2.1 认识一元二次方程（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到中考衔接，构建“概念理解-运算巩固-思维拓展-中考适配”的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一元二次方程定义、一般形式、参数求解等核心概念|基础题型对应单一考点，如定义辨析、一般形式转化，强化运算能力| |B组能力进阶|根的性质判断、参数综合应用|综合题型整合多知识点，如第25题结合方程根与系数关系，培养推理意识| |C组思维拔高|同构方程、无理数估算等拓展内容|创新题型如“同构二次方程”（第34题），发展创新意识与数学眼光| |拓展链接中考|中考高频考点|中考真题直接对接，如第39题根的代入求值，提升应用意识|

分层作业 2.1 认识一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般形式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 一元二次方程的解的估算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意；B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义；C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设一元二次方程的一般形式为，∵是方程的根，∴将代入方程得：，任意取满足条件的，例如取，，，得到一元二次方程，验证可知是该方程的根，符合要求． 化成一元二次方程的一般形式题型02 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】解：将化为的形式为，故，，． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】展开右侧得移项合并同类项得由题意，该方程一次项系数为，可得解得． 5．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】解： ，原方程化为一般形式为． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原方程为，∵展开方程左边，得，合并同类项得，移项整理为一般形式，两边同乘得. 7．（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 由一元二次方程的定义求参数题型03 8．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【解析】∵是关于x的一元二次方程，∴． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为，∴，解得． 10．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【解析】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，∴，解得或，∵二次项系数不为0，∴，∴，∴． 11．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】解：∵原方程是一元二次方程，∴未知数最高次数满足，且二次项系数，解得，即或，由得，∴． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【解析】原方程化为一般形式：，即，由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数．解，得．由，得，故． 判断是否是一元二次方程的解题型04 13．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵一元二次方程为 ，把代入方程左边，得，又∵已知，∴当时，方程左右两边相等，∴是该一元二次方程的一个根． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【解析】将代入得，，此方程必有一根为． 由一元二次方程的解求参数题型05 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】∵是方程的一个根，∴将代入原方程，得，移项得，∴代数式的值为． 16．（2026·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：把代入方程，得，即，解得． 17．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】∵是关于的方程的一个根，∴，即，∴． 18．（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【解析】是一元二次方程的解，整理得 ，解得 ． 19．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵是方程的一个根，∴把代入方程得，解得． 20．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【解析】将代入，得，，． 一元二次方程的解的估算题型06 21．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B． C． D． 【答案】D 【解析】 由表格可知：当时，，当时，， 方程的一个解的取值范围为． 22．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【解析】令（，，，为常数），∵当时，，当时，，∴当时，必然取到0，即方程的一个解的范围是：． 23．（25-26九年级上·广东佛山·期末）根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当时，，当时，，当时，的值会从负变为正，即存在使得，方程的一个解的取值范围是． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】∵ 方程为当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根，当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根，∴方程的根为． 25．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【解析】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为，∴将代入得，,解得，甲：∵原方程为，∴将代入原方程得，，，解得，∴是原方程的根，甲说法正确；乙：由题意得，，代入得，，当时，，即，∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．∴甲、乙都对． 26．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ，又∵ ，∴ ，则，把代入得 ，∴ ，. 27．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由表格可知，当时，，即，当时，，即，∴时，． 28．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】∵当时，，∴方程有一根为，故A正确，不符合题意．∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意．由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意．∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等，∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 29．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【解析】解：方程化为．两边同乘公分母，得．整理得：． 30．（2026九年级上·全国·专题练习）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形．设正方形的边长为，根据题意，可列方程为__________，将其化为一般形式为__________． 【答案】 【解析】原长方形面积为，剪短后变成正方形，设正方形边长为，因此原长方形长为，宽为，列方程得．展开得，移项得一般形式． 31．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【解析】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴或， ∴或． 32．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 33．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【解析】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此，即， 代入原方程，得：，则． （2）解：，； ∵，∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 34．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【解析】∵与是“同构二次方程”，故方程可化为方程，， ，，解得：，． 35．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【解析】解：由题意可知，且，即且，∴．∴原一元二次方程可化为，∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．∴． 36．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，为正实数，关于的一元二次方程为．若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【解析】解：已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 37．（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为，∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵，∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，，∵，∴， 略去，得方程，解得，即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【解析】解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵，∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵，∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 38．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【解析】（1）解：，， ，，即两边同时乘以得．，； （2）解：，， ，，即， ． 39．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】∵是方程的一个根，∴将代入原方程，得，整理得，移项得，两边同除以，得． 40．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【解析】因为是方程的根，将代入方程得：，整理得，移项得． 41．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【解析】∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴． 42．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴． 43．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】将代入原方程得：，解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 认识一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般形式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 一元二次方程的解的估算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 化成一元二次方程的一般形式题型02 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)． 由一元二次方程的定义求参数题型03 8．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 11．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 判断是否是一元二次方程的解题型04 13．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 由一元二次方程的解求参数题型05 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 16．（2026·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 18．（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 19．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 20．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 一元二次方程的解的估算题型06 21．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B． C． D． 22．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 23．（25-26九年级上·广东佛山·期末）根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 25．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 26．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 27．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 29．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 30．（2026九年级上·全国·专题练习）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形．设正方形的边长为，根据题意，可列方程为__________，将其化为一般形式为__________． 31．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 32．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 33．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 34．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 35．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 36．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，为正实数，关于的一元二次方程为．若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 37．（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为，∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵，∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，，∵，∴， 略去，得方程，解得，即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 38．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 39．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 40．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 41．（2026·甘肃天水·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 42．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 43．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 认识一元二次方程 参考答案 一元二次方程的定义题型01 1．B 2．（答案不唯一） 化成一元二次方程的一般形式题型02 3.A 4. A 5. 6.C 7．【解析】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 由一元二次方程的定义求参数题型03 8．C 9．B 10． 11． 12．【解析】原方程化为一般形式：，即，由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数．解，得．由，得，故． 判断是否是一元二次方程的解题型04 13．A 14． 由一元二次方程的解求参数题型05 15．A 16．A 17． 18． 19．D 20．A 一元二次方程的解的估算题型06 21．D 22．C 23．B 24．C【解析】∵ 方程为当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根，当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根，∴方程的根为． 25．C【解析】由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为，∴将代入得，,解得，甲：∵原方程为，∴将代入原方程得，，，解得，∴是原方程的根，甲说法正确；乙：由题意得，，代入得，，当时，，即，∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确．∴甲、乙都对． 26．A【解析】∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ，又∵ ，∴ ，则，把代入得 ，∴ ，. 27．B【解析】由表格可知，当时，，即，当时，，即，∴时，． 28．C【解析】∵当时，，∴方程有一根为，故A正确，不符合题意．∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意．由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意．∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等，∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 29．【解析】方程化为．两边同乘公分母，得．整理得：． 30．【解析】原长方形面积为，剪短后变成正方形，设正方形边长为，因此原长方形长为，宽为，列方程得．展开得，移项得一般形式． 31．【解析】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程，∴或， ∴或． 32．【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 33．【解析】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此，即， 代入原方程，得：，则． （2）解：，； ∵，∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 34．【解析】∵与是“同构二次方程”，故方程可化为方程，， ，，解得：，． 35．【解析】解：由题意可知，且，即且，∴．∴原一元二次方程可化为，∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴．∴． 36．【解析】解：已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 37．【解析】解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵，∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵，∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 38．【解析】（1）解：，， ，，即两边同时乘以得．，； （2）解：，， ，，即， ． 39．D 40． 41． 42． 43． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $