精品解析：湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题

邵阳市二中高二入学测试 数学 满分：150分 时间：120min 命题人：李印彬 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. m，n与所成角均为30°，则 C. ，，，则直线m，n到的距离相等 D. ，，则m，n可以是异面直线 2. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知在平行四边形中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 11. 已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（ ） A. B. 球的半径为2 C. 三棱柱的表面积为 D. 点到平面的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 化简：___________. 13. 已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 14. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有_____（写出所有正确说法的序号）． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（其中为实数）为纯虚数. （1）求实数的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求在方向上投影向量的坐标. 17. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 18. 在一次某高校国际学生文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”知识竞赛.某数学小组收集了本次知识竞赛的成绩单，根据本次知识竞赛的成绩（满分100分）将收集到的成绩分成五段：，处理后绘制了如下的频率分布直方图. （1）求； （2）若该高校共有2000名外国留学生，以频率代替概率，估计该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数； （3）已知在内的平均数为52，方差为105，内的平均数为72，方差为503，求所有留学生成绩的方差. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中高二入学测试 数学 满分：150分 时间：120min 命题人：李印彬 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. m，n与所成角均为30°，则 C. ，，，则直线m，n到的距离相等 D. ，，则m，n可以是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断. 【详解】对于A，，，则有可能，A错误； 对于B，m，n与所成角均为30°，则可能相交或平行或异面，B错误； 对于C，，，，直线m，n到的距离可以不相等，C选项错误； 对于D，，，则m，n可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项正确. 故选：D. 2. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则求出，由共轭复数的概念得，进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得解. 【详解】由题意可得， 故，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知在平行四边形中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法计算，再由平行四边形对边相等得解. 【详解】因为在平行四边形中， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和差正切公式计算即可求解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B 5. 棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用三棱锥体积公式结合等体积法计算求解. 【详解】设点B到平面的距离为，则， 故， 因此. 故选:B. 6. 如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得. 【详解】设，则 ， 则有，解得. 故选：C. 7. 已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案. 【详解】, 即 , 又 , , 即 , , 又. 由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部， 再由余弦定理知, ,, , . 由等号左右两边同时乘以可得： ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：根据偶函数的定义结合函数单调性分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设函数，则其定义域为， 且，可知为偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，故A正确； 对于B，设函数，则，， 可得，可知不是增函数，故B错误； 对于C，设函数，其定义域为， 且，可知为偶函数， 当时，在上单调递增，故C正确； 对于D，令函数，则， 因为，可知不为偶函数，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（ ） A. B. 球的半径为2 C. 三棱柱的表面积为 D. 点到平面的距离的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直三棱柱概念知正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求出球的半径知正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知错误，点到平面的距离的最小值为0，最大值为球心到面的距离与之和，计算可得正确. 【详解】根据直三棱柱的概念知侧棱底面，又底面，，故正确； 由知底面是等腰直角三角形，取的中点为， 则为底面的外心，设直三棱柱外接球的球心为，则点位于的中心， 连接，则，由题意，，则，即.故正确； 三棱柱的表面积为：，故错误； 动点在球的球面上，则当点与重合时，点到平面的距离取得最小值为0， 点到平面的距离的最大值为,点到平面的距离的取值范围是，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 化简：___________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式切化弦，进而通分并结合倍角公式化简，然后再利用两角和与差的正弦公式化简，最后求得答案. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设该圆台的高为，母线长为，上下底面半径分别为、， ，则， ，，则，， 则，故圆台的侧面积. 故答案为：. 14. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有_____（写出所有正确说法的序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由互斥事件、对立事件的概念逐个判断即可. 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况， 所以： 恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；正确； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是次品不是对立事件；错误； 至少有1件正品（“全是正品”，“一件正品，一件次品”，）和至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）不是互斥事件；错误； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是正品是互斥事件，也是对立事件．正确 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（其中为实数）为纯虚数. （1）求实数的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用复数乘法运算化简，再应用复数的列式求参； （2）代入得出复数，因为复数对应点在第三象限列出不等式，应用一元二次不等式计算求参. 【小问1详解】 复数为纯虚数. 即可得出； 【小问2详解】 复数，在复平面内所对应的点为， 因为点位于第三象限，所以，所以， 则. 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求在方向上投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再通过向量模长公式计算； （2）先求出的坐标，再由向量平行的坐标表示求得参数； （3）根据投影向量求法求解即可. 【小问1详解】 时，，所以， 故. 【小问2详解】 ， 由，可得， 解得. 【小问3详解】 时，， 此时在方向上的投影向量的坐标为. 17. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ，由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； 【小问2详解】 锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 18. 在一次某高校国际学生文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”知识竞赛.某数学小组收集了本次知识竞赛的成绩单，根据本次知识竞赛的成绩（满分100分）将收集到的成绩分成五段：，处理后绘制了如下的频率分布直方图. （1）求； （2）若该高校共有2000名外国留学生，以频率代替概率，估计该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数； （3）已知在内的平均数为52，方差为105，内的平均数为72，方差为503，求所有留学生成绩的方差. 【答案】（1）； （2）1100； （3）467.6. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出； （2）求出前三个区间频率之和，从而求出该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数； （3）先计算出所有留学生成绩的平均数，再根据样本方差和整体方差的相关公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1， 所以， 解得. 【小问2详解】 前三个区间频率之和为， 以频率代替概率可知该高校知识竞赛成绩不超过70分的人数为人. 【小问3详解】 记在内的平均数为，方差为，内的平均数为，方差为， 所有留学生成绩的平均数为，方差为， 则在内频率为，在[60，90]内的频率为， 则， 故. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：， ，则 ， 则，故， 由平面，，则平面， 又平面、平面，故，， 又，则，故四边形为正方形，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故， 又、平面，且，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理于勾股定理的逆定理可得，再来利用线面垂直的性质定理与正方形的性质可得、，则可得平面； （2）作出二面角的平面角，结合三角函数定义与勾股定理算出各边长度，最后借助余弦定理的推论计算即可得解； （3）取线段上靠近点的三等分点，则等于直线与平面所成角，再计算、后可得，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，过点作，交于点， 则即为二面角的平面角， 由，则， 则，则有， ，则有， ，则有， ，则有， ， 则， 故， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 取线段上靠近点的三等分点，连接，连接， 由，则，由（1）知平面， 故等于直线与平面所成角， 由平面，则， ， ， 则， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $