湖南省邵阳市2026-2027学年高二上学期拔尖创新班9月联考数学试题

秘密★启用前 姓名 准考证号 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 上“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.一组数据3,1,4,1,5,9,2,6,5,3的中位数是 A.3 B.3.5 C.4 D.7 2.双曲线3x2-y2=1的两条渐近线的夹角为 R牙 c D.Z 3复数：品1-的共矩复致为 A.2+2i B.2-2i C.2 D.3+3i 4.已知a=(t,1-2),b=(2,1),则a在b上的投影向量为 A动 B.-b C.5 5.已知正项等比数列{an},其前n项和为Sn:若S4-S2=3a4,S。-S4=a,则a4 3 B.23 e D.2 6.在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD,AB=BC=√2，AD=CD=1.若该四棱锥的外接 球球心在底面ABCD内，则该四棱锥的体积为 A.② C.6 D. 6 6 3 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第1页（共4页） 7.已知钝角a满足2sin2a-2sin2a+3sina=1+3cosa,则tana= A.-1 B.、3 5 C.3 D. 4 4 3 8.设函数)=e 一-ax+lnx,a∈R,则下列说法正确的是 A.f(x)的最小值为0. B.若a≤1，则f(x)的极值，点也是其零，点. C.f八x)可能存在两个不同的零，点. D.f(x)可能存在三个不同的零点 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,w>0,|p|<T)的部分图象如图（一）所示，图象与x轴的 一个交点为M行，0，与)轴的交点为水，P(1,A)是 P1.A) 最高点，若|P+M=P,则 A骨 B.A=10 M(停，o) C.p=-5 图（一） D.直线PN与函数f(x)的图象一共有四个交，点 10.如图（二），在四棱锥P-ABCD中，BC=CD=BD=2AD=2PA=2,AB⊥平面PAD,取棱 PC的中点为E,连接DE,则下列说法正确的是 A.存在点P,使得PA⊥BD D八 B.存在，点P,使得PC⊥AB C.不存在，点P,使得PC⊥BD B D.线段DE的长度恒为1 图（二） 11.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=4,直线1：3x+4y=11,点P为直线1上 的动点，过P作圆C,的两条切线，切点分别为A,B;过P作圆C,的两条切线，切点分 别为C,D,O为坐标原点，则下列说法正确的是 A.直线l是圆C与圆C2的公共弦所在直线 B.对于直线I上任意一点P,都有PA=PB=PC=PD C.当直线AB与CD相交时，设交点为Q,则Q一定在直线l上 D.若圆G与圆C1,C2均外切，记点G到直线l的距离为d,则OG=5d+1 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若lna+lnb=ln(a+b),则a+4b的最小值为 13.已知函数x)-怎与g(x)具有相同的单调递减区间，则实数a 14.函数f(x)的定义域为R,值域为(0，+∞)，对任意x,y均有f(2y)f(x-y)=W2f(x+y), 则√fx)+2]+[f(-x)+2]'+w√f(x)+3]+[/-x)-4]的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1、(13分)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,C,且aA1-2二 +1= tanB (1)求A: (2)若a=3,求△ABC周长的取值范围. (5分)双曲线C:二【>0,6>0)的离心率为，其右焦点到南近线的距离为 (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点P在双曲线C的右支上，以P为切点作双曲线C的切线，与其两条渐近线分别 相交于点A,B,证明：P为线段AB的中点. 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第3页（共4页）》 17.(15分)如图（三），在多面体PQABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥AB,AB∥CD, PA,QC均与平面ABCD垂直，且PA=AB=BC=2CD=2CQ=2. (1)在棱PQ上取一点E,使得AE平面BDQ,证明： E为棱PQ的中点； (2)求平面BDQ与平面DPQ的夹角的余弦值 图（三） 18.(17分)设函数f(x)=ln(a+x)-akx,其中a>0,k∈R (1)若ak=1,求该函数在x=0处的切线方程（结果用参数a表示）； (2)若k=1,f(x)≤0恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a,使得当x>0时，f(x)≤0恒成立，求满足条件的k的值 17分)已知数列，，}满足02p00.+F.其中四≠0，F≠ (6m2=pbm+qo+F neN,且a,≠b,a2≠b2中至少有一个成立.若存在唯一的非零常数入，u,使得 an=bnub1对任意的正整数n恒成立，则称an}可由私n}基线性表示. (1)若{an}可由bn}基线性表示，证明：{F,}为等比数列； (2)若p=2,q=4,且a1=a2=b,=1,b2=-b3=2,{an}可由{bn}基线性表示 (i)求{Fn}的前n项和Tn; (iⅱ)求{bn}的通项公式. 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第4页（共4页）2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 > 8 答案 B C A A D C D 8.C【解析】对于选项A,f(x)=er-ir-(ax-Inx),由于el≥x,故f代x)≥0，当ar-l-lnr=0时 等号减立，即a线)g ,则gx)=g(I)=1,ng(x)=-, &,g'(x)=n x0 mg)=0,g日）=0即a1时，a无解，即方程)=0无解，故选项A错民 对于达项B,=-少.青E0时，-1<0，令e=0,o-1=, x2 即a=lnr+1根据上迷g()可知，当a≤0时，存在唯一的极值点0，且a,=lno+1,则 )=e-(a,n)=0,即既是极值点也是零点；当0<a<1时，a=x+存在 两个根，，同理可得，)=，)0，但a-1=0有禄=，又e-考0，可见 是-个极值点，后） =e-l+lw-(1+lna)=a-1-na>0,不是零点，故选项B错误. 对于选项C,结合选项A可知f(x)≥0，结合选项B可知，当0<a<1时，函数f(x)有两个 极值点恰为零，点，另一个极值点对应的函数值为正数，可见此时f(x)不存在第三个零，点， 即f(x)可能有两个零点，故选项C正确. 对于选项D,由上可知，a≤0时存在唯一零，点；0<a<1时存在两个零，点；a=1时，由选 项A知，使得方程ax-1-lx=0的根有且仅有1个，即x=1,故只有一个零，点；a>1时， 由选项A知，无零，点.故选项D错误 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第1页（共7页） 11.BCD【解析】对于选项A,由于CC2=5>1+2,故两圆相离，不存在公共弦，故选项A错误； 对于选项B,设P(x,y)满足3x+4y=11,由于PA=PB=√PC,2-1=x2+y2-1,PC=PD= √PC22-4=x2+y2-2(3x+4y)+21=√+y2-2×11+2I=√x2+y2-1,故选项B正确； 对于选项C,设P(x,yo),A(x1,y1),B(x2,y2),先证直线AB的方程为：x0x+yy=1. 证明过程如下： 因为圆C在点A处的切线方程为xx+yy=1,由于P在该切线上，故有x1x+y1yo=1, 同理可得x2x+y2yo=1,则A(x1,y1),B(x2,y2)满足方程xx+yy=1,根据不同两点确 定唯一直线，故直线AB:x0x+yoy=1, 同理可得直线CD:(x,-3)(x-3)+(y-4)(y-4)=4. 设两条直线的交点为Q(x',y),代入并两条直线方程作差，得3x'+4y+3x+4y=22, 由于点P满足3x。+4y。=11,代入可得3x'+4y'=11,可见Q在直线3x+4y=11上， 故选项C正确； 对于选项D,设圆G的半径为r,则r=GC1-1=GC2-2,整理有GC2=OG+1,设G(m,n), 则(m-3)2+(n-4)2=m2+nm2+1+20G,整理有3m+4n+0G=12,而G到直线1的距离 d=3m+4n-1L,由于3m+4n+0G=12,故3m+4n-11=1-0G<0,故5d=1-3m-4n=0G-1, √32+42 故选项D正确.综上所述，选BCD, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.9 14.29+4 14.√29+4【解析】令x=y=0,则(f(0)2=√2f(0),解得f(0)=0或W2,又值域为(0，+∞)， 所以f(0)=√2， 令y=-x,则f(-2x)f八2x)=2.故Hx∈R,有f(x)f(-x)=2, 转化题意，设A(-2,-2),B(-3,4), 所求等价于曲线y=2上一点P,求|PA+|PB的最小值 由于y=2(y>0)等同于等轴双曲线的一支，则顶点坐标为（√2，√2），(-√2，-√2)，对 应双曲线中的a=2(项点到坐标原点的距离)，b=a=2,c=√a+b=2√2，解得对应的焦 点为F(2,2),F2(-2,-2), 由于f(x)的值域为(0，+∞)，故对应的，点P在第一象限，满足|PF-P℉=2a=4, 注意到A点恰好为一个焦点，可得|PA=PF+4,所求即PF+|PB+4的最小值， 当点P在线段BF上时，取得最小值BF+4,即√29+4. 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第2页（共7页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)解：在△ABC中，由题意得： sinAcosB 2sinC +1= sinAcosB+sin BcosA 2sinC sinBcosA sinB sinBcosA sinB' 得 sinC 2sinC 解得c0sA= ....。 sinBcosA sinB, 2 4分 故A= 5分 3 0<B< 0<B< 2π 2 (2)解：由于该三角形为锐角三角形，B+C= 3, 即 0<C< 2-B< 0 3 解得π<B< …7分 6 2 由正弦定理得： a 6 sinA sinB sinC' 解得6=25mR,c=23nG=25nB, …9分 则△Mc的同张L=3+2,sn8am写小=32(nsn+na =3+25(3nB+oB=36nBsB=3+6snlB+ 11分 又因为。 2’ 解得△ABC的周长L的取值范围为(3+3√5,9]. 13分 16.(15分) be (1)解：因为右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离d= e =b,故b=1. ，b 2分 又e=c=6 a ,且c2=a+6,解得a2=2,=1,2=3, 则曲线C的标准方程为 y2=1. …5分 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第3页（共7页） (2)证明：设P(m,n),A(x,),B(2,y2),先证该双曲线在点P处的切线方程为 mx-2y=2. …7分 证明过程如下： [mx-2y=2, 联立{x2 2=1. 整理有(2n2-m2)y2+4y+2-m2=0, 由于2=1，则2-m≠0,4=16-4(2-m3(2-m)=0, 故直线与双曲线相切，证毕 10分 mx-2y=2, 联立 x 2y2=0, 得(2n2-m2)y2+4y+2=0,则y1,y2为方程的解， 故-2n 22n-m=n,故P为线段AB的中点 15分 17.(15分) (1)证明：因为AD⊥AB,PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,PA⊥AD,故建立如图所示的空 间直角坐标系，由AB=2,BC=2,CD=1,底面ABCD 为直角梯形，解得AD=√3. 则B(2,0,0),D(0,√3,0)，Q(1,√3,1)，P(0,0,2) 在平面BDQ中，BD=(-2,5,0),D0=(1,0,1). …2分 设平面BDQ的一个法向量为m=(x1,,), B BD·m=0, 则 -2x+V3y1=0, 时m0-0 即 取x1=√3，解得m=(3,2,-√3). …5分 因为点E在PQ上，设PE=AP0=A(1,5,-1),则A正=AP+PE=(A,3入，2-A) 因为AE/平面BDQ,所以A正·m=0,解得入=7，故E为线段PQ的中点. …7分 (2)解：在平面DPQ中，Dd=(1,0,1),DP=(0,-3,2). 设平面DPQ的一个法向量为n=(x2,y2,2), DQ·n=0,(x2t+z2=0, 则 即〈 D.n=0,（-3y2+2z2=0, 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第4页（共7页） 取x2=3,解得n=(5,-2,-3). 10分 记面BDQ与面DPQ的夹角为0， 则cos0=cos〈m,n〉= m·n1 m·n5y 故平面BDQ与平面DPQ的夹角的余弦值为了 …15分 18.(17分) (1)解：由题可知f(x)=ln(a+x)-x,f(0)=lna. f(e)=al,则0)=a1, 放切线方程为y=(&-小+ha 4分 (2)解：当k=1时，fx)=ln(a+x)-ax,f(x)= ala-a-x x>-a, a+x a十 可知x)在区间（-，。…)上单调递增，在区间（仁a,+0）上单调递减。 则fx)=(=a2-lha-1≤0恒成立 …6分 1 设g(a)=a2-lna-1,a>0,g'(a)=2a- 故sa)在区向0，） 上单调递减，在区间 单调递增， 且mg(a)=+x,g1)=0,又1> 可知当a>1时，g(a)>g(1)=0, 2+0 2 故a的最大值为1. …9分 (3)解：f(x)=n(a+x)-akx,令x=1,由题可知f1)=ln(a+1)-ah≤0，故k>0, 又r女4) 1-a2k 令f(x)=0,则x= ah 10分 当0<k<时，()在区间(0，)上单调递增，在区间(，+x)上单调递减， f(x)mms=f(xo)=In(a+xo)-ako=a'k-In(ak)-150, 设h(aj=ak-h(k)-l,0ca净 欲存在唯一的正数a,使得h(a)≤0， 可知只需使得h(a)m=0(且取得最小值的a值唯一)， 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第5页（共7页） ha-2a2气e) aa 敢e)=ha)号（份）-1=0， 解得k=2 13分 当≥时，0≤0，则x)在(0，+m)上单词递减， a 欲使满足题意，则mx)≤0，即lna≤0，解得a≤1，故k≥≥1； +0 a 者>1且给定，显然满足≤0≤1的a值不唯- 若k=1,则满足k≥2≥1的a的值为1； 若不存在其他满足题意的a,即可保证k=1时，有唯一的a满足题意，此时a=1; 但当k=1时，f(x)=ln(a+x)-ax, 〔2)知，当0停，小时，均可使得)0，改：的值不和重- 综上所述，k=2时，可保证存在唯一的a满足题意 …17分 19.(17分) (1)证明：因为an=入b tub+1,bn+2=pbn+1+qbn+Fn,Vn∈N+, 直接计算得： an+2=入bn+2tubn+3=入(pbn+1+qbn+Fn)+u(pbnt2+qbn+1+Fnt1） =p(Abn+1tubn2)+q(入b tub+1)+(入F tuF+1） =p0n+1tq0n+(入FntμFn+1）.…3分 又an2=pat1tqan+Fn, 故入Fn+uFn+1=Fn,则（入-1）Fn+uF+1=0,n≥1. 由于A,是非零常数，R,0,则= ,则{F}为等比数列. …5分 (2)解：（i)由题意得bn2=2bn41+4bn+Fn,取n=1,解得F=-10. 2 入= 入+2=1， 3 又an=入bnwb+1,取n=1,2,得 解得 2λ-2=1， 1 6 即2b+,g-2则5x2 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第6页（共7页） 故F3的前n项和T.=-10x-2）=10x(1-2)=10-5X2.…9分 1-2 (i)由(i)知，b2=2b+1+4bn-5×2,，等式左右同时除以22， 得2_bb。5 2*22*24 2+2X 待定系数法解得25+1x-15x5+1_5 2*22 24 22224 ，…11分 记cn= X- 2 cm4’ 注接特定系数可得》-15 8 2 又c,+55-_0:5+1x455-35-3 8 222x28 8 则5-是以公t为5，首项为-的等比威列。 8 8 8 13分 8 设存在有数使)y会】 解得x3 5 0,y=-4 15分 则数列源，}是以55为首为公的等比数列、 所5505）， 得6-51-5515)450 17分 注：解答题其它解法酌情给分 2026年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第7页（共7页）