专题2.3 有理数的乘方（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方与科学记数法核心知识点，系统梳理乘方的意义、幂底数指数概念、运算及符号法则，延伸至科学记数法的表示与还原，构建从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”设计为主线，结合睡莲生长、拉面拉扣等实际问题，培养学生抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺。

专题2.3 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的意义，明晰幂、指数、底数的概念 ，能准确阐述其含义。 2. 熟练掌握有理数乘方运算，无论是正数、负数还是零的乘方，都能正确计算结果。 3. 深入探究并掌握乘方运算的符号法则，依据法则准确判断结果正负 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解乘方的意义，精准区分幂、指数、底数的概念。 （2） 熟练运用乘方运算法则，快速且准确地进行有理数乘方运算。 2.难点 （1）深入理解并灵活运用有理数乘方运算的符号法则，判断复杂乘方运算结果的正负。 （2）面对实际问题时，能准确分析并将其转化为有理数乘方运算来求解 。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练】1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 2．下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方、绝对值、相反数，分别计算出每组两个数的值，再比较即可． 【详解】解：A．∵，， ∴，两数不相等，故此选项符合题意； B．∵，， ∴，两数相等，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，两数相等，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴，两数相等，故此选项不符合题意． 3．算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 【详解】解：，，，． 知识点02 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练】4．安徽省2025年第二季度制造业产值为亿元，其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得亿； 5．2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【详解】将用科学记数法表示，把小数点向左移动位，得到，满足，，因此． 6．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】先根据单位换算得到单次擦写的时间，再用总时间除以单次擦写时间计算次数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得，1次擦写需要的时间为 秒， 则1秒可以擦写的次数为 ． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：________． 【答案】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：___________． 【答案】10392 【分析】根据有理数的混合运算顺序进行计算． 【详解】解： ． 题型03 有理数乘方逆运算 【典例1】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知满足，那么_____． 【答案】2或6 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，代数式求值． 根据有理数的乘方求出的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 故答案为：2或6． 【变式3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 题型04 乘方运算的符号规律 【典例1】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式1】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 题型05 乘方的应用 【典例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 【变式1】（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 【变式3】（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【分析】根据十六进制转换为十进制的规则，将十六进制数每一位上的数字乘以的对应幂次，再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年，人工智能在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为，其中用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确科学记数法的定义，其形式为，先确定的取值范围是．因为要将原数146000000转化为的形式，所以先把原数的小数点向左移动，直到满足取值要求，统计小数点移动的位数得到的值．对照得到的和的结果，匹配对应的选项即可． 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】将整数表示为科学记数法，需满足形式，其中，为整数，等于原数的整数位数减． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，其中，为整数. 原数是位整数， 因此，， 可得． 【变式3】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升．小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后水龙头滴了________毫升水．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】当小明离开2小时后水龙头滴了约毫升．再表示成，其中，n表示整数． 【详解】解：毫升． 题型07 将用科学计数法表示的数变回原数 【典例1】（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）昆明素有“春城”的美誉，每年4月下旬至5月，全城蓝花楹竞相绽放，梦幻的紫蓝色花铺满街道，浪漫至极．教场中路蓝花楹大道是全国知名的网红打卡地，累计总客流量约人次．数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可． 【详解】解：科学记数法要求，将转变为时，小数点向左移动了位，． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 4．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 5．（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负． 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 二、填空题 6．（2026·江苏徐州·模拟预测）据徐州市地铁运营有限公司统计，2026年3月我市地铁日均客流约为45万人次．将数据45万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将45万转换为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】解：万． 7．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，则__________． 【答案】8 【详解】解：， ， ， 解得． ， ， ， ， 解得． 则． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 10．（2026·广东珠海·模拟预测）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 【答案】 【分析】根据题意推断即可求解． 【详解】等于十进制的数． 三、解答题 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知a，b，c为有理数，，，，且．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，代数式求值，根据乘方的逆运算法则和乘法计算法则求出a、c的值，再代值计算即可打得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 13．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 15．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)相等． 理由：令， 则 由， 得 ， 由， 得 所以． 【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可； （2）根据题意得出，然后再由求解即可； （3）令，得出，确定，同理化简，即可判断． 【详解】（1）解：由得 （2）， ∴； （3）略 一、单选题 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查乘方的意义，注意中没有括号，所以负号不参与乘方运算． 【详解】解：表示的意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 2．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 5．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 二、填空题 7．的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 8．今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将6669万写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6669万， 故答案为：． 9．在数，，中，负数有 个． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，正数和负数的定义等知识点．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：,是负数； ,是正数； ,是负数； 负数有，,共2个． 故答案为：2． 10．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 11．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 12．有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘除法即可； （2）先计算乘方和利用乘法分配律进行计算再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)5 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律及有理数的乘方法则计算即可； （3）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 16．在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 【答案】图见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，有理数的乘方，相反数，先化简各数，然后根据数轴上数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下：      所以， 17．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 18．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的意义，明晰幂、指数、底数的概念 ，能准确阐述其含义。 2. 熟练掌握有理数乘方运算，无论是正数、负数还是零的乘方，都能正确计算结果。 3. 深入探究并掌握乘方运算的符号法则，依据法则准确判断结果正负 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解乘方的意义，精准区分幂、指数、底数的概念。 （2） 熟练运用乘方运算法则，快速且准确地进行有理数乘方运算。 2.难点 （1）深入理解并灵活运用有理数乘方运算的符号法则，判断复杂乘方运算结果的正负。 （2）面对实际问题时，能准确分析并将其转化为有理数乘方运算来求解 。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练】1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．算一算：_____，____，_____，______； 知识点02 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练】4．安徽省2025年第二季度制造业产值为亿元，其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 6．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【变式1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式2】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：___________． 题型03 有理数乘方逆运算 【典例1】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知满足，那么_____． 【变式3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 题型04 乘方运算的符号规律 【典例1】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 题型05 乘方的应用 【典例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【变式1】（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【变式3】（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年，人工智能在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为，其中用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升．小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后水龙头滴了________毫升水．（用科学记数法表示） 题型07 将用科学计数法表示的数变回原数 【典例1】（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 一、单选题 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）昆明素有“春城”的美誉，每年4月下旬至5月，全城蓝花楹竞相绽放，梦幻的紫蓝色花铺满街道，浪漫至极．教场中路蓝花楹大道是全国知名的网红打卡地，累计总客流量约人次．数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 5．（25-26七年级上·全国·期末）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 二、填空题 6．（2026·江苏徐州·模拟预测）据徐州市地铁运营有限公司统计，2026年3月我市地铁日均客流约为45万人次．将数据45万用科学记数法表示为_______． 7．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）已知，，则__________． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 10．（2026·广东珠海·模拟预测）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 三、解答题 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知a，b，c为有理数，，，，且．求的值． 13．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 15．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，． (1)用二进制表示整数11； (2)求的值； (3)判断与的值是否相等，并说明理由． 一、单选题 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 2．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 6．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．的底数是 ，指数是 ． 8．今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 9．在数，，中，负数有 个． 10．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 11．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 12．有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．计算： (1) (2) 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 17．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 18．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $