2.2（1）一元二次方程的解法（配方法）【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦一元二次方程解法（配方法），新授课场景。以分层设计为核心，通过前置梳理-基础巩固-能力提升-素养探究的路径，融合运算能力与模型意识，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|配方法原理与步骤|填空式梳理，夯实前置认知| |基础达标|完全平方式补项、各类配方法解方程|题型分层（系数为1/不为1），辨析题强化规范| |能力提升|配方纠错、二次三项式最值|纠错题型培养批判性思维，最值问题发展推理意识| |素养探究|配方法实际建模与证明|结合无人机投放等情境，提升数学建模与应用意识|

2.2（1）一元二次方程的解法【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】完全平方式补项与配方正误辨析 2 【题型2】二次项系数为1的配方法解方程 3 【题型3】二次项系数不为1的配方法解方程 3 【题型4】直接开平方法与根的存在性判断 4 三.能力提升 5 【题型1】配方纠错与复杂方程求解 5 【题型2】二次三项式配方与最值求解 6 四.素养探究 8 【题型】配方法综合应用（实际建模+证明探究） 9 五.中考链接 11 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握配方法的原理、步骤及简单应用。 1. 完全平方公式：。对于二次式，加上一次项系数一半的平方，即________，即可配成完全平方式。 2. 配方法定义：通过恒等变形，在方程两边加上合适常数，将方程左边化为________，右边化为________，再利用直接开平方法求解一元二次方程的方法。 3. 配方法解一元二次方程标准步骤： ①化系数为1：方程两边同时除以________，使二次项系数为1； ②移项：将________移到等号右侧； ③配方：等式两边同时加上________________________； ④整理：左边写成完全平方形式，右边合并常数； ⑤开方：若右边常数非负，直接开平方；若右边为负数，则方程____________； ⑥求解：解出两个一元一次方程的根。 4. 代数式配方应用：将二次三项式化为的形式，可利用平方的________求代数式的最值。 二.基础达标 【题型1】完全平方式补项与配方正误辨析 核心考点：掌握配方核心规律，熟练补全完全平方式，辨析配方变形常见错误 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）；横线内应依次填入：______ 、________； （2）；横线内应依次填入：_______、_________； （3）；横线内应依次填入：________、_________． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【题型2】二次项系数为1的配方法解方程 核心考点：熟练掌握基础配方步骤，规范解题，避免漏写负根 1．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解方程： （1）； （2）． 【题型3】二次项系数不为1的配方法解方程 核心考点：先统一化二次项系数为1，注意所有项同步运算，杜绝漏除常数项 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·山东青岛·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【题型4】直接开平方法与根的存在性判断 核心考点：结合平方非负性，判断方程是否存在实数根，掌握基础开方运算 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 4．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 三.能力提升 【题型1】配方纠错与复杂方程求解 核心考点：规避配方典型易错点，熟练解决含系数、复杂型一元二次方程 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）在用配方法解方程时，小明的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： （1）小明的解答过程从第________步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 3．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 （1）任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ （2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【题型2】二次三项式配方与最值求解 1．（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________． （2）求代数式的最值； 2．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 3．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 四.素养探究 【题型】配方法综合应用（实际建模+证明探究） 核心考点：结合几何实际问题列方程，利用配方法求解、证明代数式取值范围，培养数学建模与逻辑推理素养 1．（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 2．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 5．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为______． 6．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 三、解答题 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 8．（2025·全国·一模）某小区需在围墙旁修建一个矩形花坛，围墙作为一边，其他三边用栅栏围成．已知栅栏总长20米： （1）设垂直于围墙的边长为x米，写出花坛面积S与x的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求面积最大值； （3）若要求面积不小于24平方米，求x的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2（1）一元二次方程的解法【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】完全平方式补项与配方正误辨析 2 【题型2】二次项系数为1的配方法解方程 4 【题型3】二次项系数不为1的配方法解方程 6 【题型4】直接开平方法与根的存在性判断 9 三.能力提升 12 【题型1】配方纠错与复杂方程求解 12 【题型2】二次三项式配方与最值求解 15 四.素养探究 21 【题型】配方法综合应用（实际建模+证明探究） 21 五.中考链接 28 六.自我评价 33 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握配方法的原理、步骤及简单应用。 1. 完全平方公式：。对于二次式，加上一次项系数一半的平方，即________，即可配成完全平方式。 2. 配方法定义：通过恒等变形，在方程两边加上合适常数，将方程左边化为________，右边化为________，再利用直接开平方法求解一元二次方程的方法。 3. 配方法解一元二次方程标准步骤： ①化系数为1：方程两边同时除以________，使二次项系数为1； ②移项：将________移到等号右侧； ③配方：等式两边同时加上________________________； ④整理：左边写成完全平方形式，右边合并常数； ⑤开方：若右边常数非负，直接开平方；若右边为负数，则方程____________； ⑥求解：解出两个一元一次方程的根。 4. 代数式配方应用：将二次三项式化为的形式，可利用平方的________求代数式的最值。 【参考答案】 1. ； 2. 完全平方式；非负常数 3. 二次项系数；常数项；一次项系数一半的平方；无实数根 4. 非负性 二.基础达标 【题型1】完全平方式补项与配方正误辨析 核心考点：掌握配方核心规律，熟练补全完全平方式，辨析配方变形常见错误 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 1 1 解：（1） （2） （3） （4） 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）；横线内应依次填入：______ 、________； （2）；横线内应依次填入：_______、_________； （3）；横线内应依次填入：________、_________． 【答案】 4 2 10（或） 5（或） 3（或） （或） 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比等式两边系数即可求解． 解：略 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 解： 原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 【题型2】二次项系数为1的配方法解方程 核心考点：熟练掌握基础配方步骤，规范解题，避免漏写负根 1．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 解： ． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解： 即或者， ∴，； （2）解： ， ∴，． 【题型3】二次项系数不为1的配方法解方程 核心考点：先统一化二次项系数为1，注意所有项同步运算，杜绝漏除常数项 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 2．（2026·山东青岛·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】对用配方法处理化为的形式即可． 解：进行移项得， 二次项系数化为1得， 配成完全平方式得，即， 因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， 所以，，则； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把二次项的系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，方程的左边配成完全平方的形式，右边是一个正数，再用直接开平方法求出方程的解． （1）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可； （2）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可； （3）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可． 解：（1）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 解得． 故答案为： （2）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 解得． 故答案为： （3）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 即， 解得． 故答案为：． 【题型4】直接开平方法与根的存在性判断 核心考点：结合平方非负性，判断方程是否存在实数根，掌握基础开方运算 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 4．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 三.能力提升 【题型1】配方纠错与复杂方程求解 核心考点：规避配方典型易错点，熟练解决含系数、复杂型一元二次方程 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）在用配方法解方程时，小明的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： （1）小明的解答过程从第________步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）二；（2）， ， ， ， ， ∴， 【分析】（1）观察解题过程可得结论； （2）运用配方法的过程解答即可． （1）解：小明的解答过程从第二步开始出现错误； （2） 略 3．（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 （1）任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ （2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】（1）①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立；（2）， 【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； （2）正确利用配方法进行求解即可． （1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 【题型2】二次三项式配方与最值求解 1．（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________． （2）求代数式的最值； 【答案】（1），；（2）最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． （1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 2．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． （1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 3．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】（1）；（2）；（3）2026；（4）8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． （1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 四.素养探究 【题型】配方法综合应用（实际建模+证明探究） 核心考点：结合几何实际问题列方程，利用配方法求解、证明代数式取值范围，培养数学建模与逻辑推理素养 1．（2025·山东潍坊·二模）【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点：①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】本题考查了数字类规律探究，解一元二次方程，三角形的三边关系，找到规律是解题的关键； （1）根据前几项找到规律，即可求解； （2）根据（1）的结论，得出从第三项起，每一项等于前面两项之和，进而求得，，之间的关系，然后求得的值； （3）结合猜想，有常数满足，构造一元二次方程，解方程，即可求解； （4）根据（1）中的规律得出，结合三角形的三边关系，即可求解． （1）解：由题中给出的前四项可知，这个“走法数”序列满足，， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和， ∴， 故答案为：，． （2），， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和， 猜想， ∴，，，， ，，，， ． （3）由，得， 由（2）得，， ， ， ， 解得， 又， ， 则不符合题意， ． （4）由（1）可得， 按“斐波那契数列”依次取 ，，，，，，，，， 这段之和）， 依次取 ，，，，，，，，，， 共得到段．则其中任意三小段都不能拼成三角形， 剩余铁丝长度：，但新增1cm会出现1，1,1可拼成三角形，因此不新增； 上述数列共10段，总长度满足条件， 若截取11段，按此规律最小总长度会超过144cm，无法实现， 因此的最大值为 10． 2．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）①；②或；（3）该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米；（4） 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． （1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 解：， ， ，即． 3．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为______． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 6．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 三、解答题 7．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 8．（2025·全国·一模）某小区需在围墙旁修建一个矩形花坛，围墙作为一边，其他三边用栅栏围成．已知栅栏总长20米： （1）设垂直于围墙的边长为x米，写出花坛面积S与x的函数关系式； （2）结合二次函数性质，求面积最大值； （3）若要求面积不小于24平方米，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）50平方米；（3） 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的性质、二次函数与不等式、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由题意可知平行于围墙的边长为米，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）根据二次函数的性质解不等式即可． （1）解：由垂直于围墙的边长为x米，则平行于围墙的边长为米，即， 所以花坛面积S与x的函数关系式为，即． （2）解：∵，， ∴当时，花坛的最大面积为50平方米． （3）解：由题意可得：，即， 对于一元二次方程，解得：或， ∵二次函数的开口向上， ∴不等式的解集为． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $