精品解析：广东深圳市深圳实验学校初中部2026-2027学年九年级上学期9月测试 数学试卷

2026-2027学年第一学期初三9月测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用正方形纸片进行如下操作： 第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接； 第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点和点重合，展开，折痕为； 则矩形的长宽比为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15题） 9. 因式分解：________． 10. 若，则代数式的值为_____________． 11. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点为的中点，点，为上的点，且，连接，．若的面积为60，则图中阴影部分面积是________． 12. 如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 13. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点在上，连接，点关于的对称点恰好在边上，此时________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在农业研究中，为了确定大麦穗的“最佳结实长度”（即穗长达到某个值时，结实粒数最多、产量最高）和典型穗长（即穗长出现次数最多，是大麦较为适宜的生长状态），农学家需要对同一品种的大麦穗进行多次测量，并通过数据分析来估计这些最值．小明所在的小组对种植的大麦进行了数据采集．他们从试验田中随机选取了20株大麦，测量了每株麦穗的穗长x（单位：），记录了对应麦穗的结实粒数y（单位：粒）．并将数据整理如下表所示： 穗长x（） 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 结实粒数y 32 38 45 50 48 42 35 株数（频数） 2 3 6 4 2 2 1 （1）这20株大麦的穗长的中位数是_________； （2）根据农学家的观点，结合样本数据，你认为“最佳结实长度”是_______，典型穗长是_______； （3）已知该品种的麦穗，当穗长数值x满足，且结实粒数均不少于45粒时，属于“高产”．若该试验田共有1000株大麦，请你估算其中“高产”的大麦大约有多少株？ 17. 为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用万元购买甲型机器人的数量，是用万元购买乙型机器人数量的倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人少万元． 小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） （1）请直接写出小亮所列的方程； （2）若购买甲、乙两种型号的机器人共台，且总费用不超过万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 18. 已知是直角三角形且 （1）如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． （2）如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 19. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： ； ②解方程：． （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 20. 如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，若，此时 ； （2）设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； （3）当时，的值为 ； （4）连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三9月测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，运算正确，∴B正确； C、，∴C错误； D、，∴D错误． 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛”和“1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”建立方程组． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 因此可得方程组 ． 7. 如图，在中，，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质和角平分线证得，进而可知是菱形，是平行四边形即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，  ，  平分，  ，  ，  ， 过点作于点，延长交于点G ，连接， ， 在中，， ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴是菱形， ∴ ∵， ∴ ∴是平行四边形， ． 8. 如图，用正方形纸片进行如下操作： 第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接； 第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点和点重合，展开，折痕为； 则矩形的长宽比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用折叠的性质得出，结合正方形对角线平分对角的性质求出，过点作于点，在中，由勾股定理可求出的长，进而求出点到的距离即的长；进而计算比值即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ， ， 过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由第二步折叠可知，， 在中，， 即， ∴（负值已舍去）， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴等于点到的距离， 即， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15题） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：． 10. 若，则代数式的值为_____________． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：， ． 11. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点为的中点，点，为上的点，且，连接，．若的面积为60，则图中阴影部分面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，设与交于点，证明，可得，然后根据平行四边形的性质分析，利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 四边形是平行四边形， 点为的中点，， 点为的中点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， 阴影部分面积． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积公式，解题的关键是证明． 12. 如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，证明，求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点在上，连接，点关于的对称点恰好在边上，此时________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，利用平行四边形的性质结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，由轴对称的性质知，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质知， 在中，由勾股定理得， ∴． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再进行乘法计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 在农业研究中，为了确定大麦穗的“最佳结实长度”（即穗长达到某个值时，结实粒数最多、产量最高）和典型穗长（即穗长出现次数最多，是大麦较为适宜的生长状态），农学家需要对同一品种的大麦穗进行多次测量，并通过数据分析来估计这些最值．小明所在的小组对种植的大麦进行了数据采集．他们从试验田中随机选取了20株大麦，测量了每株麦穗的穗长x（单位：），记录了对应麦穗的结实粒数y（单位：粒）．并将数据整理如下表所示： 穗长x（） 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 结实粒数y 32 38 45 50 48 42 35 株数（频数） 2 3 6 4 2 2 1 （1）这20株大麦的穗长的中位数是_________； （2）根据农学家的观点，结合样本数据，你认为“最佳结实长度”是_______，典型穗长是_______； （3）已知该品种的麦穗，当穗长数值x满足，且结实粒数均不少于45粒时，属于“高产”．若该试验田共有1000株大麦，请你估算其中“高产”的大麦大约有多少株？ 【答案】（1）7.0 （2）7.5；7.0 （3）600株 【解析】 【分析】(1) 根据频数分布表，将20株大麦的穗长按从小到大排列，确定第10、11两个位置的数据，求其平均数即可得到中位数． (2) 根据农学家的定义，结实粒数最多时对应的穗长即为最佳结实长度；频数最大的穗长即为典型穗长． (3) 先根据给定的“高产”标准，从样本数据中筛选出满足条件的株数，计算其在样本中的比例，再用样本比例估算总体中“高产”大麦的数量． 【小问1详解】 解：∵样本容量为20， ∴中位数是第10、11两个数据的平均数， 又∵按穗长从小到大排列，第6至第11个数据均为7.0， ∴中位数为． 【小问2详解】 解：∵结实粒数最多为50粒，对应的穗长为， ∴最佳结实长度为， 又∵穗长出现次数最多（频数最大）的是，频数为6， ∴典型穗长为． 【小问3详解】 解：∵“高产”标准为且结实粒数不少于45粒， ∴满足条件的穗长为、、， 又∵穗长为的有6株，穗长为的有4株，穗长为的有2株， ∴样本中“高产”大麦共有株， ∴样本中“高产”大麦所占比例为， ∴试验田1000株大麦中“高产”大麦约有株． 17. 为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用万元购买甲型机器人的数量，是用万元购买乙型机器人数量的倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人少万元． 小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） （1）请直接写出小亮所列的方程； （2）若购买甲、乙两种型号的机器人共台，且总费用不超过万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 【答案】（1） （2） 最多可购买乙型机器人台 【解析】 【分析】（1）以“万元购买甲型机器人的数量，是用万元购买乙型机器人数量的倍”为等量关系，结合单价差列方程； （2）先求解分式方程得到两种机器人的单价，再根据总费用限制列不等式求最大值． 【小问1详解】 解：设每台甲型机器人的价格为万元，则每台乙型机器人的价格为万元， ∵用万元购买甲型机器人的数量，是用万元购买乙型机器人数量的倍， ∴所列方程为； 【小问2详解】 解：解方程， 两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 每台乙型机器人的价格为（万元）． 设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数，且为正整数 ∴的最大值为． 答：最多可购买乙型机器人台． 18. 已知是直角三角形且 （1）如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． （2）如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O，连接，此时菱形即为所作；根据垂直平分线和角平分线证明，可得，进而即可证明四边形为菱形； （2）先根据勾股定理求出，再结合菱形的性质可得，最后运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 19. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： ； ②解方程：． （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 【答案】（1），1 （2）①② （3）4 【解析】 【分析】（1）先按照提公因式法因式分解，再按照十字相乘法因式分解，即可求出方程的解． （2）①先按照完全平方公式将转化为，利用，即可求出关于的方程．②利用整体化思想，设，将其方程转化为，根据十字相乘法求出的值，将值代入即可求出的值． （3）设，根据矩形的性质和勾股定理，用分别表达出和，根据题意可知，再结合整体思想设，则和，将二式相减，求出，并将这个值代入中，即可求出的值，即的长． 【小问1详解】 解：， ， ， ，，． 【小问2详解】 解：①方程， ， ， 设， ． ②， ， 设， ， ， ，， ， （舍去）， 当时，，则，则， 经检验是原方程的根， ． 【小问3详解】 解：为矩形， ，． 设，则， 在中，， 在中，． 由题意可知，， ， 设，则①， ， ， ② 将得， ， 将代入①中得， 去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， ， ， ． 20. 如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，若，此时 ； （2）设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； （3）当时，的值为 ； （4）连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过作于，由矩形性质得．当时，，，可算得．在中，由勾股定理即可计算； （2）①由、得水平距离，结合竖直边，由勾股定理得．由到终点时间得，故；②根号内二次函数开口向上，对称轴时取最小值4，故，最低点； （3）由题意得，结合的表达式列方程，两边平方消去二次项，即可求解； （4）等腰分三类讨论：①，解得；②，解得（构不成三角形舍去）；③，方程无实根． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， ，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：①由题意得，，，则，， ， 在中， ， ∵点F运动到终点的时间为（秒）， ∴自变量范围为 ∴关于的函数关系式为：； ②由题意得，求出的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， ∴设， ∵其开口向上， ∴对称轴为直线， ∴ ， ， ∴最低点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， ， ∵， ∴ 解得； 【小问4详解】 解：连接，如图： 在中，；；， 当时， ∴ ， ∴， ，（舍去）， ； 当时， ， 解得，， 当时，点与点重合，不能构成三角形，舍去， 故； 当时， ， ∴，方程无实数根，舍去； 综上所述，符合条件的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $