第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的值 2.常见公式的代数式表示及应用 题型巩固 一、已知字母的值 ，求代数式的值 二、已知式子的值，求代数式的值 三、程序流程图与代数式求值 四、数字类规律探索 五、图形类规律探索 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.代数式的值 1. 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 2. 求代数式值的步骤 知识点2.常见公式的代数式表示及应用 公式的应用：对于有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为a、高为h，则面积S=ah. 长方形 设长为a、宽为b，则周长=2(a+b)，面积S=ab. 圆 设半径为r，则周长=2πr，面积S=πr². 长方体 设长为a、宽为b、高为h，则体积V=abh. 柱体 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 圆锥 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 题型巩固 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值是解题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）已知代数式的值为2，那么 值为（    ） A．61 B．59 C．13 D．1 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据题意得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）规定一种新运算：，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新运算的规则是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·全国·期中）如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)129 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值． （1）空白面积等于2个小三角形的面积加上长方形的面积，据此列代数式并化简即可； （2）阴影部分面积等于正方形的面积减去空白部分的面积． 【详解】（1）解：图中空白的总面积为：； （2）解：当时， 空白的总面积为：， 阴影部分的面积为：． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 5．已知代数式的值是，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，根据题意得出，将所求式子前两项提取变形后，把代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用整体的思想． 先由题意可得，再将变形 ，然后代入求值即可． 【详解】解：∵代数式的值等于5， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的运算，准确的计算是解决本题的关键． 由已知条件得到的值后，再进行代入到代数式中进行求值即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·全国·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， ． 题型三、程序流程图与代数式求值 9．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：当，时，则，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，不符合题意； 当，时，则有，符合题意． 故选：D． 10．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图所示的数值转化器，如果，输出，则 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值，根据题意分两种情况分析，根据输出，分别求得的值，即可求解． 【详解】解： 当时，∵， ∴， ∵输出， ∴， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 综上所述，， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，第4次输出的结果是8，依次继续下去…，第2023次输出的结果是 ． 【答案】1 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查程序流程图与代数式求值；根据数值转换器依次求出前几次的输出数值，再根据数值的变化规律求解即可． 【详解】解：开始输入x的值是3，第1次输出的结果是10， 第2次输出的结果是5， 第3次输出的结果是16， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是：， 第6次输出的结果是 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， 第9次输出的结果是 第10次输出的结果是， ∴从第五次开始，每3个输出为一个循环组依次循环， ∴， ∴第2023次输出的结果是1， 故答案为：1． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 题型四、数字类规律探索 13．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）聪聪设计了一个数学游戏，输入一个数后会自动输出另一个数，如表：根据规律，当聪聪输入5时，输出的数是（    ） 输入 1 2 3 4 5 …… 输出 A． B． C． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据发现式子中的变与不变是解题关键．根据图表找出输出数字的规律，直接将输入数据代入即可求解． 【详解】解：∵输入1时，输出， 输入2时，输出， 输入3时，输出， 输入4时，输出， ∴输入5时，输出， 故选：C． 14．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）观察规律：第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字的排列规律与符号变化规律，利用规律解决问题．数字是从开始连续的自然数，奇数位置为正，偶数位置为负，由此得出第个数为，代入求得答案即可． 【详解】解：∵第个数为， ∴第个数是． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素是解题的关键． 先求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，2依次循环，且，则可求解的值． 【详解】解：，是的差倒数， ， 是的差倒数， ， 是的差倒数， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过观察点阵图和等式找到连续奇数和的规律是解题的关键． （1）观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，据此写出等式； （2）根据规律总结第个等式； （3）利用（2）中规律，将所求式子转化为从开始到的连续奇数和减去从开始到的连续奇数和进行计算． 【详解】（1）解：观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方， ； 故答案为：； （2）解： 所以； 故答案为：； （3）解： ． 题型五、图形类规律探索 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 第n个图案，用根小棒； ∴第个图案中木棒的根数为：， 故选：D． 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第11个图案中的“”的个数是 ． 【答案】34 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：个，第2个图案中有六边形图形：个，……由规律即可得答案． 【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：个， 第2个图案中有六边形图形：个， 第3个图案中有六边形图形：个， 第4个图案中有六边形图形：个， …… ∴第11个图案中有六边形图形：个， 故答案为：34． 19．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，将长3厘米，宽2厘米的长方形硬纸如下图一层、二层、三层地排下去， (1)当排到第五层时，一周的长度是___________厘米； (2)当周长是150厘米时，一共有___________层． 【答案】(1)50 (2)15 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，用字母表示出排到第层时一周的长度是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式以及归纳总结规律可得，排到第层时，一周的长度是厘米，再代入即可得出答案； （2）令，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：排到第1层时，一周的长度是（厘米）， 排到第2层时，一周的长度是（厘米）， 排到第3层时，一周的长度是（厘米）， …… 依此类推，排到第层时，一周的长度是厘米， 当时，， ∴当排到第五层时，一周的长度是50厘米； 故答案为：50； （2）解：令，解得， ∴当周长是150厘米时，一共有15层， 故答案为：15． 20．（25-26七年级上·江苏·期中）观察下列图形规律， 示例： 第1个： 第2个： 第3个： (1)画出第4个图形； (2)写出第n个图形的小正方形个数． 【答案】(1)见详解 (2)第n个图形有个小正方形 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题是一道探究规律类型的题目，先从前几个图形入手总结出规律是解题的关键； （1）观察图形可知，第4个图形正方体的个数是，据此画出图形即可； （2）根据（1）的分析，探究规律可得，第n个图形正方形的个数是． 【详解】（1）解：观察图形可知： 第1个图形正方体的个数是， 第2个图形正方体的个数是， 第3个图形正方体的个数是， 第4个图形正方体的个数是， 画图如下： （2）解：观察图形可知： 第1个图形正方体的个数是， 第2个图形正方体的个数是， 第3个图形正方体的个数是， 第4个图形正方体的个数是， 第n个图形正方体的个数是． 强化训练 一、单选题 1．1936年10月22日红二、红一方面军胜利会师，宣告着红军长征结束．若有理数a与10互为倒数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．105 【答案】A 【分析】该题主要考查了倒数的定义，代数式求值，解题的关键是得出．根据倒数的定义得出，再代入求值即可． 【详解】解：根据有理数与10互为倒数， ∴， 则， 故选：A． 2．如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第1次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去……，第次输出的结果是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的计算与流程图，理解流程图的计算，代入计算是解题的关键． 根据题意，分别代入计算找出规律即可求解． 【详解】解：第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， ， ∴每次一循环， ∴， ∴第次输出的结果于第次的结果相同，即结果是8， 故选：D ． 3．当时，代数式的值为4，则当时，的值是（       ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】把代入代数式，再把代入，可得到含有27p+3q的式子，直接解答即可． 【详解】解：当x=3时，代数式=27p+3q－1=4，即27p+3q=5， 所以当x=−3时，代数式=−27p−3q－1=−(27p+3q)－1=−5－1=， 故选：B． 【点睛】考查代数式求值，解题关键是掌握整体代入法在解题中的应用． 4．已知，则当时，的值为（    ） A．8000 B．1000 C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方的逆运算以及已知条件求出的值，然后利用乘法运算法则求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘法运算、乘方的逆运算以及代数式求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 5．如图所示，已知等边三角形的边长为1，按图中所示的规律，用2010个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【答案】C 【分析】此题考查图形类规律探究，根据图象显示的规律找到，1个三角形，2个三角形，3个三角形组成的周长，得到规律为第n个三角形的周长为，所以可求得2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长． 【详解】解：由图中可知：1个三角形组成的图形的周长是3； 2个三角形组成的图形的周长是； 3个三角形组成的图形的周长是； … 那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是． 故选C． 6．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 【答案】D 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数字循环的规律，利用规律解决问题． 先求出，再根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序求解即可． 【详解】解：∵ 根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序可知，数2024在第405个五角星上的位置， 故选：D． 7．已知当时，，且，则当时，（　　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：A． 8．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 9．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】把直接代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体思想是解题关键． 10．如图所示，照这样的规律，第100幅图有 个黑色正方形． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律问题． 根据题干所给图形找出规律作答即可． 【详解】解：第①幅图有个黑色正方形； 第②幅图有个黑色正方形； 第③幅图有个黑色正方形； …… 第n幅图有个黑色正方形； 第100幅图有个黑色正方形； 故答案为：． 11．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查有理数的乘方及代数式的值，解题的关键是理解“积幻方”的意义；由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴； 故答案为：8． 12．如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2022次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】按照程序的流程进行计算并找到规律即可． 【详解】当x=625时，， 当x=125时，， 当x=25时，， 当x=5时， ， 当x=1时， ， 当x=5时， ， … 依此类推，以5，1循环，而（2022－2）÷2=1010，能够整除，所以输出的结果是1 故答案为：1 【点睛】本题考查了求代数式的值，根据程序框图的条件计算出前面几个值的情况，找到规律，体现了由特殊到一般的思想． 13．一列数，前两个数分别是1，3，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，即1，，到第2025个数为止，一共有 个奇数． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索、奇数与偶数，正确找出一般规律是解题关键．根据两个奇数之和为偶数、一个奇数与一个偶数之和为奇数可得这列数的奇偶性是按照奇数、奇数、偶数为一个周期，循环出现，再根据即可得． 【详解】解：∵这列数的第一个数是1，第二个数是3，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，且1和3都是奇数，两个奇数之和为偶数、一个奇数与一个偶数之和为奇数， ∴这列数的奇偶性是：奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数、，即按照奇数、奇数、偶数为一个周期，循环出现， ∵， ∴到第2025个数为止，奇数的个数一共有（个）， 故答案为：． 14．根据规律填代数式： ，，，…， ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，熟读题干得出正确的规律是列出代数式的关键．观察题干，从中寻找出计算的规律，按照规律求解即可． 【详解】解：， ， ， … 观察发现， 故答案为：． 三、解答题 15．已知，，求整式的值． 【答案】 【分析】利用求代数式的值的基本方法计算即可． 【详解】解：当，b=3时， = ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握计算代数式的值的基本方法是解题的关键． 16．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）直接代值计算即可； （2）直接代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：解：当，时，． 17．列代数式，并求值． （1）某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元．一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？ （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 【答案】（1）元；（2）445元 【分析】（1）根据旅游团应付的门票费=成人的单人票价×成人人数＋学生的单人票价×学生人数即可得出结论； （2）将，代入（1）中代数式即可得出结论． 【详解】解：（1）该旅游团应付的门票费是元． （2）把，代入代数式， 得：． ∴他们应付445元门票费． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和求代数式的值，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 18．为节约能源，我市按如下规定收取电费：一户居民每月用电不超过120度，则每度按0.52元收费：若超过120度，则超过的部分每度多收0.2元，设某户居民某月用电x度． (1)请用含x的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）； (2)已知该市小明家今年1月份用电96度，2月份用电156度，3月份用电138度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？ 【答案】(1)当x≤120度时，该户居民该月应缴纳的电费为0.52x；当x＞120度时，该户居民该月应缴纳的电费为：0.72x﹣24（元） (2)213.6元 【分析】（1）分两种情况分别表示即可； （2）分别求出1月份，2月份，3月份缴纳的电费，再相加即可求解． 【详解】（1）解：第一种情况： 当x≤120度时，该户居民该月应缴纳的电费为0.52x； 第二种情况： 当x＞120度时，该户居民该月应缴纳的电费为： 120×0.52+（x﹣120）×（0.52+0.2）＝0.72x﹣24（元）； （2）96×0.52+0.72×156﹣24+0.72×138﹣24＝213.6（元）， 答：小明家今年一季度共应缴纳电费213.6元． 【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，得到超过120度的用电量的电费的算法是解决本题的关键． 19．如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕着它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)通过计算判断，这两个圆柱的侧面积是否相等？ (2)图1所示的圆柱的体积为 ，图2所示的圆柱的体积为 ；（用含，的代数式表示） (3)当，时，体积较大的圆柱比体积较小的圆柱的体积大多少？（以上所有问题的结果保留） 【答案】(1)相等 (2)， (3)体积较大的的圆柱的体积比体积较小的圆柱的体积大 【分析】本题考查了代数式和代数式求值，解题的关键是掌握圆柱的侧面积和体积公式． （1）根据圆柱的侧面积公式分别求出两个圆柱的侧面积即可求解； （2）根据圆柱的体积公式求解即可； （3）将，分别代入两个圆柱的体积中求出体积，再求出两个体积的差即可． 【详解】（1）解：第一个圆柱侧面积为， 第二个圆柱侧面积为， 这两个圆柱的侧面积相等； （2）图1所示的圆柱的体积为， 图2所示的圆柱的体积为， 故答案为：，； （3）第一个圆柱的体积：， 当，时，； 第二个圆柱的体积：， 当，时，， ， 答：体积较大的的圆柱的体积比体积较小的圆柱的体积大． 20．学校举行运动会，七年级一班需要购买运动鞋和短裤，运动鞋每双定价200元，短裤每条定价50元．某商店开展促销活动，可以同时向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一条短裤； 方案二：运动鞋和短裤都按定价的90%付款． 现在一班要购买运动鞋20双，短裤x条（x超过20）． （1）若该班分别按方案一，方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）； （2）当x＝30时，哪种方案更划算？请说明理由； （3）若两种方案也可以同时使用，当x＝40时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？给出你的购买方案，并计算所需付款金额． 【答案】（1）方案一：（50x+3000）元，方案二：（45x+3600）元；（2）方案一划算，理由见解析；（3）先用方案一购买20双鞋，赠送20条裤子，再利用方案二购买20条裤子，此时花费的金额为4900元，见解析． 【分析】（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）根据（1）所列式子把x＝30代入求解即可得到答案； （3）分别计算出用方案一，方案二以及方案一和方案二同时使用的所用金额，比较得出答案即可． 【详解】解：（1）由题意得：方案一：200×20+50（x﹣20）＝（50x+3000）元， 方案二：200×90%×20+50×90%x＝（45x+3600）元， （2）当x＝30时，50x+3000＝1500+3000＝4500（元）， 45x+3600＝1350+3600＝4950（元）， 所以方案一划算； （3）当x＝40时， ①使用方案一：50x+3000＝2000+3000＝5000（元）， ②使用方案二：45x+3600＝1800+3600＝5400（元）， ③方案一、二同时使用：200×20+50×90%×（40﹣20）＝4000+900＝4900（元）， ∴使用第③种方法，先用方案一购买20双鞋，赠送20条裤子，再利用方案二购买20条裤子，此时花费的金额为4900元． 【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题的关键在于能够准确理解题意，列出相应的式子求解． 21．前进服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价200元，恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一件夹克送一件恤； ②夹克和恤都按定价的80%付款． 现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． （1）若该客户按方案①购买，夹克和恤共需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和恤共需付款________元（用含的式子表示）； （2）若，按方案①购买夹克和恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和恤共需付款多少元，哪一种方案合算？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）(100x+3000)；(80x+4800)；（2）按方案①购买需费用7000元，按方案②购买需费用8000元，按方案①购买较为合算；（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由见解析． 【分析】（1）分别列出方案①和方案②中购买夹克和T恤需付款多少，再求和即可； （2）将 x=40 代入（1）中所求的代数式即可得出结果； （3）根据题意先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件即可得出更为省钱的购买方案． 【详解】解：（1）该客户按方案①购买， 夹克需付款30×200=6000（元）， T恤需付款100（x-30）元， 夹克和T恤共需付款（100x+3000）元； 若该客户按方案②购买， 夹克需付款30×200×80%=4800（元）， T恤需付款100×80%x=80x（元）， 夹克和T恤共需付款（80x+4800）元； 故答案为：(100x+3000)；(80x+4800)； （2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）； 当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元）， 因为7000＜8000， 所以按方案①购买较为合算； （3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下： 先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元）， 按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元）， 所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元， 所以此种购买方案更为省钱． 【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值，准确利用代数式表示题中的数量关系是解题关键． 22．为贯彻落实《河南省中招体育考试改革方案》的精神，自2024年起，河南省多地市中招体育考试总分值由原来的70分提高到100分．育才中学为配足体育训练器材，准备向某体育用品公司采购一批足球和跳绳，已知足球每个定价140元，跳绳每根定价20元．该体育用品公司给育才中学提供以下两种优惠方案： 方案：足球和跳绳都按定价的9折付款； 方案：买一个足球送一根跳绳． 育才中学计划购买足球60个，跳绳（）根． (1)育才中学按方案购买，需付款______元（用含的最简代数式表示），育才中学按方案购买，需付款______元（用含的最简代数式表示）； (2)当时，试通过计算说明此时按哪种方案购买较划算； (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)， (2)按方案购买较为划算 (3)方案见解析，共需付款8940元 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据方案A：足球和跳绳都按定价的9折付款列出代数式即可；方案B：买一个足球送一根跳绳列出代数式即可； （2）把分别代入(1)中的代数式求值比较即可； （3）先按方案B购买足球60个送60根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：育才中学按照方案A购买，需付款：（元）， 育才中学按照方案B购买，需付款：（元）， 故答案为：，； （2）当时， 方案A：（元）， 方案B：（元）， ， 按方案购买较为划算； （3）先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱． 共需付款（元）， ， 先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需付款8940元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 代数式的值（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.代数式的值 2.常见公式的代数式表示及应用 题型巩固 一、已知字母的值 ，求代数式的值 二、已知式子的值，求代数式的值 三、程序流程图与代数式求值 四、数字类规律探索 五、图形类规律探索 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.代数式的值 1. 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值. 2. 求代数式值的步骤 知识点2.常见公式的代数式表示及应用 公式的应用：对于有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述，在解决相关问题时，可以用这些公式进行计算. 常用的几何图形公式 三角形 设底边长为a、高为h，则面积S=ah. 长方形 设长为a、宽为b，则周长=2(a+b)，面积S=ab. 圆 设半径为r，则周长=2πr，面积S=πr². 长方体 设长为a、宽为b、高为h，则体积V=abh. 柱体 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 圆锥 设底面积为S、高为h，则体积V=Sh. 题型巩固 题型一、已知字母的值 ，求代数式的值 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）已知代数式的值为2，那么 值为（    ） A．61 B．59 C．13 D．1 3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）规定一种新运算：，则 ． 4．（22-23七年级上·全国·期中）如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 5．已知代数式的值是，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 6．如果代数式的值等于5，那么代数式的值等于（   ） A．1 B． C． D． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）代数式的值是7，则代数式的值是 ． 8．（25-26七年级上·全国·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 题型三、程序流程图与代数式求值 9．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 10．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图所示的数值转化器，如果，输出，则 ． 11．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，第4次输出的结果是8，依次继续下去…，第2023次输出的结果是 ． 12．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 题型四、数字类规律探索 13．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）聪聪设计了一个数学游戏，输入一个数后会自动输出另一个数，如表：根据规律，当聪聪输入5时，输出的数是（    ） 输入 1 2 3 4 5 …… 输出 A． B． C． 14．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）观察规律：第个数是 ． 15．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则 ． 16．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 题型五、图形类规律探索 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 18．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第11个图案中的“”的个数是 ． 19．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，将长3厘米，宽2厘米的长方形硬纸如下图一层、二层、三层地排下去， (1)当排到第五层时，一周的长度是___________厘米； (2)当周长是150厘米时，一共有___________层． 20．（25-26七年级上·江苏·期中）观察下列图形规律， 示例： 第1个： 第2个： 第3个： (1)画出第4个图形； (2)写出第n个图形的小正方形个数． 强化训练 一、单选题 1．1936年10月22日红二、红一方面军胜利会师，宣告着红军长征结束．若有理数a与10互为倒数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．105 2．如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第1次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去……，第次输出的结果是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 3．当时，代数式的值为4，则当时，的值是（       ） A． B． C．4 D．6 4．已知，则当时，的值为（    ） A．8000 B．1000 C． D． 5．如图所示，已知等边三角形的边长为1，按图中所示的规律，用2010个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 6．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 7．已知当时，，且，则当时，（　　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2020 8．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，，则的值为 ． 10．如图所示，照这样的规律，第100幅图有 个黑色正方形． 11．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 ． 12．如图所示是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2022次输出的结果为 ． 13．一列数，前两个数分别是1，3，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，即1，，到第2025个数为止，一共有 个奇数． 14．根据规律填代数式： ，，，…， ． 三、解答题 15．已知，，求整式的值． 16．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 17．列代数式，并求值． （1）某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元．一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？ （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 18．为节约能源，我市按如下规定收取电费：一户居民每月用电不超过120度，则每度按0.52元收费：若超过120度，则超过的部分每度多收0.2元，设某户居民某月用电x度． (1)请用含x的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）； (2)已知该市小明家今年1月份用电96度，2月份用电156度，3月份用电138度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？ 19．如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕着它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)通过计算判断，这两个圆柱的侧面积是否相等？ (2)图1所示的圆柱的体积为 ，图2所示的圆柱的体积为 ；（用含，的代数式表示） (3)当，时，体积较大的圆柱比体积较小的圆柱的体积大多少？（以上所有问题的结果保留） 20．学校举行运动会，七年级一班需要购买运动鞋和短裤，运动鞋每双定价200元，短裤每条定价50元．某商店开展促销活动，可以同时向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一条短裤； 方案二：运动鞋和短裤都按定价的90%付款． 现在一班要购买运动鞋20双，短裤x条（x超过20）． （1）若该班分别按方案一，方案二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）； （2）当x＝30时，哪种方案更划算？请说明理由； （3）若两种方案也可以同时使用，当x＝40时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？给出你的购买方案，并计算所需付款金额． 21．前进服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价200元，恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一件夹克送一件恤； ②夹克和恤都按定价的80%付款． 现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． （1）若该客户按方案①购买，夹克和恤共需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和恤共需付款________元（用含的式子表示）； （2）若，按方案①购买夹克和恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和恤共需付款多少元，哪一种方案合算？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 22．为贯彻落实《河南省中招体育考试改革方案》的精神，自2024年起，河南省多地市中招体育考试总分值由原来的70分提高到100分．育才中学为配足体育训练器材，准备向某体育用品公司采购一批足球和跳绳，已知足球每个定价140元，跳绳每根定价20元．该体育用品公司给育才中学提供以下两种优惠方案： 方案：足球和跳绳都按定价的9折付款； 方案：买一个足球送一根跳绳． 育才中学计划购买足球60个，跳绳（）根． (1)育才中学按方案购买，需付款______元（用含的最简代数式表示），育才中学按方案购买，需付款______元（用含的最简代数式表示）； (2)当时，试通过计算说明此时按哪种方案购买较划算； (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元. 学科网（北京）股份有限公司 $