2.1等式性质与不等式性质7题型分类 讲义-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先系统梳理等式的对称性、传递性等基本性质，再通过表格对比呈现不等式的对称性、传递性、可加性等7条性质，构建从基础性质到7类应用题型（含不等关系表示、命题真假判断等）的学习支架。 资料亮点在于以“思考”环节引导学生用数学眼光发现问题，通过作差法、作商法等培养数学思维，结合民宿采光、货物运输等实际问题强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题与练习查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1 等式性质与不等式性质7题型分类 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．【多选】（2026高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【答案】CD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得； 【详解】解：某人的月收入不高于2000元可表示为“ “，错误； 小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“”， 错误； 某变量至少是可表示为“”， 正确； 某变量不超过可表示为“”， 正确． 故选：． 2．（2026高一·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 3．（2026高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 4．（2026高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 5．【多选】（2026高一·贵州·阶段检测）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用，分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据已知有，即可判断A、C，举反例判断B，利用作差法判断D. 【详解】对于A，由题可得，故A正确； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，由题可得，故C错误； 对于D，由，则， 故，故D正确. 故选：AD. 6．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 7．（2026高一·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 8．（2026高二·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法可判断AC；利用不等式性质可判断BD. 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 9．（2026·浙江·模拟预测）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 10．（2026高一·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 11．（2026高一·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：作差法比较大小 12．（2026高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 【答案】 【分析】利用作差法求解即可 【详解】， ，， ， 故答案为： 13．（2026高一·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 14．（2026高一·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 15．（2026高一·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 16．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 17．（2026高一·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 18．（2026高一·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 题型4：作商法比较大小 19．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 20．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 21．（2026高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型5：利用不等式的性质证明不等式 22．（2026高二·全国·课后作业）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】 ，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】略 23．（2026高一·全国·课后作业）若，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系. 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 24．（2026高一·河北邯郸·期中）若，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据作差法比较大小证明即可： 【详解】证明：做差， 因为， 所以， 所以 所以，即 所以. 【点睛】本题考查作差法比较大小证明不等式，是基础题. 25．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式；根据糖水不等式，结合三角形三边关系可得，，，将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型6：利用不等式的性质求参数范围 26．（2026高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 27．（2026高一·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 28．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 29．（2026高三·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 30．（2026高二·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 31．（2026高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 32．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 33．【多选】（2026高一·新疆巴州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】， ，故A正确； ，，故B错误； ，则，故C正确； ，则，即，故D错误． 故选：AC． （六） 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可． 题型7：不等式的实际应用 34．（山东省菏泽市2025-2026学年高一学期11月期中考试数学试题（A））“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为______平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 35．（2026高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 36．【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 1．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对A，根据不等式的性质判断即可；对BCD，举反例判断即可. 【详解】对A，因为，故，故成立，故A正确； 对B，当，时，，均不成立，故BCD错误； 故选：A 2．（2026高一·湖南·期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】结合不等式的性质，分别讨论充分性与必要性，即可选出答案. 【详解】当且时，根据不等式的性质，可得； 当时，不能推出且，比如取，. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对式子移项、通分、计算,最后根据不等式的性质得到该不等式成立的条件. 【详解】,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需. 故选B 【点睛】本题考查了不等式成立的条件.利用不等式的性质是解题的关键. 4．（2026高一·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 5．（2026高一·湖北·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 6．（2026高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．（浙江省强基联盟2025-2026学年高二学期6月题库数学试题）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 9．【多选】（2026高一·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10．【多选】（2026高一·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据，结合不等式性质判断A；利用作差法比较大小，结合平方差公式判断B；取判断C；利用作差法比较大小判断D. 【详解】对于A，若，则，故，正确； 对于B，由知，所以，即，故正确； 对于C，令，满足，，故错误； 对于D，由知， 所以，即，故正确. 故选：ABD 11．【多选】（2026高一·贵州遵义·期末）下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质、充分条件和必要条件的定义，分别对选项逐一进行分析即可. 【详解】对于A，通过作差法得，，， 又的正负无法确定，当时，，即； 当时，，即.故A错误. 对于B，当时，可以推出， 当时，不一定有，例如：时，但不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，，， 对和作差，， ，，.故C错误. 对于D，，， 根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得，故D正确. 故选：BD. 12．（2026高二·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 13．（2026高一·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 14．（2026高一·山西太原·阶段检测）已知，，则与的大小关系为__________. 【答案】 【分析】利用作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 15．（2026高一·全国·课后作业）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______（只要举出适合条件的一组值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可. 【详解】由知，同号，同号，且． 因为，所以． 所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②． 令，不妨取， 则，取，则满足要求． 故答案为：（答案不唯一）. 16．（2026·北京房山·模拟预测）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论． 【详解】若，当时，； 当时，； 当时，； “设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为， 故答案为：（答案不唯一） 17．（2026高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 18．（2026高一·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 19．（2026高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 20．（2026高一·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)住宅的采光效果变好了 【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式； （2）由作差法即可证明这个不等式； （3）设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知，所以公寓的采光效果变好了. 【详解】（1）由题可得. （2）因为， ∵， 所以，从而， 即. （3）住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知， 所以住宅采光效果变好了. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1 等式性质与不等式性质7题型分类 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．【多选】（2026高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 2．（2026高一·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026高一·贵州·阶段检测）一个大于10且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大4，用，分别表示这个两位数的十位数字和个位数字，则（    ） A． B． C． D． 6．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 7．（2026高一·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 8．（2026高二·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·模拟预测）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026高一·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（2026高一·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：作差法比较大小 12．（2026高三·全国·一轮复习）已知，则与的大小是__________． 13．（2026高一·广西河池·期中）比较与的大小. 14．（2026高一·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 17．（2026高一·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 18．（2026高一·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 题型4：作商法比较大小 19．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）设，比较与的大小 20．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 21．（2026高一·全国·课后作业）若，求证：． （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型5：利用不等式的性质证明不等式 22．（2026高二·全国·课后作业）已知均为正实数，且，求证：． 23．（2026高一·全国·课后作业）若，，求证：. 24．（2026高一·河北邯郸·期中）若，求证：. 25．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型6：利用不等式的性质求参数范围 26．（2026高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 27．（2026高一·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 28．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 29．（2026高三·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 31．（2026高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 33．【多选】（2026高一·新疆巴州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． （六） 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可． 题型7：不等式的实际应用 34．（山东省菏泽市2025-2026学年高一学期11月期中考试数学试题（A））“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为______平方米． 35．（2026高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 36．【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 1．（2026高一·山东德州·阶段检测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·湖南·期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．（2026高一·湖北·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（浙江省强基联盟2025-2026学年高二学期6月题库数学试题）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．【多选】（2026高一·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．【多选】（2026高一·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．【多选】（2026高一·贵州遵义·期末）下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．若，则 12．（2026高二·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 13．（2026高一·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 14．（2026高一·山西太原·阶段检测）已知，，则与的大小关系为__________. 15．（2026高一·全国·课后作业）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______（只要举出适合条件的一组值即可）． 16．（2026·北京房山·模拟预测）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 17．（2026高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 18．（2026高一·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 19．（2026高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 20．（2026高一·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $