2.3 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“一元二次方程的根与系数的关系”，通过A、B、C组及拓展分层设计，构建从基础应用到中考综合的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|基础应用（根的性质判断、求另一根）、求值（代数式）、求参数|选择题+填空题为主，直接应用韦达定理，强化概念理解| |B组能力进阶|综合应用（几何与代数结合如菱形面积、含参数方程推理）|解答题为主，需转化条件，培养运算能力与逻辑推理| |C组思维拔高|复杂参数问题、跨知识整合（类比三次方程根与系数关系）|含开放探究题，发展创新意识与批判性思维| |拓展链接中考|中考真题（综合考点、压轴题型）|对接中考命题趋势，强化应用意识与应试能力|

分层作业 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程根与系数的关系基础应用 题型02 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程根与系数的关系基础应用题型01 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 利用一元二次方程根与系数的关系求值题型02 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 7．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 9．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型03 10．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 11．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 13．（2026·浙江·模拟预测）在方程中，小金解得，则______． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 16．（2022·湖南衡阳·模拟预测）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 20．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 21．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 22．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 23．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时，已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 27．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 29．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 30．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 31．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 32．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 33．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 34．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 参考答案 一元二次方程根与系数的关系基础应用题型01 1．D 2．B 3． 利用一元二次方程根与系数的关系求值题型02 4．A 5． 6． 7． 8． 9． 利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型03 10．B 11．D 12．D 13． 14．A 15．【解析】解：方程有两个实数根， 判别式，解得：， 由根与系数的关系得：、，， ，， 整理得：，解得：或， ，． 16．D 【解析】∵，是一元二次方程的两个根，，，，∴，，∴． 17．C【解析】解：∵是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，∴． 18．D【解析】∵，，是一元三次方程的三个根， ∴，展开右边得．∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，∴，整理得． 19．B【解析】∵是一元二次方程的根，∴，即，∵，是方程的两个根，∴由根与系数的关系可得，，∴． 20．3【解析】解：设方程的两个根为，，由根与系数的关系得：，∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根，∴菱形两条对角线的乘积为，∵菱形的面积等于对角线乘积的，∴菱形的面积为． 21．【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵，∴，即，解得：或， 由判别式大于零，得，解得， ∴． 22．【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 展开整理得，解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ，代入得， 整理得，解得， ，，不符合题意，舍去，． 23．【解析】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 24．C【解析】解：∵是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，∴． 25．A【解析】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 26．【解析】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 27．【解析】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得，解得或． 又，． 28．【解析】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，，∴，即， ∵，，∴， ∴，∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，，∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 29．A 30．3 31． 32． 33． 34．【解析】（1）证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程根与系数的关系基础应用 题型02 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 一元二次方程根与系数的关系基础应用题型01 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，是一元二次方程的两个实数根．∴ ，． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设原方程的另一个实数根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，∴，∴原方程的另一个实数根为． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【解析】∵一元二次方程的两个根为，，∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：，∵，，∴，∴这个一元二次方程是． 利用一元二次方程根与系数的关系求值题型02 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，是方程的两个根，∴，∴． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】解：方程中，，，∵，是方程的两个根∴，∴． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，，∴． 7．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 【答案】 【解析】设该一元二次方程为，由题意可知，方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系，得，代入得，解得，∴这个方程的常数项是6． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系可得，， ． 9．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，∴． 利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型03 10．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 方程的两根为、，∴ 根据根与系数的关系可得 ， ，∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，∴ ． 11．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】∵一元二次方程的两个根为，，∴根据根与系数的关系可得，，∵，∴，解得． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】解：∵一元二次方程的两根为，，∴根据根与系数的关系可得，，∵一元二次方程的两根为，，∴两根之积满足，∴． 13．（2026·浙江·模拟预测）在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【解析】由题意，，∵，∴，解得. 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【解析】设方程的两根为．∵ 方程两根互为倒数，∴ ．又∵由根与系数的关系得．∴ ，解得或．∵ 一元二次方程有两个实数根，∴．∴．∵ ，不符合要求舍去，∴ ． 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 解：方程有两个实数根， 判别式，解得：， 由根与系数的关系得：、，， ，， 整理得：，解得：或， ，． 16．（2022·湖南衡阳·模拟预测）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【解析】∵，是一元二次方程的两个根，，，，∴，，∴． 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵是一元二次方程的两个实数根，∴，∴． 18．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，是一元三次方程的三个根，∴，展开右边得．∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，∴，整理得． 19．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【解析】∵是一元二次方程的根，∴，即，∵，是方程的两个根，∴由根与系数的关系可得，，∴． 20．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】3 【解析】解：设方程的两个根为，，由根与系数的关系得：，∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根，∴菱形两条对角线的乘积为，∵菱形的面积等于对角线乘积的，∴菱形的面积为． 21．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵，∴，即，解得：或， 由判别式大于零，得，解得， ∴． 22．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 展开整理得，解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ，代入得， 整理得，解得， ，，不符合题意，舍去，． 23．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【解析】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵是一元二次方程的两个实数根，∴，∴． 25．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，是方程的两个根，∴由根的定义得，，由根与系数的关系得，，化简第一个因式：，化简第二个因式：，∴原式，代入，得：原式． 26．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时，已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【解析】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 27．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【解析】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得，解得或． 又，． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，，∴，即， ∵，，∴， ∴，∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，，∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 29．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，，，∴，，∴． 30．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【解析】∵方程的两个根是和，∴． 31．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，解得，由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小，当取最大值时，取得最小值，代入得，最小值为． 32．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】，是关于的一元二次方程的两根， 方程的根的判别式，即 ，解得 ，由根与系数的关系可得：，，代入得：，移项，系数化为1得：，，两个不等式解集的交集为． 33．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】设一元二次方程的两根分别为，．根据根与系数的关系可得，．整理得．变形得．解得．将代入得．验证判别式：，符合题意． 34．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【解析】（1）证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $