2.3用频率估计概率 课时练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦“用频率估计概率”，分层设计从概念辨析到综合应用，通过数据分析与实际情境培养数据意识和推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概率意义、频率稳定性|选择题1-3（概念辨析）、填空题9-10（简单估算），夯实抽象能力| |中档|频率估计概率、数据处理|选择题4-8（多组数据比较）、解答题13-15（统计图表应用），发展推理意识| |提升|综合实践与决策|综合题16（销售利润问题），结合真实情境培养应用意识|

2.3用频率估计概率 课时练习 一、选择题 1．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次 B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上 C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上 D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 2．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　） 试验种子数n（粒） 50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 发芽频率 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 3．甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．从一个装有大小相同的2个白球和1个红球的不透明袋子中随机取一球，取到红球的概率 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 4．种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 200 500 800 1500 3000 A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97 B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96 下面在三个推断： ①当实验种子数量为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96： ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子． 其中合理的是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 5．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（　　） A．90° B．72° C．54° D．20° 6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 7．有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同。小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．6 B．16 C．18 D．24 8．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 9．在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．一种是红汤锅底，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的丸子数是　 　． 10．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右。若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为　 　. 11． 十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 可以估计出针与直线相交的概率为　 　（精确到），由此估计的近似值为　 　（精确到）． 12．水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 发芽率 发芽率 下面有两个推断： 当实验种子数量为时，两种种子的发芽率均为，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样； 随着实验种子数量的增加，种子发芽率在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是．其中合理的是　 　． 三、解答题 13．为了“天更蓝，水更绿”，湘潭市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善。市环保局随机抽取30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图． 空气质量等级 空气质量指数（AQI） 频数 优 AQI≤50 m 良 50＜AQI＜1100 15 中 100＜AQI≤150 9 差 AQI>150 n （1）m=　 　 ，n=　 　； （2）求良的占比； （3）求差的圆心角； （4）请根据样本数据，估测该城市一年（以360天计）中大约有　 　天AQI为中. 14． 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的　 　，　 　； （2）“摸到白球”的概率的估计值是　 　精确到； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 15． 某同学用计算机从3，4，5，x这四个数中，随机同时抽取两个数，多次重复实验后的数据记录如下： 实验总次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 “和为8”的次数 2 25 43 191 334 619 1608 3397 6622 16499 “和为8”的频率（结果保留两位小数） 0.20 0.50 0.43 0.38 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 （1）随着实验次数的增加，出现“和为8”的频率将越来越稳定于它的概率附近．由此可以估计出现“和为8”的概率是； （2）当时，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求“两数之和为8”的概率． 四、综合题 16．某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录． 特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18 特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800 （1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为　 　千克； （2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由． （3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故选项A不符合题意； B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故选项B不符合题意； C.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故选项C符合题意； D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故选项D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，逐项判断即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故选C． 【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率是，A不符合题意； B、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率是，B符合题意； C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，C不符合题意； D、从1﹣10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率是，D不符合题意． 故答案为：B 【分析】根据用频率估计概率结合简单事件的概率对选项逐一分析，进而即可求解。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理． ②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理． ③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理； 故答案为：C． 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于0.2， 以频率估计概率，即， ∴优胜奖区域的圆心角∠AOB=0.2×360°=72°， 故答案为：B. 【分析】根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：白球出现的概率为：；红球出现的概率为：；黄球出现的概率为：， ∵试验中该种颜色的球出现的频率稳定在附近， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故答案为：B. 【分析】根据概率公式求出每种颜色球的出现概率，再根据频率估计概率，结合图像，随着抽取次数的上升，某种颜色的球出现的频率稳定在附近，则该球出现的概率为0.2，最后对比进行判断即可求解。 7．【答案】B 【解析】【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数． 【解答】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴摸到白球的频率为1-15%-45%=40%， 故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个． 故选B． 【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400， “钉尖向上”的频率为，①不正确； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，②正确； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.620，③不正确； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况不一定高于500次，④不正确. 综上所述，合理的只有②. 故答案为：B. 【分析】根据每个推断的说法，利用频率与概率的关系和区别，逐项判断是否合理即可. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵一个四宫格火锅里有三种锅底，清汤占2格，红汤锅底占1格，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的即清汤锅底约占， ∴红汤锅底占， 则估计倒入红汤锅底的丸子数是：， 答案为：25. 【分析】根据概率的意义估算即可求解. 10．【答案】0.5 【解析】【解答】解：设鲫鱼的条数为x条， 由题意可得：， 解得：x=500， 经检验，x-500是分式方程的解， ∴ 捕捞到草鱼的概率约为， 故答案为：0.5. 【分析】利用频率估计概率，根据草鱼的数量和出现的频率计算求解即可。 11．【答案】0.318；3.14 【解析】【解答】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318， 相交的概率为0.318； ， ， ， 解得：， 故答案为：0.318；3.14 【分析】根据频率估计概率结合题意代入数值即可求解。 12．【答案】 【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为500，数量太少，不可用于估计频率，故①推断不合理． ②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97．故②推断合理． 故答案为：② 【分析】根据用频率估计概率的知识结合题意即可求解。 13．【答案】（1）4；2 （2）良的占比= ×100%=50% （3）差的圆心角= ×360°=24° （4）AQI为中：360× =108(天) 【解析】【解答】解：（1）由图可知，空气质量等级“优”在扇形图中的占比为48°，其频数为m天， ∴，n=30-15-9-4=2， 故m=4，n=2， 【分析】（1）由频数表格及扇形统计图百分比直接计算对应空气质量等级“优”和“差”的频数，即m，n值； （2）由已知空气质量等级“良”的频数及总天数，从而计算的占比； （3）由已知空气质量等级“差”频数及总天数，从而计算其圆心角的占比度数； （4）以当前样本频率估计概率，从而估算一年中空气质量等级“中”的天数. 14．【答案】（1）0.58；118 （2）0.6 （3）解：个， 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【解析】【解答】解：（1）a=58÷100=0.58，b=200×0.59=118， 故答案为：0.58，118； （2）由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数。 15．【答案】（1）解：利用图表得出： 实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33． 故答案为：0.33； （2）解：当时，列表如下： 3 4 5 6 3 4 5 6 共有12种等可能的情况数，其中“和为8”的有2种， 则“和为8”的概率是． 【解析】【分析】（1）因为 随着实验次数的增加，出现“和为8”的频率将越来越稳定于 0.33，所以 可以估计出现“和为8”的概率是 0.33； 故答案为：0.33； （2）根据列表法可知所有机会均等的结果有12种，其中 “和为8”的有2种， 故而根据概率计算公式，即可得出 “两数之和为8”的概率． 16．【答案】（1）9000 （2）解：设特级柑橘的售价为 元 / 千克，日销售量是 千克， 由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得： ， 解得 ， ， 当 时， ， 特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克； （3）解：∵12天内售完这批特级柑橘， ， 解得 ， 设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元， 根据题意得： ， ， ， 当 时， 取最大值，最大值为 元 ， 答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元 【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克）， 故答案为：9000； 【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案； （2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案； （3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $