专题15 因式分解计算题分类训练（7种类型56道）2026-2027学年八年级数学上册高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦因式分解7种核心方法，以类型化训练构建从基础到进阶的方法体系，通过阅读材料与例题结合提炼解题技巧，逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |提取公因式法|8道|系数/字母/符号公因式提取|基础方法，因式分解第一步| |公式法|8道|平方差/完全平方公式应用|直接应用公式，承上启下| |分组分解法|8道|两两/三一分组，组内提公因式/套公式|多項式分解过渡技巧| |十字相乘法|8道|二次项与常数项因数分解匹配|二次三项式快捷分解法| |拆项法|8道|拆中项/常数项构造公因式或公式|非常规多项式转化技巧| |换元法|8道|整体设元简化多项式结构|复杂多项式降维处理策略| |配方法|8道|添项构造完全平方再用平方差|高阶转化思想，培养抽象能力|

专题15 因式分解计算题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 提取公因式法因式分解】 1 【类型2 公式法因式分解】 5 【类型3 分组分解法因式分解】 8 【类型4 十字相乘法因式分解】 15 【类型5 拆项法因式分解】 17 【类型6 换元法因式分解】 24 【类型7 配方法因式分解】 34 【类型1 提取公因式法因式分解】 1．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n+16m3n－28m2n． 【答案】(1)x(2x－y) (2)－4m2n(m2－4m+7) 【分析】（1）先确定公因式，将公因式提到括号外，括号里为原多项式中每一项除以公因式所得结果， （2）先确定公因式，将公因式提到括号外，括号里为原多项式中每一项除以公因式所得结果． 【详解】（1）解：原式=x(2x－y)， （2）解：原式=－4m2n（m2－4m+7)． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 4．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可； （2）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【类型2 公式法因式分解】 9．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．因式分解。 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 11．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式 13．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式y，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 16．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【类型3 分组分解法因式分解】 17．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法； （1）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解； （2）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． （1）利用分组分解法得出，再根据公式法进行因式分解． （2）利用分组分解法得出、再根据公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成，前者利用平方差公式分解后，再利用提取公因式分解即可； （2）分成，前者利用完全平方公式分解后，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ² ； 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及平方差公式，能正确给多项式分组是解决本题的关键． 20．阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解， 过程如下： ． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可； （2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点． 21．先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，理解阅读材料并灵活应用是解决问题的关键． （1）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （2）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （3）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 22．先阅读下列材料，再解答问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了. 解答过程如下： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述思想方法，把下列各式分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的； （2）原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 23．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型4 十字相乘法因式分解】 25．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 26．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 27．因式分解：． 【答案】 【详解】解：． 28．因式分解：． 【答案】 【分析】利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 29．因式分解：． 【答案】 【分析】根据“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 30．因式分解：． 【答案】 【分析】使用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：原式． 31．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，先将看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 32．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法及完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式． 【类型5 拆项法因式分解】 33．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①② (2)等腰三角形，理由： 由得： ， 即， ∵△的三边长为，，， ∴，， ∴ ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用分组分解法、拆项法进行因式分解． （1）先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）对等式左边分组分解，前两项一组，后两项一组，各自提公因式后两组再提公因式，得，因为△的三边长为，，，所以，则，据此得出的形状． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）略 34．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）略 35．利用拆项法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解； （）将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． 【详解】（1）原式， ， ， ； （2）原式 ， ， ， ． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值． 36．利用拆项法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值． （1）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （2）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （3）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 37．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了拆项法分解因式． 通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 38．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 39．对于二次三项式，不能直接用公式法，我们可以在二次三项式中先加上一项，构造完全平方式，再减去．例如：．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． (1)请用上述方法把分解因式． (2)多项式有最小值吗？如果有，请求出多项式的最小值和x的值． 【答案】(1) (2)有最小值，最小值是，． 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为，再根据完全平方式的非负性解答． 【详解】（1）解：（1）原式 ． （2）解：． ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是，此时． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 40．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 【答案】(1) (2) (3)有最小值2 【分析】（1）根据题中定义求解； （2）化成即可求解； （3）把化成二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：； （3）解：， ∴二次函数有最小值2； 【点睛】本题考查了新定义下的运算，运用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【类型6 换元法因式分解】 41．阅读材料，并解决问题： 分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则原式变为，从而可用完全平方公式进行因式分解，最后再换回即可； （2）令，则原式变为，从而可用完全平方公式进行因式分解，最后再换回，再继续进行分解即可． 【详解】（1）解：令，则原式； （2）解：令， 则原式 ． 【点睛】本题考查了较复杂的多项式的因式分解，运用换元法，达到化繁为简，是本题的关键． 42．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 43．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式． 44．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 45．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用配方法和换元法进行因式分解及平方差公式的应用． （1）使用配方法先在式子中将原式中的常数项3变形为，使式子出现完全平方式，前三项符合完全平方式，再根据平方差公式进一步分解即可； （2）用换元法设，原式变为，先展开式子，再用配方法，最后根据平方差公式进一步分解，最终将代回原式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：令， 则 ． 46．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 47．阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解：， 设， 则：原式 ． 故答案为：； （3）解：， 设， 则：原式 ． 48．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）设 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 【类型7 配方法因式分解】 49．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 【答案】（1）； （2）解： ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数； （3）解：设， 原式 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 （3）略 50．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论  ②数形结合  ③整体思想 【答案】（1）； （2）原式 ． 一定是一个非负数， 一定是一个正数． 即原式的值一定是一个正数． 任务二： （3）设，则原式化为 ． （4）③ 【详解】本题考查了用配方法分解因式，掌握因式分解的完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）将多项式，再，使构成完全平方式，再运用平方差公式分解即可； （2）将多项式，再，使构成完全平方式，原式化为，再根据平方的非负性判断即可； （3）设，则原式化为，进一步按配方法分解，分解后将代入即可得解； （4）将看作一个整体，这种解题方法是整体思想，据此回答即可． 解：任务一： （1）原式 （2） 略 任务二： （3） 略 （4）③． 故答案为：③． 51．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法变形为，由此即可得； （3）将原式变形为，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为6． 52．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 53．【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)的最小值为4 【分析】本题考查了配方法及其应用，熟悉完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点即可求解； （2）利用配方法可配方为，再用平方差公式进行分解即可； （3）多项式配方为，由平方的非负性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴括号内的常数应为9， 故答案为：9； （2）解： ； （3）解：， ，   ， 即的最小值为4． 54．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ． 即的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______ （2）用配方法分解因式：； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数满足，则的最小值为______ 【答案】（1）16；（2）；（3）的最小值为2；（4）3 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ， 故答案为：16； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 55．阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，N有最小值是6 (4) 【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可； （4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 常数项为25． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴当时，N有最小值是6； （4）解： ∵ ∴ ∴． 56．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即的最小值为． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 因式分解计算题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 提取公因式法因式分解】 1 【类型2 公式法因式分解】 2 【类型3 分组分解法因式分解】 3 【类型4 十字相乘法因式分解】 6 【类型5 拆项法因式分解】 6 【类型6 换元法因式分解】 8 【类型7 配方法因式分解】 12 【类型1 提取公因式法因式分解】 1．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n+16m3n－28m2n． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 4．因式分解： (1)； (2)． 5．因式分解： (1)； (2)． 6．因式分解． (1) (2) 7．因式分解： (1)； (2)． 8．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【类型2 公式法因式分解】 9．因式分解： (1)； (2)． 10．因式分解。 (1) (2) 11．因式分解： (1) (2) 12．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 13．因式分解： (1) (2) 14．因式分解： (1)； (2)． 15．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 16．分解因式： (1)； (2) 【类型3 分组分解法因式分解】 17．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 18．将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 19．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如： 请你仿照以上方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2) 20．阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解， 过程如下： ． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 21．先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 22．先阅读下列材料，再解答问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了. 解答过程如下： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述思想方法，把下列各式分解因式： （1） （2） 23．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 24．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【类型4 十字相乘法因式分解】 25．因式分解： (1) (2) 26．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 27．因式分解：． 28．因式分解：． 29．因式分解：． 30．因式分解：． 31．因式分解：． 32．因式分解： 【类型5 拆项法因式分解】 33．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 34．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 35．利用拆项法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 36．利用拆项法分解因式： (1)； (2)； (3)． 37．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 38．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 39．对于二次三项式，不能直接用公式法，我们可以在二次三项式中先加上一项，构造完全平方式，再减去．例如：．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． (1)请用上述方法把分解因式． (2)多项式有最小值吗？如果有，请求出多项式的最小值和x的值． 40．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 【类型6 换元法因式分解】 41．阅读材料，并解决问题： 分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 42．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 43．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 44．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 45．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式：． 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)结合材料1和材料2，将因式分解． 46．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 47．阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 48．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【类型7 配方法因式分解】 49．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 50．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论  ②数形结合  ③整体思想 51．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 52．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 53．【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 54．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ． 即的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______ （2）用配方法分解因式：； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数满足，则的最小值为______ 55．阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 56．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $