2.3 用频率估计概率【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“分层递进+素养融合”为特色，通过前置梳理、基础巩固、能力提升、素养探究及中考衔接的五级设计，构建从概念理解到实际应用的完整知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|频率与概率概念、公式及区别|通过填空夯实基础，培养抽象能力| |基础达标|概念辨析、频率计算、概率估计、总体估算|选择/填空/解答题结合，强化运算能力与数据意识| |能力提升|放回摸球试验中未知数量估计|综合解答题设计，发展推理能力| |素养探究|方案分析与试验评价|结合校园生物试验等真实情境，培养模型意识与应用意识| |中考链接|近年中考真题|真题演练，衔接阶段测评，提升应试能力|

2.3 用频率估计概率【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】频率与概率概念辨析（选择题） 2 【题型2】频率基础计算 3 【题型3】根据试验表格估计概率 3 【题型4】用估计概率估算总体数量 5 三.能力提升 6 【题型】利用频率估计求未知个数（放回摸球试验） 6 四.素养探究 7 【题型】方案分析与试验评价探究 7 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，分清频率与概率的区别与联系。 1. 频率计算公式：频率 =__________÷试验总次数；频率是通过试验得到的数值，会随试验次数变化。 2. 频率稳定性定理：在相同条件下进行大量重复试验，当试验次数不断增大时，事件发生的______会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的________。 3. 用频率估计概率的适用条件：当试验结果不是有限个，或者各种结果___________时，无法用古典概型公式计算，就可以用大量重复试验的频率来估计概率。 4. 频率与概率区别： ①________是试验得到的近似值，随试验改变； ②________是事件本身固有的理论定值，不随试验次数改变。 注意：频率不一定等于概率，试验次数越多，频率对概率的估计越准确。 二.基础达标 【题型1】频率与概率概念辨析（选择题） 核心考点：区分频率与概率，理解频率稳定性，纠正“频率等于概率”的认知误区 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“经过三点确定一个圆”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【题型2】频率基础计算 核心考点：掌握频率=频数÷总次数，根据表格数据计算频率 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．（25-26七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为_______ 【题型3】根据试验表格估计概率 核心考点：读取统计表，观察频率稳定值，估计事件概率 1．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 3．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 【题型4】用估计概率估算总体数量 核心考点：估计数量：总体数量 × 估计概率 ≈ 符合条件个体数量 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 2．（25-26九年级上·四川·期末）一个口袋中有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了150次球，发现有80次摸到黑球，请估计这个口袋中黑球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共100张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后再放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下折线统计图．估计箱子中绿色卡片的数量是________张． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某班级一次班会活动中，李老师将“冬至”和“小寒”的“二十四节气”主题邮票共30张放在一个不透明的盒子中，这些主题邮票除节气图案不同外其余都相同，他让若干学生进行摸邮票试验，每次摸出一张主题邮票，记下节气后，放回洗匀，经过多次试验发现，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，则估计盒中“冬至”主题邮票的数量为____张． 三.能力提升 【题型】利用频率估计求未知个数（放回摸球试验） 核心考点：放回摸球试验，由稳定频率估计概率，列算式求未知球数 1．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 二、填空题 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 三、解答题 3．（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 （1）表中________；________； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 四.素养探究 【题型】方案分析与试验评价探究 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 （1）表中____________，____________． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． （3）学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 2．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 4．（2026·江苏扬州·中考真题）工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 三、解答题 5．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 用频率估计概率【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】频率与概率概念辨析（选择题） 2 【题型2】频率基础计算 4 【题型3】根据试验表格估计概率 6 【题型4】用估计概率估算总体数量 9 三.能力提升 11 【题型】利用频率估计求未知个数（放回摸球试验） 11 四.素养探究 14 【题型】方案分析与试验评价探究 14 五.中考链接 19 六.自我评价 24 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，分清频率与概率的区别与联系。 1. 频率计算公式：频率 =__________÷试验总次数；频率是通过试验得到的数值，会随试验次数变化。 2. 频率稳定性定理：在相同条件下进行大量重复试验，当试验次数不断增大时，事件发生的______会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的________。 3. 用频率估计概率的适用条件：当试验结果不是有限个，或者各种结果___________时，无法用古典概型公式计算，就可以用大量重复试验的频率来估计概率。 4. 频率与概率区别： ①________是试验得到的近似值，随试验改变； ②________是事件本身固有的理论定值，不随试验次数改变。 注意：频率不一定等于概率，试验次数越多，频率对概率的估计越准确。 【参考答案】 1. 事件发生的频数 2. 频率；概率 3. 发生的可能性不相等 4. 频率；概率 二.基础达标 【题型1】频率与概率概念辨析（选择题） 核心考点：区分频率与概率，理解频率稳定性，纠正“频率等于概率”的认知误区 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“经过三点确定一个圆”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的判断，频率和概率的关系，根据随机事件判断A，再根据可能性的大小和概率的关系判断B，C，然后根据不规则物体的概率只能通过大量次数的实验，得出频率估计概率的方法判断D． 解：因为“经过不在同一条直线上的三点确定一个圆”是必然事件，所以A不正确，不符合题意； 因为事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，所以B正确，符合题意； 因为彩票中奖的概率是，因此买100张彩票可能有1张中奖，说明中奖的概率很低，所以C不正确，不符合题意； 图钉是不规则的物体，投掷一枚一枚图钉，“针尖朝上”只能通过大量的实验，使频率稳定时，可能频率估计概率，不可以用列举法求得，所以D不正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【题型2】频率基础计算 核心考点：掌握频率=频数÷总次数，根据表格数据计算频率 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．（25-26七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为_______ 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 【题型3】根据试验表格估计概率 核心考点：读取统计表，观察频率稳定值，估计事件概率 1．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】B 【分析】以抽取体检表数较大时的频率稳定值为依据，估计男性患色盲的概率． 解：当抽取的体检表数时，色盲患者的频率稳定在附近， 因此估计男性患色盲的概率为． 3．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【答案】 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可将这个常数作为该事件发生概率的估计值． 解：观察表格数据可得，随着射击总次数不断增大，击中靶心的频率逐渐稳定在附近，因此估计该运动员射击一次击中靶心的概率为． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 【答案】10 【分析】大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，可利用频率估计概率，再结合概率公式列方程求解n． 解：∵试验次数足够多时，摸到黑球的频率稳定在摸到黑球的概率附近，观察表格数据可得，摸到黑球的频率稳定于， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是， ∴可得， 解得． 【题型4】用估计概率估算总体数量 核心考点：估计数量：总体数量 × 估计概率 ≈ 符合条件个体数量 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 【答案】B 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握其定义和概率公式是解题的关键． 频率稳定在，表明抽到红色卡片的概率约为，利用概率公式计算红色卡片数量即可． 解：抽到红色卡片的频率稳定在， 则抽到红色卡片的概率约为， 因此，红色卡片的数量约为（张）， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川·期末）一个口袋中有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了150次球，发现有80次摸到黑球，请估计这个口袋中黑球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过摸球频率估计概率，黑球的频率为，进而估计黑球数量． 解：∵共摸了150次球，有80次摸到黑球， ∴摸到黑球的频率为， ∴黑球的数量约为， 故选：C． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共100张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后再放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下折线统计图．估计箱子中绿色卡片的数量是________张． 【答案】30 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据题意可得摸到绿色卡片的概率为，再由概率公式可得答案． 解：由题意得，随着试验次数的增加，摸到绿色卡片的频率逐步稳定在附近， ∴摸到绿色卡片的概率为， ∴估计箱子中绿色卡片的数量是张． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某班级一次班会活动中，李老师将“冬至”和“小寒”的“二十四节气”主题邮票共30张放在一个不透明的盒子中，这些主题邮票除节气图案不同外其余都相同，他让若干学生进行摸邮票试验，每次摸出一张主题邮票，记下节气后，放回洗匀，经过多次试验发现，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，则估计盒中“冬至”主题邮票的数量为____张． 【答案】9 【分析】本题考查了利用频率估计概率，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，即概率为0.3，再根据概率公式计算数量． 解：设盒中“冬至”主题邮票的数量为x张，总邮票数为30张，摸出“冬至”主题邮票的概率为0.3， 即， 解得， 故估计盒中“冬至”主题邮票的数量为9张， 故答案为：9． 三.能力提升 【题型】利用频率估计求未知个数（放回摸球试验） 核心考点：放回摸球试验，由稳定频率估计概率，列算式求未知球数 1．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 【答案】B 【分析】根据黄球的数量和摸到黄球的频率，列方程求解红球数量即可． 解：设口袋中有红球个 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 故口袋中大约有红球16个． 故选：B． 二、填空题 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式即可计算得到袋中红球的个数． 解：由频率估计概率的知识可知，摸到红球的概率为， 已知袋中球的总个数为， 设袋中红球的个数为， 根据概率公式可得， 解得， 因此袋中红球的个数是． 三、解答题 3．（25-26七年级下·河南·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 （1）表中________；________； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到0.1）； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少？ 【答案】（1）0.57；0.604；（2）0.6；（3）12 【分析】（1）直接根据概率公式：频率频数总次数计算即可； （2）大量重复试验可以说明摸到白球概率约为； （3）先求出原来盒子里的白球数，再考虑放了个球后盒子内总球数和白球数量，利用白球数量总球数计算即可． （1）解：根据频率公式得，； （2）解：通过统计表可观察出随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6左右， 故估计摸到白球的概率约为0.6． （3）解：原盒子里共有白球数为（个），现放了2个白球，则放了个黑球，现在盒子里共有个球， 根据题意，得，解得． 四.素养探究 【题型】方案分析与试验评价探究 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 （1）表中____________，____________． （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． （3）学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】（1），；（2）第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为；（3）棵 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． （1）解：，； （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 2．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 二、填空题 3．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 解：解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近， 因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 三、解答题 5．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】（1）0.3；（2） 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． （1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】（1）；（2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． （1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）略 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $