第28章 锐角三角函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学锐角三角函数单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的定义、特殊角值、解直角三角形及应用，通过分点归纳和逻辑递进将定义、性质、关系与实际问题串联，构建从基础到应用的完整知识网络。 其亮点在于结合实例培养数学眼光与应用意识，如通过测量大树高度、防洪大堤加固等实际问题，引导学生用三角函数解决问题，同时设计分层例题与针对训练，从基础计算到综合应用，帮助学生提升运算能力与推理意识，教师可借此精准复习，提升教学效率。

小结与复习 第二十八章 锐角三角函数 优翼九下数学教学课件（RJ） (2)∠A 的余弦：cosA =　　　　　 = 　 ； (3)∠A 的正切：tanA = 　　　　　 = 　 . 1. 锐角三角函数的定义 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边． (1)∠A 的正弦： ∠A 的对边 斜边 sin A = ∠A 的邻边 斜边 ∠A 的邻边 ∠A 的对边 要点梳理 sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　； cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　； tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　. 2. 特殊角的三角函数 1 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边． 三边关系：___________； 两锐角关系：________________； 边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___， tanA＝______，tanB＝_____，sin2A + cos2A = . a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 3. 解直角三角形 1 (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素. ◑解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求 出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两 边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或 勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另 一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问 题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = ____________， tanα · tan(90°－α) =___. cos(90°－α) sin(90°－α) 1 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果. (不同计算器操作可能不同) 第一步：按计算器上的 键； sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 第二步：输入函数值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确). 方法①： °＇″ 2nd F 第一步：按计算器 键； 2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入锐角函数值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确). 第一步：按计算器 键； °＇″ 2nd F (1) 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α， 则有 i = tan α. 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度.记作 i，即 i = . (3) 坡度、坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α； E ②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l； ③量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN = ME + EN = l · tanα + a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α； A C B D M N E α ②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β； β ③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距 离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度. 考点一 求三角函数的值 例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tanB 的 值为 ( ) A.　　 B.　 　 C.　 　D. 解析：根据 sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为 3k，所以 tanB＝ B 考点讲练 方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值． 1. 在△ABC 中，且 sinA = ，cosB = ，则∠C =___°. 90 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____. 针对训练 例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值． 分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值. 10 8 10 8 解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°. ∴ tan∠BCF = . ∴ tan∠AFE = tan∠BCF = . 10 ∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°， ∴∠AFE +∠BFC = 90°. ∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF. 在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10， 由勾股定理得 BF = 6. 解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD = ∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9. ∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5. ∴ ∴ sinC = 如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝ 14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sinC 的值． 针对训练 考点二 特殊角的三角函数值 例3 计算： 解：原式＝ 22 22 (1) tan30°＋cos45°＋tan60°； (2) tan30°· tan60°＋ cos230°. 计算： 解：原式 解：原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = ． (1) 求 CD 的长； 分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC 的值，可列方程求出 CD． A B C D 又 BC－CD = BD， 解得 x = 6，∴CD = 6. 解：设 CD = x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC = ， A B C D (2) 求 sinB 的值． 解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD. 在 Rt△ACD 中， 在 Rt△ABC 中， A B C D 方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = . 点 D 为 BC 边上一点，且 BD = 2AD，∠ADC = 60°. 求△ABC 的周长 (结果保留根号). 针对训练 解：在 Rt△ADC 中， ∴ BD = 2AD = 4. ∴ BC = BD + DC = 5. 在 Rt△ABC 中， ∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC 考点四 三角函数的应用 例 5 如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 AD ∥BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号) 解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. F = 20× = (m). 在 Rt△ABF 中，∠ABF = 60°， 则 AF = AB·sin60° 在 Rt△AEF 中，∠E = β = 45°， 则 (m)， 故改造后的坡长 AE 为 m. F 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比 i = 1:　 ．求加固后坝底增加 的宽度 AF. (结果保留根号) A B C D E F 45° i =1: 针对训练 A B C D E F 45° i=1: G H 解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H. 则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米. (米)， (米). 又∵AG = DG = 10 米， ∴ (米). 故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米. 例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据： sin48°≈ 0.74，cos48° ≈ 0.67， tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）. 解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H． 则四边形 DHCG 为矩形． 故 DG = CH，CG = DH，DG∥HC， ∴∠DAH =∠FAE = 30°. 在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6， ∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3. 设 BC 为 x. 在 Rt△ABC 中， G H 在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°， 解得 x ≈ 13． ∴ 大树的高度约为 13 米. ∴ ∴ G H 如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A， C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直 线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°， 且 AB 间的距离为 40 m． (1) 求点 B 到 AD 的距离； 答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m. E 针对训练 (2) 求塔高 CD（结果保留根号）． 解：在 Rt△ABE 中， 则 AD = AE + EB = (m). 在 Rt△ADC 中，∠A = 30°， ∴ (m). E ∵∠A = 30°，∴∠ABE = 60°. ∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°. ∴ DE = EB = 20 m. 答：塔高 CD 为 m. 例 7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向A处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶 至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得 ∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O 多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85， cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60） 解：设 BO = x km. ∴ ∵ tan∠CAO = ， 在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°， ∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x. 在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°， ∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°. ∵ DC = DO－CO， ∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x). 故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海 岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝ 40米，B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙 的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55° ≈ 0.82， cos55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43). 针对训练 分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可． 解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°. ∴ BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)． BC＝ ＝ ≈ 70.2(米)． ∴ t甲 ≈ 57.2÷2＋10＝38.6 (秒)， t乙 ≈ 70.2÷2＝35.1 (秒)． ∴ t甲>t乙． 答：乙先到达 B 处． 锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单的实际问题 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 锐角关系 边角关系 仰、俯角问题 方向角问题 坡度、坡角问题 课堂小结 见教材章末练习题 课后作业 图19.4.5 $