第二章 一元二次方程 单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《一元二次方程》单元基础练习，覆盖根与系数关系、判别式、实际应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用结合，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|根与系数关系、判别式、增长率问题|结合低空经济研发情境，考查数学建模| |填空题|6题18分|解方程、代数式求值、判别式应用|融入正方形贺卡与信封面积比较，体现几何直观| |解答题|7题72分|解方程、韦达定理、赵爽弦图、利润问题、虚数阅读|赵爽弦图关联几何与代数，虚数材料培养创新意识，利润问题强化应用能力|

第二章 《一元二次方程》单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知方程的两个根分别是x1，x2，则的值是（　　）. A．5 B．-5 C．2 D．-2 2．一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A．1或 B． C．1 D．2 3．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是(　　) A． B． C． D． 4．已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（　　）． A．－2 B． C． D．2 5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是（　　） A．等式的性质 B．平方根的意义 C．平方差公式 D．完全平方公式 7．若是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．设方程的两个根为，那么的值等于（　　） A． B． C．4 D．6 9．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元.已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%.设2025年研发经费的增长率为x，则(　　) A．2000 (1+x) (1+5%) =2310 B．2000 (1+x) (1+x+5%) =2310 C．2000 (1+x+5%)2=2310 D．2000 (1+2x+5%) =2310 10．某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元.设月平均增长率为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 已知，是一元二次方程的两个根，则　 　． 12．一元二次方程的根是　 　. 13．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 　 　 ． 14．若，是一元二次方程的两根，则的值为　 　. 15． 如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足　 　． 16．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明　 　将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能） 三、解答题（共7题，共72分） 17．解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 18．已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值． 20．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图1所示大小两个正方形． （1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； （2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22．某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件． （1）若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元； （2）如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？ 23．材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定.当时，形如 (a， b为实数)的数统称为虚数. 比如5i，，. 当时，为实数. 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a， b， c， d）为实数. 且，有如下运算法则： ； ； ； （1）填空：化简　 　，　 　； （2）关于x的一元二次方程有一个根是，其中m， n是实数，求的值. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 对于一元二次方程，其两根之和的计算公式为， ∴ 在方程中，，， ∴ 代入公式可得， 故答案为：A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），重点是掌握两根之和的计算方法。先确定所给一元二次方程中二次项系数和一次项系数的值，再直接运用韦达定理中两根之和的公式进行计算，注意准确处理公式中的符号问题。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵方程有两个相等的实数根，且，，， ∴， 解得：或，均满足， ∴为或． 故答案为：A. 【分析】先利用根的判别式求出，再结合“方程有两个相等的实数根”列出方程求出m的值即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】 ∵x2-9x+14=0， ∴（x-7）（x-2）=0， ∴x-2=0或x-7=0， 解得x=2或x=7， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为， 故答案为：D. 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵、是方程的根， ∴，， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是熟练掌握根与系数的关系式并灵活变形。对于一元二次方程 （），其两根 、 满足 ，。对于方程 ，确定 、、，代入关系式可求出 ，；再将所求表达式 变形为 ，把前面求出的两根之和与两根之积代入变形后的式子，即可计算出结果。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式，即， ∴， 解得，． 故答案为：B． 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是完全平方公式， 故选：D． 【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，题目所涉及的配方法就是运用了完全平方公式的逆运算． 7．【答案】C 【解析】【解答】解∶∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选∶C． 【分析】将x=m代入方程可得，则，再根据二次方程根与系数的关系可得，在整体代入代数式即可求出答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】 根据一元二次方程的根与系数的关系：对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，可得，代入计算即可解答． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： 故答案为：B. 【分析】根据2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元，2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%，列出一元二次方程即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：设月平均增长率为， 由题意可列方程：， 故答案为：D. 【分析】根据第一季度的总营业额为1000万元，找出等量关系列方程求解即可。 11．【答案】3 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴3 故答案为：3 【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案. 12．【答案】， 【解析】【解答】解：由题意得原方程可化为， ∴， 故答案为：，. 【分析】根据题意因式分解，进而即可求解。 13．【答案】-9 【解析】【解答】解：a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根， ， ， . 故答案为：-9. 【分析】根据a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根可得，再将其整体代入求得代数式的值. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案. 15．【答案】且 【解析】【解答】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，，即可求解. 16．【答案】不能 【解析】【解答】解：面积为的正方形的边长为， 长、宽之比为，面积为的长方形， 设长为，宽为， ∴，则， ∵， 解得，（负值舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ∵，即， ∴， ∴， ∴贺卡不折叠就不能放入此信封， 故答案为：不能 ． 【分析】根据正方形性质可得边长为16，设长方形的长为，宽为，根据面积建立方程，解方程可得长方形的长为，宽为，再比较大小即可求出答案. 17．【答案】（1）解：方程两边开方，， 或， ∴，. （2）解：移项得， 因式分解得， 或， ∴，. （3）解：移项得， 配方得， ， ， ∴，. （4）解：∵， ∴， ∴，. 【解析】【分析】（1）直接利用开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 18．【答案】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， ∴m的值为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴m的取值范围为：． 【解析】【分析】（1）将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案. （2）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案. （1）解：将代入原方程得： ， 解得：， ∴m的值为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴m的取值范围为：． 19．【答案】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵方程两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，可得，解不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系，可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值。 （1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵方程两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 20．【答案】（1）解：图2中小正方形的边长为； （2）解：由题得：， 化简得：， ， 或． 【解析】【分析】（1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程，解方程即可求出答案. 21．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根，∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据题意代入计算，从而解一元二次方程即可求解。 （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 22．【答案】（1）50；1500 （2）解：设玩偶的单价降价元，根据题意， 得 ， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：玩偶的单价应降20元． 【解析】【解答】解：（1）依题意，某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量增加10×2=20（件）， 故此时的销售量为30+20=50件， 当天可获利元； 故答案为：50；1500． 【分析】（1）根据题意，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件；则降价10元，可多售出20件，可得销量为（30+20）件，根据销量乘以单件的利润求得获利； （2）设玩偶的单价降价元，根据题意和（1）的分析过程，列出一元二次方程，解方程即可求解． 23．【答案】（1）2；3+4i （2）解：（2）解：∵一元二次方程×2+mx+n=0有一个根是1-i， ∴(1-i)2+m(1-i)+n=0，即-2i+m-mi+n=0， ∴m+n=2i+mi， ∵m，n是实数， ∴2+m=0， 解得：m=-2，n=2， ∴m-n=-4. 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式计算即可求出答案. （2）将x=1-i代入方程可得m+n=2i+mi，由题意建立方程，解方程可得m，n，再代入代数式即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $