第二章 一元二次方程【单元基础自测卷】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 浙江九年级一元二次方程单元基础自测卷，立足基础，覆盖定义、解法、应用等核心知识点，通过分层设题与真实情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、解的概念|基础巩固，如第1题考定义，第6题考判别式| |填空题|6/24|配方法、根与系数关系、实际问题转化|能力提升，如11题配方法，14题两位数问题| |解答题|7/66|解法综合、实际应用、探究推理|创新应用，如20题销售利润（模型意识），23题配方法求最值（推理能力）|

第二章 一元二次方程【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 解：由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】C 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断． 解：一元二次方程有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式． 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式． 综上，根的判别式的值为非负数． 7．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法求解即可． 解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点拨】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 8．（2026·云南临沧·二模）某工厂积极推进环保改造，两年前年废气排放量为625吨，经过两年治理，现在年废气排放量降至400吨．设废气排放量的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均下降率依次推导两年后废气排放量，即可列出正确方程． 解：∵ 两年前年废气排放量为吨，年平均下降率为， ∴ 第一年治理后年废气排放量为， ∵ 第二年在第一年的基础上，仍以年平均下降率下降， ∴ 第二年治理后年废气排放量为 又∵ 现在年废气排放量为吨， ∴ 可列方程． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期末）用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（    ） 设宽的长为，则的长为……① 可列方程为……② 解方程，得……③ 不符合题意，故舍去……④ 答：宽的长为 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设宽的长为，然后表示出长，利用面积公式列出方程求解即可． 解：设宽的长为，则的长为， 可列方程为， 解方程，得， 答：宽的长为， 故原解答过程中第③步错误， 故选：C． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】/0.25 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 13．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 16．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． （1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．（8分）（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 【答案】（1）证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； （2），另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式（判断方程根的个数）及一元二次方程的解（已知根求参数），解题的关键是熟练掌握判别式的计算公式及“方程的根满足方程等式”的性质． （1）计算方程的判别式，将其化简为关于的代数式，证明该代数式恒大于等于； （2）将根代入原方程，解关于的一元一次方程，再将的值代入原方程，求解另一个根． 解：（1）略 （2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 19．（8分）（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，请求出k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件建立关于k的方程，解方程即可得到答案． （1）解：由题意得， 解得： （2）解；由根与系数的关系可得， ∵， ∴= 解得． 20．（10分）（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为；（2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 21．（10分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】（1）；（2）剪去的小正方形的边长为 【分析】本题考查了几何问题（一元一次方程的应用），与图形有关的问题（一元二次方程的应用），矩形性质理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键． （1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为（），宽为，高为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设剪去的小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为，根据礼盒的侧面的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （1）解：设小正方形的边长为， 则礼盒底面的长为（），宽为，高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ， ∴（）， 即该长方体礼品盒的体积为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 22．（12分）（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： （1）尝试：分解因式：____________） （2）应用：请用上述方法解方程：． （3）拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），；（3），． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． （1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 23．（12分）（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为________； （2）求的最小值． 【答案】（1）2；（2）5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． （1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 7．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南临沧·二模）某工厂积极推进环保改造，两年前年废气排放量为625吨，经过两年治理，现在年废气排放量降至400吨．设废气排放量的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北邢台·期末）用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（    ） 设宽的长为，则的长为……① 可列方程为……② 解方程，得……③ 不符合题意，故舍去……④ 答：宽的长为 A．① B．② C．③ D．④ 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．（2025·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 13．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 16．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．（8分）（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 19．（8分）（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，请求出k的值． 20．（10分）（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21．（10分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 22．（12分）（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： （1）尝试：分解因式：____________） （2）应用：请用上述方法解方程：． （3）拓展：请用上述方法解方程：． 23．（12分）（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为________； （2）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $