第二章 一元二次方程综合检测题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习检测，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|定义、解法、根的判别式|如第1题考一元二次方程定义，第5题结合根的判别式培养推理意识| |填空题|5题20分|利润问题、几何应用|第11题利润问题、第12题直角三角形与方程结合，体现模型意识| |解答题|6题90分|综合应用与探究|第18题销售利润、第20题几何动态问题，突出运算能力与数学眼光|

一元二次方程综合检测题 （时间：120min,满分：150分） 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( ) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( ) A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 4．解方程(x＋1)(x＋3)＝5较为合适的方法是( ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法或配方法 D．分解因式法 5．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是( ) A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0 C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0 6．下列说法不正确的是( ) A．方程x2＝x有一根为0 B．方程x2－1＝0的两根互为相反数 C．方程(x－1)2－1＝0的两根互为相反数 D．方程x2－x＋2＝0无实数根 8．对二次三项式x2－10x＋36，小英同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( ) A．小英对，小颖错 B．小英错，小颖对 C．他们两人都对 D．他们两人都错 9．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了( ) A．2x% B．1＋2x% C．(1＋x%)·x% D．(2＋x%)·x% 10.如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm2，那么矩形ABCD的面积是( ) A．21 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．9 cm2 二．填空题(每小题4分，共 20 分) 11．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价 元。 12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 。 13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为 . 14．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 。 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是 。 三、解答题(共90分) 16．(共 18 分)解方程： (1)用公式法解方程x2－4x－1＝0; 　　 （2）用配方法解下列方程： （3） 用因式分解法解下列方程：x2－6x＋9＝4； 17． （12分）已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？ 18．（15分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？ 19．（15分）已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数。 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)p为何值时，方程有整数解。(直接写出三个，不需说明理由) 20．（15分）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝ ，PB＝ (用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21.某商品的标价为400元/件，经过两次降价后为324元/件，并且两次降价的百分率相同。 (1)求该商品每次降价的百分率； (2)若该商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使次降价销售的商品总利润不少于3210元。求第一次降价后至少要售出该商品多少件？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程综合检测题 （时间：120min,满分：150分） 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( A ) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.＋－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1 2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( B ) A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 4．解方程(x＋1)(x＋3)＝5较为合适的方法是( C ) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法或配方法 D．分解因式法 5．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是( B ) A．x2－4x＋4＝0 B．x2－2x＋5＝0 C．x2－2x＝0 D．x2－2x－3＝0 6．下列说法不正确的是( C ) A．方程x2＝x有一根为0 B．方程x2－1＝0的两根互为相反数 C．方程(x－1)2－1＝0的两根互为相反数 D．方程x2－x＋2＝0无实数根 8．对二次三项式x2－10x＋36，小英同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( D ) A．小英对，小颖错 B．小英错，小颖对 C．他们两人都对 D．他们两人都错 9．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了( D ) A．2x% B．1＋2x% C．(1＋x%)·x% D．(2＋x%)·x% 10.如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm2，那么矩形ABCD的面积是( B ) A．21 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．9 cm2 二．填空题(每小题4分，共 20 分) 11．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价 6 元。 12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 3 。 13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为 (20+2x)(40-x)=1200 . 14．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是 10% 。 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是 3秒 。 三、解答题(共90分) 16．(共 18 分)解方程： (1)用公式法解方程x2－4x－1＝0; 　　 解：（1）△=（-4）2-4×1×（-1）=20， 所以， 即； （2）用配方法解下列方程： x2＋4x－1＝0； 解：x2+4x+4=1+4 (x+2)2=5 解得x1= -2+ ， x2= -2- （3） 用因式分解法解下列方程：x2－6x＋9＝4； 解：将原方程整理为 x2－6x＋5＝0， 左边因式分解 （x-5）（x-1）=0, 所以 x-5=0或 x-1=0, 解得x1=5，x2=1 。 17．（12分）已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？ 解：设此直角三角形的两条直角边分别是m、n（m>n），据题意得 mn=k2＋3, m+n=1-2k， m2+n2=52, 解得m=4,n=3， 答：此直角三角形的两条直角边分别是4和3 。 18．（15分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 100+200x 斤(用含x的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？ 解：设将这种水果每斤的售价降低x元，则张阿姨需将每斤的售价降至（4-x）元。 （4-x-2）（100+200x）=300，且 100+200x≥260 将该方程整理可得 2x2-3x+1=0，且x≥0.8 解得 x1=1， x2=0.5， 因为x≥0.8，所以 x1=1，所以4-x=4-1=3(元)， 答：（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元。 19．（15分）已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数。 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)p为何值时，方程有整数解。(直接写出三个，不需说明理由) （1）证明：将原方程整理成一元二次方程的一般形式为 x2-5x+4-p2=0 ， △=（-5）2-4（4-p2）=4p2+9，因为p为实数，所以4p2≥0，所以4p2+9>0， 所以方程有两个不相等的实数根； （2）解：，所以当p=2或-2或0时，方程有整数解。 20．（15分）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝ 2tcm ，PB＝ (5-t)cm (用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：(2)因为在矩形ABCD中，∠B=90°，BQ＝ 2t ，PB＝ 5-t ,PQ=5cm， 所以由勾股定理可得 PB2 + BQ2 =PQ2，即 （5-t）2+(2t)2=52，解得 t1=0，t2=2， 故t=0或2秒时，PQ的长度等于5 cm。 （3）假设存在符合条件的t值。 则 S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ=26，所以5×6 － ×2t×(5－t)=26，解得t1=1，t2=4（不合题意，舍去） 故t=1秒时五边形APQCD的面积等于26 cm2。 21.某商品的标价为400元/件，经过两次降价后为324元/件，并且两次降价的百分率相同。 (1)求该商品每次降价的百分率； (2)若该商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使次降价销售的商品总利润不少于3210元。求第一次降价后至少要售出该商品多少件？ 解：（1）设该商品每次降价的百分率为x%，依题意，得 400×（1-x%）2=324, 解得x1=10 ，x2=190（舍去）。 故该商品每次降价的百分率为10%。 (2)设第一次降价后售出该商品m件，则第二次降价后售出该商品（100-m）件； 第一次降价后的单件利润：400×（1-10%）-300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润：324-300=24（元/件）根据题意，得 60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，解得m≥22.5,∴m≥30. 故为使两次降价销售后的总利润不少于3210件，第一次降价后至少要售出该商品23件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $