， 过点O的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系. 工 3m 4m (1)求出该抛物线的解析式。 (2)若水面下降1m,则此时水面宽度为多少m.(结果允许保留根号的形式) 22.某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MW,现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地ABCD, 菜地左右两边各开一扇宽为1米的门.已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏 D M B (图1) (图2) (1)如图1，当AD≤MN时，设AB长为x米 ①请用含x的代数式表示BC的长，并写出x的取值范围. ②若围成的菜地面积为96平方米，求AB的长. (2)如图2，当AD>MW时，围成的菜地面积是否可以达到121平方米？说明理由， 23.综合与实践一一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶 心，则获得游戏奖励. 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动， 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作 用) 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m,出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m.沙包在距离出手 点的水平距离为3时达到最高点，最高点距离地面2m.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心. 试题第3页（共8页） : 5m -10m : (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m. 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的 水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米， 24.己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)，我们规定：若该方程的两根 满足上=-2，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，七、：，称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前 根” (1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是 (仅填序号) 张 ①3x2-5x+3=0②xr2+2x-8=0③x+2=-J (2)已知关于x的一元二次方程x2-(21+1)x+2+1=0为“灵粹二次方程”，求：当-1≤x≤2时，函数 y=x2+3x+912+1的最大值. 样 (3)直线y=x+3与直线y=-x+1相交于点A,并分别与x轴相交于B、C两点，若、n是某“灵粹二次方 游 程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为(，)，当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时. ①试求出m的取值范围. ②若为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存 S 在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由、 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=x2+bx+c与坐标轴交于点A(-3,0),B,C(1,0)点，过A, B的直线解析式为，=x+3,M为第二象限内抛物线上一动点. M 世 (1)求抛物线的解析式： (2)求四边形AMBC面积的取值范围； (3)若△MAB的面积为S,△MBC的面积为S2,求S+S2的最大值. 试题第4页（共8页） :