3.1《列代数式表示数量关系》整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦人教版七年级上册“代数式”核心内容，系统梳理用字母表示数的意义与书写规范，代数式概念，列代数式表示和差倍分、面积体积等数量关系，代数式意义及正反比例关系，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料采用两日分段预习设计，明确达成目标与自检打卡，结合高频易错点汇总和符号化、模型等数学思想，真题训练覆盖多情境。通过具体实例培养抽象能力与模型意识，课中辅助分层教学，课后助力学生自主查漏补缺，提升应用意识。

人教版七年级上册预习 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・代数式概念与列代数式模块）】 ✅ 达成目标：理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念和书写规范，能正确列出代数式表示数量关系 通读课本 P69-P72 用字母表示数、代数式的概念和例1-例4内容，自主完成下文「核心知识点 1-4」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记代数式的书写规范（数放在字母前、乘号省略或写作"·"、除法写成分数形式），掌握列代数式的方法（先读先写、后读后写，注意运算顺序）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能说出代数式的概念和书写规范，能正确列出代数式表示和差倍分、面积体积、行程工程等数量关系。 【Day2 预习任务（建议 30min・代数式意义与正反比例关系模块）】 ✅ 达成目标：能说出代数式的实际意义，理解正比例关系和反比例关系的概念，能判断两个量是否成反比例关系 通读课本 P71-P75 例2、列代数式步骤、正比例和反比例关系、例5内容，完成「核心知识点 5-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握说出代数式意义的方法，理解正比例关系（比值一定）和反比例关系（乘积一定）的概念，能判断两个量是否成反比例关系。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能说出代数式的实际意义，能判断两个量是否成正比例或反比例关系，能在实际问题中列出代数式。 一、核心知识点梳理 知识点 1：用字母表示数的意义和书写规范 实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式子简明地表达。用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性。 例如：机器人工作效率为5 m²/s，t s能识别的范围是5×t=5t m²。用字母t表示时间，可以表示任意时间内的工作量。 代数式的书写规范： （1）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作"·"或省略不写。例如，5×t可以写成5·t或5t； （2）数与字母相乘时，数要写在字母前面。例如，a×3要写成3a，不能写成a3； （3）带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。例如，×a要写成a； （4）除法运算要写成分数形式。例如，a÷b要写成的分数形式； （5）相同字母相乘，可以写成幂的形式。例如，a·a写成a²。 💡重要结论：用字母表示数是代数的基础，它使数学表达更具一般性和简洁性。书写规范是列代数式的基础，必须严格遵守。 知识点 2：代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）。 例如：5t，，450m-720，，4a，a²，它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，都是代数式。 单独的一个数或字母也是代数式。例如，5，t都是代数式。 代数式中的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方（开方将在以后学习）。 判断一个式子是不是代数式，关键看它是否用运算符号把数或字母连接起来，或者是否是单独的一个数或字母。等式和不等式不是代数式，因为它们含有等号或不等号。 ⚠️易错提醒：代数式不含等号和不等号。例如，a+b=5不是代数式，而是等式；a>3不是代数式，而是不等式。 知识点 3：列代数式表示数量关系 列代数式就是把实际问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 常见的数量关系： （1）和差倍分关系：a的2倍与3的和是2a+3；比x的2倍少1的数是2x-1； （2）面积体积关系：正方形边长为a，周长l=4a，面积S=a²；长方体长宽高分别为a、b、h，体积V=abh； （3）行程关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度。例如，甲乙两地全长240 km，汽车速度v ，从甲地到乙地需要 h； （4）工程关系：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率。例如，铺设2 km管道，d天完成，平均每天铺设 km； （5）销售关系：售价=原价×折扣，利润=售价-进价。例如，苹果原价p元/kg，九折优惠，售价0.9p元/kg； （6）利息关系：利息=本金×年利率×存期。例如，a元存3年，年利率2.75%，到期利息8.25%a元。 💡重要结论：列代数式的关键是正确理解数量关系，注意运算顺序。"的"字前面的先算，"和""差""积""商"等词表示运算结果。 知识点 4：列代数式的步骤和方法 列代数式的一般步骤： （1）审题：理解题意，找出问题中的数量关系； （2）确定字母：用字母表示问题中的未知数或变量； （3）分析运算：根据数量关系确定运算顺序和运算符号； （4）列出代数式：按照书写规范写出代数式。 例如：用代数式表示a，b两数的和与差的积。 步骤：先求两数的和a+b，再求两数的差a-b，最后求它们的积(a+b)(a-b)。 注意：在本套书中，如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指"a-b"。 列代数式的常用方法： （1）直译法：按照问题中的文字叙述，直接翻译成代数式； （2）公式法：利用已有的公式（面积、体积、行程、工程等）列出代数式； （3）归纳法：通过观察具体例子，归纳出一般规律，列出代数式。 ⚠️易错提醒：列代数式时要注意运算顺序，必要时添加括号。例如，"a与b的和的2倍"要写成2(a+b)，不能写成2a+b，因为2a+b表示"a的2倍与b的和"。 知识点 5：代数式的意义 说出代数式的意义，就是用文字语言描述代数式所表示的数量关系或实际意义。 例如： （1）2a+3的意义是a的2倍与3的和； （2）2(a+3)的意义是a与3的和的2倍； （3）的意义是c除以a，b的积的商； （4）x²+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和。 同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系。例如，0.9p既可以表示苹果九折后的售价，也可以表示长0.9m、宽p m的长方形的面积。 说出代数式意义的方法：按照运算顺序，用"的"字把各部分连接起来，注意区分"和的几倍"与"几倍的和"等不同表述。 💡重要结论：代数式的意义具有多样性，同一个代数式可以表示不同的实际意义。说出代数式意义时要准确描述运算顺序和数量关系。 知识点 6：正比例关系与反比例关系 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值（商）一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 例如：机器人工作效率保持不变，工作量与工作时间的比值总是等于工作效率，所以工作量与工作时间成正比例关系。 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 例如：造雪总量保持不变，每天造雪量与造雪天数的乘积总是等于造雪总量，所以每天造雪量与造雪天数成反比例关系。 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示。 例如：圆柱形容器底面积x cm²，注入300 cm³水，水的高度y cm，xy=300，y与x成反比例关系。四个容器底面积分别为10,20,30,60 cm²，水的高度分别为30,15,10,5 cm。 💡重要结论：判断两个量是否成正比例关系，看它们的比值是否一定；判断是否成反比例关系，看它们的乘积是否一定。正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：代数式书写不规范。数与字母相乘时，数要写在字母前面，乘号省略或写作"·"。例如，a×3要写成3a，不能写成a3或a×3；带分数与字母相乘时要化成假分数。 易错点2：列代数式时运算顺序错误。"a与b的和的2倍"要写成2(a+b)，不能写成2a+b；"a的2倍与b的和"要写成2a+b，不能写成2(a+b)。要注意"的"字的位置决定运算顺序。 易错点3：除法运算没有写成分数形式。代数式中的除法要写成分数形式，例如，a÷b要写成的分数形式，不能保留除号。 易错点4：带单位时代数式没有加括号。如果代数式是和或差的形式，带单位时要把整个代数式括起来。例如，"苹果和梨的总重量是(a+b)kg"，不能写成"a+b kg"。 易错点5：混淆"a与b的差"和"b与a的差"。在本套书中，如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指"a-b"；b与a的差指"b-a"。两者互为相反数，不能混淆。 易错点6：判断反比例关系时只看变化不看乘积是否一定。两个量一个增大另一个减小，不一定成反比例关系，必须满足它们的乘积一定。例如，被减数一定，减数和差虽然一个增大另一个减小，但它们的和一定，不是乘积一定，所以不成反比例关系。 二、基本概念定义 代数式：用____把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。单独的一个____或____也是代数式。 代数式书写规范：数与字母相乘时，数要写在字母___面，乘号写作"·"或__写__；除法运算要写成____形式。 正比例关系：两个相关联的量，比值（商）____，这两个量叫作成正比例的量。 反比例关系：两个相关联的量，____一定，这两个量叫作成反比例的量，用式子表示为____（k≠0）。 列代数式的步骤：审题→确定____→分析____→列出代数式。 三、数学思想方法 1. 符号化思想 符号化思想是指用符号（字母、运算符号等）来表示数、数量关系和运算规律的思想方法。在本节中，我们用字母t表示时间，用字母a表示正方形的边长，用字母v表示速度，用代数式5t、a²、等表示各种数量关系，体现了符号化思想。符号化思想使数学表达更加简洁、通用，是代数的核心思想。用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，使数学从具体走向一般。 2. 模型思想 模型思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，代数式就是描述实际问题中数量关系的数学模型。例如，用2a+3b表示购买面包和饮料的总费用，用0.9p表示打折后的售价，用xy=k表示反比例关系，都是通过建立代数式模型来描述实际问题，体现了模型思想。模型思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，列代数式就是将文字语言描述的数量关系转化为符号语言表示的代数式；说出代数式的意义就是将符号语言表示的代数式转化为文字语言描述的数量关系；判断正反比例关系就是将实际问题中的数量关系转化为比值一定或乘积一定的数学形式，体现了转化思想。转化思想使文字语言与符号语言相互转化，便于理解和应用。 4. 分类讨论思想 分类讨论思想是指根据问题的不同情况进行分类，分别研究各类情况的思想方法。在本节中，代数式的书写需要分类讨论（数与字母相乘、字母与字母相乘、带分数与字母相乘等）；列代数式需要根据不同的数量关系分类（和差倍分、面积体积、行程工程、销售利息等）；判断比例关系需要分类讨论（正比例关系和反比例关系），体现了分类讨论思想。分类讨论使复杂的问题变得有条理，便于逐一解决。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，列代数式广泛应用于购买商品、银行存款、行程问题、工程问题、几何计算、造雪问题等实际生活场景；正比例和反比例关系也来源于实际生活（工作量与工作时间、造雪量与造雪天数、底面积与水的高度等），体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列各式中，是代数式的是（　　　） A. a+b=5 B. 2x+3 C. x>3 D. S=ab 2.（2025-2026学年·北京期中）下列代数式书写规范的是（　　　） A. a×3 B. 1 a C. 3a D. a÷b 3.（2024-2025学年·山东济南期末）"a的2倍与b的和"用代数式表示为（　　　） A. 2(a+b) B. 2a+b C. a+2b D. 2ab 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）正方形的边长为a，则正方形的周长和面积分别为（　　　） A. 4a，a² B. a²，4a C. 4a，2a D. 2a，a² 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）代数式2(a+3)的意义是（　　　） A. a的2倍与3的和 B. a与3的和的2倍 C. a的2倍与3的积 D. a与3的2倍的和 6.（2025-2026学年·福建福州期末）甲乙两地相距s km，汽车从甲地开往乙地，速度为v km/h，则汽车从甲地到乙地需要的时间为（　　　） A. h B. sv h C. s+v h D. h 7.（2024-2025学年·河南周口期末）某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，则现在的售价为（　　　） A. a元 B. 0.99a元 C. 1.01a元 D. 0.9a元 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）下列各组量中，成反比例关系的是（　　　） A. 工作效率一定，工作量与工作时间 B. 路程一定，速度与时间 C. 单价一定，总价与数量 D. 正方形的边长与面积 9.（2024-2025学年·四川成都期中）用代数式表示"比a的平方小3的数"，正确的是（　　　） A. a²-3 B. (a-3)² C. a²+3 D. 3-a² 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）长方形的长为a，宽为b，若长增加2，宽减少1，则新长方形的面积为（　　　） A. ab B. (a+2)(b-1) C. (a-2)(b+1) D. (a+2)(b+1) 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）"a的3倍与b的差"用代数式表示为________；"a与b的差的3倍"用代数式表示为________。 12.（2025-2026学年·北京期中）每包书有10册，n包书有________册；将p kg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量为_______kg。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）棱长为a的正方体的体积是________；表面积是________。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）王芳今年m岁，她去年________岁，6年后________岁。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，则去年的产量是________件。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）如果xy=k（k为常数，k≠0），那么x与y成________比例关系；如果=k（k为常数，k≠0），那么x与y成________比例关系。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）用代数式表示： （1）比a的2倍大1的数； （2）a的相反数与b的一半的差； （3）a的平方除以b的商； （4）m的。 18.（2024-2025学年·人教版同步）说出下列代数式的意义： （1）2a+3c；　　（2）3(m-n)；　　（3）a²+1； （4）。 19.（2025-2026学年·北京期中）某商店出售一种商品，原价为a元，有如下两种调价方案： 方案一：先提价10%，再降价10%； 方案二：先降价10%，再提价10%。 （1）用代数式表示两种方案调价后的价格； （2）两种方案调价后的价格相同吗？与原价相比是涨了还是降了？ 20.（2024-2025学年·广东广州期末）甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h。 （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ （2）如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？可以早到多少小时？ 21.（2025-2026学年·山东济南期末）判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； （2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高； （3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某校组织学生参加社会实践活动，需要租用客车。现有甲、乙两种客车，甲种客车每辆可坐40人，乙种客车每辆可坐50人。 （1）如果租用甲种客车x辆，乙种客车y辆，用代数式表示一共可坐的人数； （2）如果共有300名学生参加活动，租用甲种客车x辆，用代数式表示还需要租用乙种客车的数量； （3）如果甲种客车每辆租金为a元，乙种客车每辆租金为b元，租用甲种客车x辆，乙种客车y辆，用代数式表示总租金。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・代数式概念与列代数式模块）】 ✅ 达成目标：理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念和书写规范，能正确列出代数式表示数量关系 通读课本 P69-P72 用字母表示数、代数式的概念和例1-例4内容，自主完成下文「核心知识点 1-4」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记代数式的书写规范（数放在字母前、乘号省略或写作"·"、除法写成分数形式），掌握列代数式的方法（先读先写、后读后写，注意运算顺序）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能说出代数式的概念和书写规范，能正确列出代数式表示和差倍分、面积体积、行程工程等数量关系。 【Day2 预习任务（建议 30min・代数式意义与正反比例关系模块）】 ✅ 达成目标：能说出代数式的实际意义，理解正比例关系和反比例关系的概念，能判断两个量是否成反比例关系 通读课本 P71-P75 例2、列代数式步骤、正比例和反比例关系、例5内容，完成「核心知识点 5-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 掌握说出代数式意义的方法，理解正比例关系（比值一定）和反比例关系（乘积一定）的概念，能判断两个量是否成反比例关系。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能说出代数式的实际意义，能判断两个量是否成正比例或反比例关系，能在实际问题中列出代数式。 一、核心知识点梳理 知识点 1：用字母表示数的意义和书写规范 实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式子简明地表达。用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性。 例如：机器人工作效率为5 m²/s，t s能识别的范围是5×t=5t m²。用字母t表示时间，可以表示任意时间内的工作量。 代数式的书写规范： （1）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作"·"或省略不写。例如，5×t可以写成5·t或5t； （2）数与字母相乘时，数要写在字母前面。例如，a×3要写成3a，不能写成a3； （3）带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。例如，×a要写成a； （4）除法运算要写成分数形式。例如，a÷b要写成的分数形式； （5）相同字母相乘，可以写成幂的形式。例如，a·a写成a²。 💡重要结论：用字母表示数是代数的基础，它使数学表达更具一般性和简洁性。书写规范是列代数式的基础，必须严格遵守。 知识点 2：代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）。 例如：5t，，450m-720，，4a，a²，它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，都是代数式。 单独的一个数或字母也是代数式。例如，5，t都是代数式。 代数式中的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方（开方将在以后学习）。 判断一个式子是不是代数式，关键看它是否用运算符号把数或字母连接起来，或者是否是单独的一个数或字母。等式和不等式不是代数式，因为它们含有等号或不等号。 ⚠️易错提醒：代数式不含等号和不等号。例如，a+b=5不是代数式，而是等式；a>3不是代数式，而是不等式。 知识点 3：列代数式表示数量关系 列代数式就是把实际问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 常见的数量关系： （1）和差倍分关系：a的2倍与3的和是2a+3；比x的2倍少1的数是2x-1； （2）面积体积关系：正方形边长为a，周长l=4a，面积S=a²；长方体长宽高分别为a、b、h，体积V=abh； （3）行程关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度。例如，甲乙两地全长240 km，汽车速度v ，从甲地到乙地需要 h； （4）工程关系：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率。例如，铺设2 km管道，d天完成，平均每天铺设 km； （5）销售关系：售价=原价×折扣，利润=售价-进价。例如，苹果原价p元/kg，九折优惠，售价0.9p元/kg； （6）利息关系：利息=本金×年利率×存期。例如，a元存3年，年利率2.75%，到期利息8.25%a元。 💡重要结论：列代数式的关键是正确理解数量关系，注意运算顺序。"的"字前面的先算，"和""差""积""商"等词表示运算结果。 知识点 4：列代数式的步骤和方法 列代数式的一般步骤： （1）审题：理解题意，找出问题中的数量关系； （2）确定字母：用字母表示问题中的未知数或变量； （3）分析运算：根据数量关系确定运算顺序和运算符号； （4）列出代数式：按照书写规范写出代数式。 例如：用代数式表示a，b两数的和与差的积。 步骤：先求两数的和a+b，再求两数的差a-b，最后求它们的积(a+b)(a-b)。 注意：在本套书中，如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指"a-b"。 列代数式的常用方法： （1）直译法：按照问题中的文字叙述，直接翻译成代数式； （2）公式法：利用已有的公式（面积、体积、行程、工程等）列出代数式； （3）归纳法：通过观察具体例子，归纳出一般规律，列出代数式。 ⚠️易错提醒：列代数式时要注意运算顺序，必要时添加括号。例如，"a与b的和的2倍"要写成2(a+b)，不能写成2a+b，因为2a+b表示"a的2倍与b的和"。 知识点 5：代数式的意义 说出代数式的意义，就是用文字语言描述代数式所表示的数量关系或实际意义。 例如： （1）2a+3的意义是a的2倍与3的和； （2）2(a+3)的意义是a与3的和的2倍； （3）的意义是c除以a，b的积的商； （4）x²+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和。 同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系。例如，0.9p既可以表示苹果九折后的售价，也可以表示长0.9m、宽p m的长方形的面积。 说出代数式意义的方法：按照运算顺序，用"的"字把各部分连接起来，注意区分"和的几倍"与"几倍的和"等不同表述。 💡重要结论：代数式的意义具有多样性，同一个代数式可以表示不同的实际意义。说出代数式意义时要准确描述运算顺序和数量关系。 知识点 6：正比例关系与反比例关系 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值（商）一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 例如：机器人工作效率保持不变，工作量与工作时间的比值总是等于工作效率，所以工作量与工作时间成正比例关系。 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 例如：造雪总量保持不变，每天造雪量与造雪天数的乘积总是等于造雪总量，所以每天造雪量与造雪天数成反比例关系。 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示。 例如：圆柱形容器底面积x cm²，注入300 cm³水，水的高度y cm，xy=300，y与x成反比例关系。四个容器底面积分别为10,20,30,60 cm²，水的高度分别为30,15,10,5 cm。 💡重要结论：判断两个量是否成正比例关系，看它们的比值是否一定；判断是否成反比例关系，看它们的乘积是否一定。正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：代数式书写不规范。数与字母相乘时，数要写在字母前面，乘号省略或写作"·"。例如，a×3要写成3a，不能写成a3或a×3；带分数与字母相乘时要化成假分数。 易错点2：列代数式时运算顺序错误。"a与b的和的2倍"要写成2(a+b)，不能写成2a+b；"a的2倍与b的和"要写成2a+b，不能写成2(a+b)。要注意"的"字的位置决定运算顺序。 易错点3：除法运算没有写成分数形式。代数式中的除法要写成分数形式，例如，a÷b要写成的分数形式，不能保留除号。 易错点4：带单位时代数式没有加括号。如果代数式是和或差的形式，带单位时要把整个代数式括起来。例如，"苹果和梨的总重量是(a+b)kg"，不能写成"a+b kg"。 易错点5：混淆"a与b的差"和"b与a的差"。在本套书中，如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指"a-b"；b与a的差指"b-a"。两者互为相反数，不能混淆。 易错点6：判断反比例关系时只看变化不看乘积是否一定。两个量一个增大另一个减小，不一定成反比例关系，必须满足它们的乘积一定。例如，被减数一定，减数和差虽然一个增大另一个减小，但它们的和一定，不是乘积一定，所以不成反比例关系。 二、基本概念定义 代数式：用__运算符号__把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。单独的一个__数__或__字母__也是代数式。 代数式书写规范：数与字母相乘时，数要写在字母__前__面，乘号写作"·"或__省略不写__；除法运算要写成__分数__形式。 正比例关系：两个相关联的量，比值（商）__一定__，这两个量叫作成正比例的量。 反比例关系：两个相关联的量，__乘积__一定，这两个量叫作成反比例的量，用式子表示为__xy=k__（k≠0）。 列代数式的步骤：审题→确定__字母__→分析__运算__→列出代数式。 三、数学思想方法 1. 符号化思想 符号化思想是指用符号（字母、运算符号等）来表示数、数量关系和运算规律的思想方法。在本节中，我们用字母t表示时间，用字母a表示正方形的边长，用字母v表示速度，用代数式5t、a²、等表示各种数量关系，体现了符号化思想。符号化思想使数学表达更加简洁、通用，是代数的核心思想。用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，使数学从具体走向一般。 2. 模型思想 模型思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，代数式就是描述实际问题中数量关系的数学模型。例如，用2a+3b表示购买面包和饮料的总费用，用0.9p表示打折后的售价，用xy=k表示反比例关系，都是通过建立代数式模型来描述实际问题，体现了模型思想。模型思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 3. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，列代数式就是将文字语言描述的数量关系转化为符号语言表示的代数式；说出代数式的意义就是将符号语言表示的代数式转化为文字语言描述的数量关系；判断正反比例关系就是将实际问题中的数量关系转化为比值一定或乘积一定的数学形式，体现了转化思想。转化思想使文字语言与符号语言相互转化，便于理解和应用。 4. 分类讨论思想 分类讨论思想是指根据问题的不同情况进行分类，分别研究各类情况的思想方法。在本节中，代数式的书写需要分类讨论（数与字母相乘、字母与字母相乘、带分数与字母相乘等）；列代数式需要根据不同的数量关系分类（和差倍分、面积体积、行程工程、销售利息等）；判断比例关系需要分类讨论（正比例关系和反比例关系），体现了分类讨论思想。分类讨论使复杂的问题变得有条理，便于逐一解决。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，列代数式广泛应用于购买商品、银行存款、行程问题、工程问题、几何计算、造雪问题等实际生活场景；正比例和反比例关系也来源于实际生活（工作量与工作时间、造雪量与造雪天数、底面积与水的高度等），体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列各式中，是代数式的是（　　　） A. a+b=5 B. 2x+3 C. x>3 D. S=ab 【答案】B 【解析】本题考查代数式的概念。代数式是用运算符号把数或字母连接起来的式子，单独的一个数或字母也是代数式。等式和不等式不是代数式。 【解答】解：A. a+b=5含有等号，是等式，不是代数式； B. 2x+3是用运算符号把数和字母连接起来的式子，是代数式； C. x>3含有不等号，是不等式，不是代数式； D. S=ab含有等号，是等式，不是代数式。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北京期中）下列代数式书写规范的是（　　　） A. a×3 B. 1 a C. 3a D. a÷b 【答案】C 【解析】本题考查代数式的书写规范。数与字母相乘时，数要写在字母前面，乘号省略；带分数要化成假分数；除法要写成分数形式。 【解答】解：A. a×3应写成3a，乘号要省略，数要写在字母前面，不规范； B. 带分数与字母相乘要化成假分数，应写成 a，不规范； C. 3a书写规范； D. a÷b应写成分数形式，不规范。 故选：C。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）"a的2倍与b的和"用代数式表示为（　　　） A. 2(a+b) B. 2a+b C. a+2b D. 2ab 【答案】B 【解析】本题考查列代数式。"a的2倍"是2a，"与b的和"是2a+b。注意区分"a的2倍与b的和"和"a与b的和的2倍"。 【解答】解："a的2倍"是2a，"与b的和"是2a+b。 故选：B。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）正方形的边长为a，则正方形的周长和面积分别为（　　　） A. 4a，a² B. a²，4a C. 4a，2a D. 2a，a² 【答案】A 【解析】本题考查列代数式表示几何图形的周长和面积。正方形周长=边长×4=4a，面积=边长×边长=a²。 【解答】解：正方形的周长=边长×4=4a， 正方形的面积=边长×边长=a·a=a²。 故选：A。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）代数式2(a+3)的意义是（　　　） A. a的2倍与3的和 B. a与3的和的2倍 C. a的2倍与3的积 D. a与3的2倍的和 【答案】B 【解析】本题考查代数式的意义。2(a+3)表示先算a+3（a与3的和），再乘以2（和的2倍）。 【解答】解：2(a+3)表示先算括号内的a+3，即a与3的和，再乘以2，即a与3的和的2倍。 故选：B。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）甲乙两地相距s km，汽车从甲地开往乙地，速度为v km/h，则汽车从甲地到乙地需要的时间为（　　　） A. h B. sv h C. s+v h D. h 【答案】 h 【解析】本题考查列代数式表示行程问题。时间=路程÷速度，路程为s km，速度为v ，所以时间为 h。 【解答】解：根据行程问题的基本关系，时间=路程÷速度， 路程为s km，速度为v ， 所以汽车从甲地到乙地需要的时间为 h。 故选：A。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，则现在的售价为（　　　） A. a元 B. 0.99a元 C. 1.01a元 D. 0.9a元 【答案】B 【解析】本题考查列代数式表示销售问题。先提价10%后价格为a(1+10%)=1.1a，再降价10%后价格为1.1a(1-10%)=1.1a×0.9=0.99a。 【解答】解：先提价10%后的价格为a×(1+10%)=1.1a元， 再降价10%后的价格为1.1a×(1-10%)=1.1a×0.9=0.99a元。 故选：B。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）下列各组量中，成反比例关系的是（　　　） A. 工作效率一定，工作量与工作时间 B. 路程一定，速度与时间 C. 单价一定，总价与数量 D. 正方形的边长与面积 【答案】B 【解析】本题考查反比例关系的判断。两个量的乘积一定，则成反比例关系。路程=速度×时间，路程一定时，速度与时间的乘积一定，成反比例关系。 【解答】解：A. 工作效率一定，工作量÷工作时间=工作效率（比值一定），成正比例关系； B. 路程一定，速度×时间=路程（乘积一定），成反比例关系； C. 单价一定，总价÷数量=单价（比值一定），成正比例关系； D. 正方形的面积=边长²，面积与边长的比值和乘积都不一定，不成比例关系。 故选：B。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）用代数式表示"比a的平方小3的数"，正确的是（　　　） A. a²-3 B. (a-3)² C. a²+3 D. 3-a² 【答案】A 【解析】本题考查列代数式。"a的平方"是a²，"比a的平方小3"是a²-3。 【解答】解："a的平方"是a²， "比a的平方小3"就是a²减去3，即a²-3。 故选：A。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）长方形的长为a，宽为b，若长增加2，宽减少1，则新长方形的面积为（　　　） A. ab B. (a+2)(b-1) C. (a-2)(b+1) D. (a+2)(b+1) 【答案】B 【解析】本题考查列代数式表示几何图形的面积。长增加2后为a+2，宽减少1后为b-1，新长方形的面积为(a+2)(b-1)。 【解答】解：长增加2后为a+2， 宽减少1后为b-1， 新长方形的面积=长×宽=(a+2)(b-1)。 故选：B。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）"a的3倍与b的差"用代数式表示为___3a-b_____；"a与b的差的3倍"用代数式表示为____3(a-b)____。 【答案】3a-b；3(a-b) 【解析】本题考查列代数式。注意区分"a的3倍与b的差"和"a与b的差的3倍"的运算顺序。 【解答】解："a的3倍"是3a，"与b的差"是3a-b； "a与b的差"是a-b，"的3倍"是3(a-b)。 故答案为：3a-b；3(a-b)。 12.（2025-2026学年·北京期中）每包书有10册，n包书有___10n_____册；将p kg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量为________kg。 【答案】10n； 【解析】本题考查列代数式。n包书的册数=每包册数×包数=10n；每袋糖的质量=总质量÷袋数=。 【解答】解：每包书有10册，n包书有10×n=10n册； 将p kg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量为p÷n= kg。 故答案为：10n；。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）棱长为a的正方体的体积是________；表面积是________。 【答案】 【解析】本题考查列代数式表示正方体的体积和表面积。正方体体积=棱长³=a³，表面积=6×棱长²=6a²。 【解答】解：正方体的体积=棱长×棱长×棱长= 14.（2025-2026学年·北师大版同步）王芳今年m岁，她去年___m-1_____岁，6年后____m+6____岁。 【答案】m-1；m+6 【解析】本题考查列代数式表示年龄问题。去年的年龄=今年的年龄-1=m-1；6年后的年龄=今年的年龄+6=m+6。 【解答】解：王芳今年m岁， 她去年的年龄为m-1岁， 6年后的年龄为m+6岁。 故答案为：m-1；m+6。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，则去年的产量是____2n-10____件。 【答案】2n-10 【解析】本题考查列代数式。"前年产量的2倍"是2n，"少10件"是2n-10。 【解答】解：前年产量的2倍是2n件， 比2n少10件是2n-10件， 所以去年的产量是2n-10件。 故答案为：2n-10。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）如果xy=k（k为常数，k≠0），那么x与y成____反____比例关系；如果=k（k为常数，k≠0），那么x与y成____正____比例关系。 【答案】反；正 【解析】本题考查正比例关系和反比例关系的判断。乘积一定成反比例关系，比值（商）一定成正比例关系。 【解答】解：如果xy=k（k为常数，k≠0），即x与y的乘积一定，那么x与y成反比例关系； 如果=k（k为常数，k≠0），即y与x的比值一定，那么x与y成正比例关系。 故答案为：反；正。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）用代数式表示： （1）比a的2倍大1的数； （2）a的相反数与b的一半的差； （3）a的平方除以b的商； （4）m的。 【答案】（1）2a+1；（2）-a；（3）；（4）。 【解析】本题考查列代数式。根据文字描述确定运算顺序和运算符号，按照书写规范列出代数式。 【解答】解：（1）"a的2倍"是2a，"大1"是2a+1； （2）"a的相反数"是-a，"b的一半"是，"的差"是-a； （3）"a的平方"是a²，"除以b的商"是； （4）"m的"是×m=。 18.（2024-2025学年·人教版同步）说出下列代数式的意义： （1）2a+3c；　　（2）3(m-n)；　　（3）a²+1； （4）。 【答案】（1）a的2倍与c的3倍的和；（2）m与n的差的3倍；（3）a的平方与1的和；（4）a的3倍除以b的5倍的商。 【解析】本题考查代数式的意义。按照运算顺序，用文字语言描述代数式所表示的数量关系。 【解答】解：（1）2a+3c的意义是a的2倍与c的3倍的和； （2）3(m-n)的意义是m与n的差的3倍； （3）a²+1的意义是a的平方与1的和； （4）的意义是a的3倍除以b的5倍的商。 19.（2025-2026学年·北京期中）某商店出售一种商品，原价为a元，有如下两种调价方案： 方案一：先提价10%，再降价10%； 方案二：先降价10%，再提价10%。 （1）用代数式表示两种方案调价后的价格； （2）两种方案调价后的价格相同吗？与原价相比是涨了还是降了？ 【答案】（1）方案一：0.99a元，方案二：0.99a元；（2）相同，都比原价降了。 【解析】本题考查列代数式表示销售问题中的调价。提价10%后价格为原价的1.1倍，降价10%后价格为原价的0.9倍。 【解答】解：（1）方案一：先提价10%后价格为a×(1+10%)=1.1a元， 再降价10%后价格为1.1a×(1-10%)=1.1a×0.9=0.99a元； 方案二：先降价10%后价格为a×(1-10%)=0.9a元， 再提价10%后价格为0.9a×(1+10%)=0.9a×1.1=0.99a元。 （2）两种方案调价后的价格都是0.99a元，相同； 因为0.99a < a（a>0），所以与原价相比都降了。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h。 （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ （2）如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？可以早到多少小时？ 【答案】（1） h；（2） h，可以早到() h。 【解析】本题考查列代数式表示行程问题。时间=路程÷速度，早到的时间=原来的时间-加速后的时间。 【解答】解：（1）根据时间=路程÷速度， 汽车从甲地到乙地需要行驶240÷v= h。 （2）速度增加3 后为(v+3) ， 需要行驶240÷(v+3)= h； 可以早到的时间=原来的时间-加速后的时间=() h。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； （2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高； （3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用。 【答案】（1）成反比例关系，因为装箱数×每箱质量=水果总质量（一定）；（2）成反比例关系，因为底面积×高=体积（一定）；（3）不成反比例关系，因为荧光笔费用+中性笔费用=总费用（和一定，不是乘积一定）。 【解析】本题考查反比例关系的判断。两个量的乘积一定，则成反比例关系；如果只是和一定或比值一定，则不成反比例关系。 【解答】解：（1）成反比例关系。理由：装箱数×每箱的质量=水果的总质量（一定），所以装箱数与每箱的质量成反比例关系。 （2）成反比例关系。理由：长方体的底面积×高=长方体的体积（一定），所以长方体的底面积与高成反比例关系。 （3）不成反比例关系。理由：荧光笔的费用+中性笔的费用=总费用（和一定），不是乘积一定，所以荧光笔的费用与中性笔的费用不成反比例关系。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某校组织学生参加社会实践活动，需要租用客车。现有甲、乙两种客车，甲种客车每辆可坐40人，乙种客车每辆可坐50人。 （1）如果租用甲种客车x辆，乙种客车y辆，用代数式表示一共可坐的人数； （2）如果共有300名学生参加活动，租用甲种客车x辆，用代数式表示还需要租用乙种客车的数量； （3）如果甲种客车每辆租金为a元，乙种客车每辆租金为b元，租用甲种客车x辆，乙种客车y辆，用代数式表示总租金。 【答案】（1）(40x+50y)人；（2）辆；（3）(ax+by)元。 【解析】本题考查列代数式表示实际问题中的数量关系。根据题目中的数量关系，按照运算顺序列出代数式。 【解答】解：（1）甲种客车x辆可坐40x人，乙种客车y辆可坐50y人， 一共可坐(40x+50y)人。 （2）甲种客车x辆可坐40x人，还剩(300-40x)人需要坐乙种客车， 乙种客车每辆可坐50人，所以还需要租用乙种客车辆。 （3）甲种客车x辆租金为ax元，乙种客车y辆租金为by元， 总租金为(ax+by)元。 学科网（北京）股份有限公司 $