2.1 认识一元二次方程【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“前置梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”五级分层设计，覆盖一元二次方程全知识点，从概念理解到综合应用，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|定义、一般形式等核心概念|填空式前置预习，夯实认知基础| |基础达标|方程识别、系数确定、解验证等基础考点|题型对应单一知识点，含区域期末真题| |能力提升|参数求解、复杂实际问题建模|双重条件综合题，融合几何与代数情境| |素养探究|方程建模与近似解综合|跨知识点探究题，培养数学建模与推理意识| |中考链接|近年中考真题|选择、填空、解答题梯度，衔接阶段测评|

2.1 认识一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】一元二次方程的识别 2 【题型2】化为一般形式并识别系数 3 【题型3】一元二次方程解的验证 3 【题型4】实际问题列一元二次方程 4 【题型5】一元二次方程近似解估算 5 三.能力提升 6 【题型1】根据方程定义求参数值 6 【题型2】复杂实际问题列方程 7 四.素养探究 8 【题型】方程建模与近似解综合探究 8 五.中考链接 11 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握一元二次方程的定义、一般形式及基础应用。 1. 一元二次方程定义：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：__________________（a、b、c为常数，且____≠0）。 二次项：，二次项系数：____；一次项：，一次项系数：____；常数项：____。 3. 方程的解：使一元二次方程左右两边相等的________的值，叫做一元二次方程的解（根）。 4. 近似估算法：利用夹逼试值法，代入未知数不同数值，根据代数式正负变化，缩小取值范围，估算方程近似解。 5. 列一元二次方程步骤：审清题意→设未知数→找________→列出方程。 二.基础达标 【题型1】一元二次方程的识别 核心考点：紧扣定义三要素：唯一未知数、最高次数为2、整式方程，准确判别一元二次方程 1．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【题型2】化为一般形式并识别系数 核心考点：通过移项、去括号整理为标准一般形式，精准识别带符号的各项系数与常数项 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 【题型3】一元二次方程解的验证 核心考点：将数值代入方程，验证是否为方程的根，理解方程解的定义 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）若是方程的一个实数根，则的值为______． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【题型4】实际问题列一元二次方程 核心考点：结合面积、数字等基础实际场景，提取等量关系列方程（无需解方程） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 【题型5】一元二次方程近似解估算 核心考点：利用试值夹逼法，根据代数式正负变化，估算方程正数解的取值范围 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断________________． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 三.能力提升 【题型1】根据方程定义求参数值 核心考点：利用“最高次数为2、二次项系数不为0”双重条件，求解字母参数取值 1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【题型2】复杂实际问题列方程 核心考点：结合图形裁剪、边长变化等场景，精准梳理等量关系，列一元二次方程 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 四.素养探究 【题型】方程建模与近似解综合探究 核心考点：融合几何建模、方程列写、试值估算，培养数学建模与逻辑推理核心素养 1．（2026·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： （1）【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； （2）【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； （3）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 五.中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·二模）方程的一次项系数是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 3．（2026·广西柳州·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 5．（2026·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为___________． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 三、解答题 7．（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 8．（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识一元二次方程【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】一元二次方程的识别 2 【题型2】化为一般形式并识别系数 4 【题型3】一元二次方程解的验证 6 【题型4】实际问题列一元二次方程 8 【题型5】一元二次方程近似解估算 11 三.能力提升 13 【题型1】根据方程定义求参数值 13 【题型2】复杂实际问题列方程 16 四.素养探究 19 【题型】方程建模与近似解综合探究 19 五.中考链接 23 六.自我评价 27 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握一元二次方程的定义、一般形式及基础应用。 1. 一元二次方程定义：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：__________________（a、b、c为常数，且____≠0）。 二次项：，二次项系数：____；一次项：，一次项系数：____；常数项：____。 3. 方程的解：使一元二次方程左右两边相等的________的值，叫做一元二次方程的解（根）。 4. 近似估算法：利用夹逼试值法，代入未知数不同数值，根据代数式正负变化，缩小取值范围，估算方程近似解。 5. 列一元二次方程步骤：审清题意→设未知数→找________→列出方程。 【参考答案】 1. 1；2 2. ；a；a；b；c 3. 未知数 5. 等量关系 二.基础达标 【题型1】一元二次方程的识别 核心考点：紧扣定义三要素：唯一未知数、最高次数为2、整式方程，准确判别一元二次方程 1．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 4．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 【题型2】化为一般形式并识别系数 核心考点：通过移项、去括号整理为标准一般形式，精准识别带符号的各项系数与常数项 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 【题型3】一元二次方程解的验证 核心考点：将数值代入方程，验证是否为方程的根，理解方程解的定义 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）若是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．由一元二次方程的根的定义可得，整体代入即可得到答案． 解：是方程的一个根， ， ， 代数式的值为2025． 故答案为：2025． 【题型4】实际问题列一元二次方程 核心考点：结合面积、数字等基础实际场景，提取等量关系列方程（无需解方程） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程． 根据平面图中停车位组合起来为一个宽为米，长为米的长方形，以及其“停车位的占地面积为352平方米”建立方程求解，即可解题． 解：根据题意可列方程为：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数参加比赛的班级球队数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：根据题意得：． 故选：C． 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 【答案】 【分析】（1）设正方形的边长为x，根据“所得的矩形的面积是原来正方形的2倍”，列出方程，即可； （2）设较长一段的长为x，根据“较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，”列出方程，即可． 解：（1）设正方形的边长为x，根据题意得： ， 整理得：； （2）设较长一段的长为x，根据题意得： ， 整理得：． 【题型5】一元二次方程近似解估算 核心考点：利用试值夹逼法，根据代数式正负变化，估算方程正数解的取值范围 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程解的范围，理解题意是解决本题的关键． 通过观察代数式值的符号变化，利用函数连续性即可确定根所在区间． 解：∵当时，， 当时，， ∴方程在和之间有一个正根， 即． 故选C． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点拨】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断________________． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 三.能力提升 【题型1】根据方程定义求参数值 核心考点：利用“最高次数为2、二次项系数不为0”双重条件，求解字母参数取值 1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出且，再求出k的值即可． 解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． （1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 【题型2】复杂实际问题列方程 核心考点：结合图形裁剪、边长变化等场景，精准梳理等量关系，列一元二次方程 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 【答案】 【分析】（1）设正方形的边长为x，根据“所得的矩形的面积是原来正方形的2倍”，列出方程，即可； （2）设较长一段的长为x，根据“较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，”列出方程，即可． 解：（1）设正方形的边长为x，根据题意得： ， 整理得：； （2）设较长一段的长为x，根据题意得： ， 整理得：． 四.素养探究 【题型】方程建模与近似解综合探究 核心考点：融合几何建模、方程列写、试值估算，培养数学建模与逻辑推理核心素养 1．（2026·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因式分解法等方法求出精确解．现以方程举例简述估算和精确计算分别是如何操作的： （1）【估算】我们通过下列步骤估计方程的根所在的大致范围． 第一步：问题转化：方程 的根即为函数与x轴的交点横坐标； 第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线； 第三步：因为当 时，，当时，，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1 之间，所以可确定方程 的一个根所在的范围是； 第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根所在的大致范围． 回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根在哪两个连续的整数之间； （2）【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解； （3）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程：的负根在哪两个连续整数之间． 【答案】（1）在之间；（2）；（3）在之间 【分析】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合． （1）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论； （2）根据配方法求方程的根即可； （3）根据题意，通过计算时，，当时，即可下结论． （1）解：时，， 时，， 所以的另一个根在之间． （2）解：采用配方法：， ， ， ， ． （3）解：时，， 时，， ∴的负根在之间． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】（1）；（2）求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 五.中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·二模）方程的一次项系数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程项与系数的判断，掌握好一元二次方程的概念是关键． 将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式中一次项系数的定义确定答案． 解：将方程移项化为一元二次方程的一般形式为． ∴该方程的一次项为，对应的一次项系数是． 故选：B． 2．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 3．（2026·广西柳州·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 二、填空题 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 5．（2026·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 三、解答题 7．（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 8．（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． （1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $