第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元测试卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合科技前沿、文化传承等真实情境，考查方程定义、解法、应用等核心知识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|定义、根的判别式、估算|第6题结合程序计算培养抽象能力| |填空题|4/12|根与系数关系、增长率|第15题以芯片算力增长考查模型意识| |解答题|8/72|解方程、应用题、动态几何|第23题“换根法”培养推理能力，第24题动态几何考查空间观念|

第二十五章 一元二次方程单元测试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知 是关于x的一元二次方程，则“□”是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( ) A.1,-2,3 B.0,-2,3 C.0,2,3 D.1,2,3 3.若关于x的方程 的一个根是x=4，则k的值是 ( ) A.-7 B.7 C. D. 4.在对一元二次方程 计算 时，下列判断错误的是 ( ) A. a=1 B. b=2 C. c=1 D.△=8 5.将关于x的方程 配方成 的形式，则p的值是 ( ) A.6 B.28 C.17 D.44 6.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果如下表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 -13.75 -2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程 的一个正数解x的大致范围为 ( ) A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9 7.关于x的方程 (a为常数)无实数根，则点(a，a+1)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若是一元二次方程 的根,则a+b+c= ( ) A.-2 B.4 C.2 D.0 9.明明在解关于x的方程 时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x=1，则原方程的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有一个实数根是x=-1 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 10.《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几?”其大意是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和竿长各是多少?如图，设竿长AC为x尺，依题意可得方程 ( ) A. B. C. D. 11.我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相加叫作对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫作对角值.如图1，四边形的对边值为 mn+pq，对角值为 ac+bd.现有一四边形特征值如图2，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ( ) A.1 B.2 C.-1或10 D.2或7 12.已知m,n是方程 的两根，求代数式3mn- 的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是 ( ) 嘉嘉：①解方程 ②将步骤①中的解，代入到代数式 中，得代数式的值为 淇淇：①根据根与系数的关系求出m+n，mn的值；②化简 ③将步骤①中的m+n,mn的值代入到步骤②化简后的结果中，得代数式的值为 A.嘉嘉、淇淇都对 B.嘉嘉对，淇淇不对 C.嘉嘉不对，淇淇对 D.嘉嘉、淇淇都不对 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13.若一元二次方程 的两根分别为 则 14.如果关于x的一元二次方程 的一个解是x=-1，那么代数式 15.某科技公司在2023年底发布了一款 AI训练芯片，其单芯片峰值算力为 100 PFLOPS(1 PFLOPS=10¹⁵ FLOPS).在2025 年底，其新一代芯片的单芯片峰值算力达到169 PFLOPS，则该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率为 16.如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个正方形.若x=1，则y= 三、解答题(本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分8分)用适当的方法解方程： 18.(本小题满分7分)小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程 的过程如下： 解： x²-4x=-3,② x-2=±1,⑤ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误.(填序号) (2)请写出用配方法解方程 的正确过程. 19.(本小题满分8分)嘉淇准备完成题目“解方程： 0”时，发现一次项系数“□”印刷不清楚. (1)她把“□”猜成+2,请解方程: (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题正确答案的结果有一个是-1.”通过计算说明原题中“□”是几. 20.(本小题满分8分)已知关于x的一元二次方程6+2k=0. (1)求证：此方程总有两个实数根. (2)若此方程恰好有一个根小于-1，求k的取值范围. 21.(本小题满分9分)保定市的西大街是具有民国风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.景区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7 元.根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.设每把扇子降价x元，请解答以下问题： (1)填空：每天可售出扇子 把(用含x的代数式表示). (2)若该商店想通过售出这批扇子每天获得5 760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把应降价多少元? 22.(本小题满分9分)某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组.在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21. (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支? (2)学校打算建立一块矩形的种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为10米)，其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开.因实验需要，设置了两个宽为1米的门(门无需栅栏，如图所示)，设种植田的宽AB为m米.若该种植田的面积为36平方米(栅栏的占地面积忽略不计)，求该种植田的宽AB. 23.(本小题满分11分)请阅读下列材料： 问题：已知方程 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y，则y=2x. 所以把 代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式). (1)已知方程 求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数. (2)已知关于x的一元二次方程 有两个不等于0的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 24.(本小题满分12分)如图所示，在 中， 5cm,BC=7cm.点P 从点 A 出发,沿边AB 向点 B 以1cm/s的速度运动，点 Q从点 B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度运动.点P，Q分别从点 A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动. (1)多少秒后，△PBQ的面积等于 (2)多少秒后,PQ的长度等于5cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm²? 请说明理由. 参考答案 1. B 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. A 8. D 9. D 10. A 11. C 12. A 13.6 14.3 15.30% 17.解:(1) =5>0. 2)=0, (x-2-2)(x-2)=0,(x-4)(x-2)=0, ∴x-4=0或x-2=0. 18.解:(1)② 19.解:(1)x²+2x-8=0,(x+4)(x-2)=0,x+4=0或x-2=0,解得 (2)设一次项系数“□”为b.将x=-1代入 ,解得b=-7.故原题中“□”是-7. 20.解:(1)证明: 0，∴此方程总有两个实数根. k+3.∵此方程恰好有一个根小于-1,∴k+3<-1,解得k<-4. 21.解:(1)(300+30x) (2)依题意,得(25-x-7)(300+30x)=5 760,∴(x-6)(x-2)=0,解得 ∵想尽可能地减少库存，∴每把扇子应降价6元. 22.解：(1)设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支.根据题意，得1+ 解得 (不符合题意，舍去).答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支.(2)∵栅栏的总长为22米，且种植田的宽AB为m米,∴种植田的长AD为(22+1×2-3m)米.根据题意,得(22+1×2-3m)m=36,解得 当m=2时,22+1×2-3m=22+1×2-3×2=18>10,不符合题意;当m=6时,22+1×2-3m=22+1×2-3×6=6<10,符合题意.答：该种植田的宽AB为6米. 23.解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x.把x=-y代入方程. 2=0,得 ∴所求方程为 y²-3y-2=0.(2)设所求方程的根为y，则 把 代入方程 得 整理，得 ∴所求方程为 24.解：设运动的时间为 t s，则AP=t cm,BP=(5-t) cm,BQ=2t cm. 即 解得t=1或t=4.当t=4时,2t=8>7,不符合题意,舍去.∴1 s后,△PBQ的面积等于4cm². 解得t=2或t=0.∴0s或2s后,PQ的长度等于5cm. (3)不能.理由:令S△PQB=7,即 整理,得t²-5t+7=0.∵△=25-28=-3<0,∴方程没有实数根.∴△PBQ的面积不能等于 7 cm². 学科网（北京）股份有限公司 $