17.1 用提公因式法分解因式 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册
第十七章 因式分解 · 17.1 提公因式法
17.1 用提公因式法分解因式讲义
学习目标
• 理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法的关系。
• 理解公因式的概念，掌握确定公因式的“三定”方法。
• 会用提公因式法把多项式分解因式，做到“提尽、不留、查符号”。
• 能处理首项为负、某一项恰为公因式、多项式型公因式等稍复杂情形。
知识回顾
1. 整式的乘法（因式分解的逆运算）
乘法分配律：m(a + b + c) = ma + mb + mc
平方差公式：(a + b)(a − b) = a² − b²
完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
2. 因数分解（类比基础）
把 42 分解因数：42 = 2 × 3 × 7（化成几个整数的乘积）
→ 因式分解就是把“多项式”化成“几个整式的乘积”。
情境引入
如图，一块菜地被分成三部分，长分别为 a、b、c，宽都为 m，则总面积可以表示为：
方法一（整体）：S = m(a + b + c)
方法二（分块）：S = ma + mb + mc
从“和差 → 积”的变形，就是因式分解； 从“积 → 和差”的变形，就是整式乘法。 二者互为逆运算！ |
一、因式分解的概念
1. 定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 |
2. 判断方法（两看）
• 一看：等号右边是不是“整式的乘积”形式；
• 二看：等号左右是否互为恒等变形。
3. 与整式乘法的关系
整式乘法（积 → 和差） | 因式分解（和差 → 积） |
m(a + b + c) = ma + mb + mc | ma + mb + mc = m(a + b + c) |
(x + 1)(x − 1) = x² − 1 | x² − 1 = (x + 1)(x − 1) |
(x + 1)² = x² + 2x + 1 | x² + 2x + 1 = (x + 1)² |
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第十七章 因式分解 · 17.1 提公因式法
二、公因式的概念与确定方法
1. 公因式的定义
多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式（common factor）。
2. 确定公因式的“三定”法（必考）
步骤 | 方法 | 示例：6a²b − 8ab²c |
① 定系数 | 取各项系数的最大公约数 | 6 与 8 → 最大公约数 2 |
② 定字母 | 取各项都含有的相同字母 | 公共字母：a、b |
③ 定指数 | 取相同字母的最低次幂 | a 的最低次：a¹；b 的最低次：b¹ |
→ 公因式 = 2ab
3. 跟踪训练：找出下列各式的公因式
多项式 | 公因式 |
9a²x² − 18a⁴x³ | 9a²x² |
3x²y + 12xy³ | 3xy |
−24x³ − 12x² + 28x | −4x（或 4x） |
三、提公因式法
1. 定义
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式 × 另一个因式 的形式，这种方法叫做提公因式法。 |
通用形式：ma + mb + mc = m(a + b + c)
2. 标准解题步骤
- 确定最大公因式（系数→字母→指数）。
- 用每一项分别除以公因式，得到新因式。
- 把公因式写在最前，剩余部分括在括号内。
- 检查括号内是否还有公因式（要提尽），并可用整乘检验。
四、例题精讲
【例1】 把 8a³b² + 12ab³c 分解因式。 【分析】系数的最大公约数 4；公共字母 a、b；最低次 a¹、b² → 公因式 4ab²。 【解答】8a³b² + 12ab³c = 4ab²·2a² + 4ab²·3bc = 4ab²(2a² + 3bc)。 |
【例2】 把 3x² − 4xy² + x 分解因式。 【分析】公因式为 x；注意最后一项 x = x·1，提完后剩下 1，不能漏写。 【解答】3x² − 4xy² + x = x·3x − x·4y² + x·1 = x(3x − 4y² + 1)。 |
【例3】 把 −x³ + x² − x 分解因式。 【分析】首项系数为负，通常先提"−"号，使括号内首项为正；注意括号内各项都要变号。 |
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