第二章 一元二次方程【单元培优自测卷】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级一元二次方程单元培优卷，120分钟120分，覆盖方程定义、解法、根的判别式、实际应用等核心知识，通过生活情境与综合探究题提升抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、几何综合|如第1题考查方程定义，第10题结合函数图像体现几何直观| |填空题|6/24|配方法、增根、根与系数关系|如第11题配方法转化，第13题分式方程增根分析| |解答题|7/66|解法应用、实际问题、规律探究|如第19题矩形展示区面积（模型意识），第23题材料阅读拓展（推理能力）|

第二章 一元二次方程【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：使用北师大版地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 4．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 6．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 7．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 10．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设点运动的路程为，，图是点运动时随着变化的图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长是解题的关键，当，即P在B点时， 得；利用两点之间线段最短，得到，得y的最大值为，然后，在中，设的长度为t，则，由勾股定理求出t的长，即可求得的长． 解：由函数图象知：当，即P在B点时，， 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴， ∴y的最大值为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设的长度为t， 则， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 12．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 13．（2026·湖南常德·模拟预测）若关于的方程有增根，则增根可能是______． 【答案】或 【分析】根据增根定义，增根是使分式方程分母为的根，找出使原方程分母为的的值即可得到可能的增根． 解：∵关于的分式方程有增根，且， ∴， 解得或， ∵两个根都能使原方程的最简公分母为， ∴增根可能是或． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 15．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 16．（25-26九年级上·上海宝山·期末）某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，比较实数的大小．先根据线段比例关系和已知等式建立关于k的一元二次方程，求出正数k的值，再比较与的大小确定较小矩形的长，最后结合矩形面积公式计算面积； 解：∵， ∴由得，则， ∵， ∴， ∵，两边同时除以得， ，即， 解得， ∵k是线段长度的比值， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形花坛的宽为， ∴较小矩形的面积为，代入得： ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 18．（8分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 解：（1）略 （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 19．（8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． （1）如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ （2）为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米；（2）不能，理由如下： 假设展示区面积拓展为180平方米， 则 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴展示区面积不能拓展为180平方米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题的关键． （1）设，则由题意得，根据矩形面积得到，解方程并检验即可； （2）假设展示区面积拓展为180平方米，则，根据一元二次方程根的判别式判断即可． （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，符合题意， ∴的长为米； （2）略 20．（10分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 【答案】证明：当即时， ，， 此时； 当时， ∵ ； ∴， ∴是方程的根， ∴ ， 即， ∴． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式．当即时，验证原不等式成立；当时，通过构造一个一元二次方程，并证明是该方程的根，从而利用判别式非负的性质证明不等式成立． 解：略 21．（10分）（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． （1）降价后，草莓园当天销售多少元？ （2）草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】（1）9000元；（2）10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． （1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． 22．（12分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）；（2）；（3）盆景的盆数为盆，花卉的盆数为盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给花卉盆数的表示方法，用表示出第个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题． 解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：；…， ∴第个图案中盆景的盆数为盆． ∴第6个图案中盆景的盆数为盆 故答案为：7； （2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为，…， 所以第个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为盆，盆； 23．（12分）（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：__________，__________． （2）类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． （3）思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可； （3）先推出，进而得到，则可推出是关于x的方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到，进而推出，据此求解即可． （1）解：由题意得，m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵实数a，b满足：，且， ∴实数a，b是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：使用北师大版地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 4．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 10．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设点运动的路程为，，图是点运动时随着变化的图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 12．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 13．（2026·湖南常德·模拟预测）若关于的方程有增根，则增根可能是______． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 15．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 16．（25-26九年级上·上海宝山·期末）某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 18．（8分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 19．（8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． （1）如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ （2）为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 20．（10分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读：已知，求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴是方程的根， ∴，即． 利用以上方法，求证：（m、n为非零实数） 21．（10分）（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． （1）降价后，草莓园当天销售多少元？ （2）草莓园采摘套票降价了多少元？ 22．（12分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 23．（12分）（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：__________，__________． （2）类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． （3）思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $