2.2 一元二次方程的解法 新课预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册“2.2一元二次方程的解法”新授课同步练，以“基础巩固-方法迁移-综合应用”分层设计，覆盖解法技能与数学思维，适配新课知识内化与能力初步发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法基本操作|单选题1-6题、填空题11-13题，聚焦单一解法步骤，强化运算能力| |方法迁移|换元法、根的判别式应用、解法选择|单选题7-9题、填空题14-15题、解答题16-17题，通过换元转化（如第8题）、判别式推理（如第2题），发展抽象能力与推理意识| |综合应用|跨知识点结合（分式方程与一元二次方程）、数学思想应用|单选题10题、解答题18-20题，如第10题结合分式方程正数解与判别式，体现模型意识与应用意识|

2.2 一元二次方程的解法 新课预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 7．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 9．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 13．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 14．当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 15．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 _____． 三、解答题 16．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 17．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 18．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 19．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 20．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A B B C B A 1．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 3．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 4．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； C、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； D、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 10．【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且，解得且， 去分母得，解得， ∵分式方程有正数解， ∴且，解得且， ∴的范围为且，， ∴符合条件的整数的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 14．【答案】 5 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 15．【答案】， 【知识点】无理方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 16．【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 17．【答案】(1)证明：， ， ， ， 方程总有两个实数根； (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先求出判别式的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 方程有一根为正数， ， ． 18．【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 19．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 20．【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $