四川省泸县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷

**基本信息** 本试卷为高二数学期末模拟卷，涵盖解析几何、立体几何、概率统计等核心模块，以战国铸铁技术、新能源汽车销量、奥运会知识竞赛等情境为载体，考查数学眼光、思维与语言，体现文化传承与现实应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线倾斜角、复数虚部、抛物线焦点、独立事件概率|第7题结合铸铁技术考圆台表面积，第6题通过折线图分析数据特征，渗透数学建模| |填空题|3题15分|圆的方程、圆柱体积与异面直线所成角、抛物线性质|第14题综合抛物线垂直关系与圆上动点最值，考查运算能力| |解答题|5题77分|频率分布直方图、四棱锥线面垂直与二面角、双曲线中垂线证明、椭圆斜率定值与最值|第15题以奥运会知识竞赛为背景考分层抽样概率，第19题椭圆综合题涉及定值证明与最小值求解，梯度设计合理，注重逻辑推理与创新应用|

高2024级2025年秋期期末模拟考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3页至4页。共150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1、经过点，的直线的倾斜角为（ ） A、 B、 C、 D、 2、在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的虚部为（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知抛物线：的焦点为，点在上，，则点到轴的距离为（ ） A、 B、 C、 D、 4、已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则“两个事件，至少有一个发生”的概率为（ ） A、 B、 C、 D、 5、已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A、 B、 C、 D、 6、某机构对年至年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ） A、这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为 B、这十年中国新能源汽车年销售量的极差为 C、这十年中国新能源汽车年销售量的上四分位数为 D、这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 7、中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展。现将一个体积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，高为，则该圆台的表面积为（ ） A、 B、 C、 D、 8、已知是椭圆：（）的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为(     ) A、 B、 C、 D、 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏。在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有人出的是布。则（ ） A、与互斥 B、与互为对立事件 C、 D、 10、已知双曲线左右顶点为，，为双曲线右支上任意一点（异于，两点），设，，点到两条渐近线的距离分别为，，则下列选项正确的是（ ） A、焦点到渐近线的距离为 B、的值随着增大而增大 C、 D、乘积为定值且为 11、如图，棱长为的正方体中，是线段上的动点（包含端点），给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A、 B、三棱锥中，点到平面的距离为定值 C、当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 D、直线与平面所成角的正弦值的范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12、若圆：的面积为，则实数的值为_____ 13、如图，在圆柱中，半径，等于，且，该圆柱 的体积为，则异面直线与所成角的正切值等于_______ 14、抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点，满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆：的一个动点，则的最大值为_______ 四．解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(本小题满分13分) 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图。 （Ⅰ）求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）现从以上各组中用分层抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若有甲（年龄），乙（年龄）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率。 16、(本小题满分15分) 四棱锥中，平面平面，，，，，，是中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值。 17、(本小题满分15分) 已知点，，，点在圆：上运动． （Ⅰ）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （Ⅱ）求的取值范围． 18、(本小题满分17分) 已知双曲线：（，）的虚轴长为，焦距为。 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线：交双曲线的右支于，两点，线段的中垂线过点。 （i）证明：； （ii）若，求。 19、(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，左、右顶点分别为和，上顶点为，且． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若，是上异于，的两点． （i）若直线过左焦点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知点，若直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求的最小值。 高2024级2025年秋期期末模拟考试 数 学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C A B D C A ACD AC ABD 12．2 13． 14． 15.（1）由题意有：，解得，     2分 设这n人的平均年龄为， 则， 6分 （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 8分 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 10分 设事件为“甲、乙两人恰有一人被选上”， 则，共包含8个等可能的样本点， 12分 所以. 13分 即甲、乙两人恰有一人被选上的概率为. 16.（1）因为，O是AB的中点，故， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面， 2分 而平面，故. 在中，，故，同理. 在直角梯形中，， 故，， 6分 而平面， 故平面. 7分 （2）在平面中，过作，则， 而由（1）可得平面，而平面，故，故可建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴在上，则故， 9分 设平面的法向量为， 则 ，故，取，则，故， 11分 设平面的法向量为，而， 故，则，取，故，故. 13分 故， 求平面POD与平面PCD的夹角的余弦值. 15分 17.（1）解：设所求直线为，圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，方程为，显然与圆相离， 1分 所以直线的斜率存在，设方程为，即， 因为直线过点且被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 2分 所以，即，解得或. 4分 当时，直线方程为；当时，直线方程为； 综上，所求直线的方程为或 7分 （2）解：设点，则， 则，， ， 10分 所以 12分 因为，所以，所以 所以的取值范围为 15分 18.（1）【详解】（1）由题知 ， 则双曲线C的方程为： ； 4分 （2）（i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 6分 则， 则的中点为，即， 8分 因为线段的中垂线过点，则，整理得. 10分 （ii）由（i）知，，则，， 由于G,H在双曲线右支，则，， 则，解得， 11分 又 ， 则,又， 13分 因为 则，即，符合 15分 由，则 所以 17分 19.（1）由椭圆E：，可得，，， 因为，可得. 2分 又因为，且，解得， 所以E的方程为. 5分 （2）（i）由已知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为，，， 由，得， 所以， 7分 因为，，所以，， 所以 8分 即为定值 11分 （ii）设，，直线MN的方程为， 由得， 而，且，. 12分 又，，设， 由S，，三点共线，得；由S，N，三点共线，得， 所以 . 14分 故直线OS的斜率，则直线OS的方程为， 由，解得，因此点在定直线上. 16分 点O关于直线的对称点， 所以， 当且仅当，T，三点共线时等号成立，所以的最小值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $