2.2 基本不等式-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

基本不等式 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【例1】求函数的最值. 误解 ，故最小值是. 误解分析 误解中套用基本不等式，，忽略了的前提条件！ 正解 ， (当取到等号) ，故函数的最大值为，没有最小值. 【例2】求函数的最值. 误解 误解分析 套用基本不等式，满足均为正数，但是最后求不出最值，因为不是一定值. 正解 .(当时取到等号) (通过凑项得到定值“”) 故函数的最小值为，没有最大值. 【例3】求函数的最值. 误解 ，即最小值为. 误解分析 在误解中把，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若，则显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明，那它有最小值么？(正解看下文^_^) 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【例1】若，，，求的最小值. 解析 因为(当时取到等号)，所以的最小值是. 【例2】若，，，求的最大值. 解析 因为(当时取到等号)，所以的最大值是. 【练1】 若，求的最小值. 解析 (当时取到等号). 【练2】 若，求的最大值. 解析 因为(当时取到等号)，所以的最大值是. 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 【例】求函数的最值. 解析 ，令，则， 因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值. 故的最小值为，无最大值. 【练】求函数，的最大值与最小值. 解析 函数是对勾函数，由其图象可知，当时取到最大值，当时取到最小值. 基本不等式常见的解题方法 方法1 直接法 【典题1】 下列命题正确的是(　　) A．函数的最小值为 B．若且，则 C．函数的最小值为 D．函数的最小值为 解析 错误，当时或时不成立；正确， 因为，所以，且；错误， 若运用基本不等式，需，无实数解；错误， 答案： 点拨 注意理解使用基本不等式的六字真言“一正二定三等”. 【巩固练习】 1.已知，且，则的最小值为 答案 解析 ，，且， 由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号， 解可得，即的最小值． 2.下列命题中正确的是(　　) A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案 解析 选项必须保证，，同号．选项应取到等号，若，则， 选项应该为，故选：． 方法2 凑项法 【典题1】 函数的最小值是(　　) 解析 因为， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值． 故选：． 点拨 本题不能直接使用基本不等式，因为不是定值，故通过凑项，得到定值. 【巩固练习】 1.若，则函数的最小值为(　　) 答案 解析 ，函数， 当且仅当时取等号． 函数的最小值为．故选：． 2.若，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，， ， ， 当且仅当即时，故选：． 方法3 凑系数法 【典题1】 当时，则的最大值为 . 解析 当，即时取等号 当时，的最大值为. 点拨 ① ，积定求和；② ，和定求积； 本题使用不等式②，为了使得是定值，需要凑系数，使得为定值. 当然本题也可以用二次函数求最值. 【巩固练习】 1.设，则函数的最大值为 . 答案 解析 ， ， 当且仅当即时等号成立. 2.已知为正数，，则的最大值为 . 答案 解析 因为， 则， 当且仅当时，取得最大值． 方法4 巧“1”法 【典题1】 若正数满足，则的最小值是 . 解析 ，， ，当且仅当时等号成立. 点拨 本题巧妙得利用得到这符合使用基本不等式的“模型”. 【巩固练习】 1.已知且，则的最小值为 . 答案 解析 ， ， 当且仅当，即时，取等号. 2.若且，则下列不等式恒成立的是 ( ) A．　　 B． 　C． D． 答案 解析 方法一：取特殊值排除法 令，经过检验项都错，对，故选. 方法二：，，所以错； ，所以错； ，所以错； ，所以对. 方法5 换元法 【典题1】 已知，则函数的最小值是