32.1 锐角三角函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件围绕锐角三角函数展开，涵盖正弦、余弦、正切的定义及30°、45°、60°角的三角函数值，通过30°、45°直角三角形边比问题导入，结合相似三角形推理比值为定值，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于实例剖析融入几何直观，如坐标系中点转化为直角三角形求正弦，通过相似推理培养推理意识，用表格总结特殊角值规范表达，助力学生形成抽象能力与应用意识，教师可借此高效开展教学。

锐角三角函数 模块一： 正弦函数 A B C 30° 35m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 在Rt△ABC 中，如果∠C=90，∠ A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 解：因为∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2， 所以 因此 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 ∠A的对边 斜边 sin A = 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，求 sinA 和sinB 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA，则 PA⊥OA . A (3，0) 在Rt△APO中，由勾股定理得 因此 α 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 解：∵∠C=90°， ∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴ 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长． 解：由sinA= ，设BC=7x，则AB=25x. 在 Rt△ABC中，由勾股定理得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm). 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2. 如图， 在△ABC中，∠B=90°，sinA的值为 ( ) 7 A C B 3 A. B. C. D. A 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC ＝ ，∴ AB2 ＝ BC2＋AC2，∴ ∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC＝ 4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上， BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =______. 解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD 即可． O x y A C B D 5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D， ∵ sinA = ， ∴ 又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示? A C B D 解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°， ∴∠ACD = ∠B=90°－∠A， ∴ (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： 由 (1)知， 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 模块二： 余弦和正切 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 A B C 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边 cos A = 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ A B C D E F 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 A B C 邻边 对边 　锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 因此 A B C 6 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值． 解：在Rt△ABC中，∵ 又∵ ∴ 在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他的 所有锐角三角函数值 1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A=35°，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D. A A B C 2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°. 故选D. D 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值． 解：在 Rt△ABC 中，由 A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ ∴ 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ CD⊥AB， ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = 5. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC，BC=6， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中， ∴ tanB = A B C ∴ D 提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形. 余弦函数和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 锐角∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 模块三： 特殊角的 三角函数 30°、45°、60°角的三角函数值 一 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a， 另一条直角边长 = ∴ 30° 60° ∴ 30° 60° 设两条直角边长为 a，则斜边长 = ∴ 45° 45° 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角α 三角 函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 例1 求下列各式的值： 提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°). 解：cos260°+sin260° (1) cos260°+sin260°； (2) 解： 解： 在图中， A B C 例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ， BC = ，求 ∠A 的度数； ∴ ∠A = 45°. ∵ 解： 在图中， A B O ∴ α = 60°. ∵ tanα = ， (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数. 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0， ∴ tanA＝1，sinB＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 例4 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tanα ＞0，∴ tanα =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ tan60° 1. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A．40° B．30° C．20° D．10° D A. cosA = B. cosA = C. tanA = 1 D. tanA = 2. 已知∠A为锐角， sinA = ，则下列正确的是 ( ) B 3. 在 △ABC 中，若 ， 则∠C = . 120° 4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B， 再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC， 则 sin∠AOC 的值为 _______. O A B C 5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ； (4) 答案：(1) (2) (3) 2 (4) 6. 如图，在△ABC中，∠A=30°， ， 求 AB的长度. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A=30°， ， ∴ A B C D ∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5. 30°、45°、60°角的三角函数值 通过三角函数值求角度 特殊角的三角函数值 $