四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周考3

**基本信息** 高一周测数学试卷聚焦空间向量与概率统计核心内容，通过基础题（如空间直角坐标系对称点）与创新题（如斜坐标）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量（点对称、基底）、概率（事件运算）|第7题斜坐标创新考查基底理解，体现数学思维| |多选题|3/18|概率性质、空间向量应用|第9题辨析独立与互斥关系，培养理性精神| |填空题|3/15|方差计算、复数纯虚数概率|第13题结合复数概念与概率，渗透数学眼光| |解答题|5/77|空间向量证明、统计直方图、概率应用|16题分析成绩分布，19题四棱锥存在性问题，强化数学语言表达与应用意识|

泸县一中高2023级2024年秋期数学大周练（3） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 3．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（    ） A． B． C． D． 4．设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 5．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 8．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列命题正确的是（    ） A．设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B．若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 C．若三个事件A，B，C两两独立，则满足 D．若事件A，B相互独立，，则 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项不正确的是（    ） A．直线与直线相交 B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点 C．存在点，使得直线与直线所成角为 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为 ； 13．已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为 . 14．已知四棱锥的底面为边长为1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分别为边PB和PD的中点，平面，则 ，四边形AMQN的面积等于 ． 四、解答题 15．（13分）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. (1)建立适当的坐标系并求点坐标； (2)求证：. 16．（15分）某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b，估计测试成绩的上四分位数和平均分； (2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在 内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人， 求这2人成绩都在内的概率． 17．（17分）棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 18．（15分）2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为. (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面， 若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B C D B BD ACD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】点关于平面的对称点为点B, 故选：B 2．B 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 3．D 【详解】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件即为向上一面的点数为2或4或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6， 所以． 故选：D. 4．D 【详解】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 5．B 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 6．C 【详解】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故选：C. 7．D 【详解】由题意可得， 设， 即有 即可得，解得，即 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 8．B 【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B. 9．BD 【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误； B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确； C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误； D选项：由题意， 又因为事件,相互独立，所以故D选项正确； 故选：BD. 10．ACD 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 11．ABC 【详解】对于A，因为平面平面,所以平面与平面无公共点, 平面，平面,直线与直线不相交,A选项错误； 对于B,若点在平面的射影是点，则平面,则, 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，, 与矛盾,B选项错误； C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角， 设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为， 则，，， 所以，所， 又， 得，解得，不符合题意， 故不存在点使得与所成角为，故C错误. 对于D:设正方体的棱长为，,D选项正确. 故选：ABC. 12．20 【详解】因为数据，，，，的方差为， 所以数据，，，，的方差为. 故答案为：20 13．/0.25 【详解】由题意， 在中，，， ∵复数为纯虚数 ∴， ∴复数是纯虚数的概率为：， 故答案为：. 14． / 【详解】过点A作AB的垂线AE，建立如图空间直角坐标系，    由题意可知，， 则，， 设，即，则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 因为平面，所以四点共面，得， 即，解得， 则，，， 此时； 又，所以，则， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：；. 15．(1)答案见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1的正方形，2， 则，， 设， 由，可得， 解得，即. （2）因为， 所以，，则， 所以，. 16．(1)，，85，76.5 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，即， 又，所以，， 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 则分位数，且． 测试成绩的平均分为：. （2）成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人， 这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有，，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为． 17．(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）由（1）可得， 所以. （3）由（1）得，所以. 18．(1)， (2) 【详解】（1）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， 则，，相互独立， 由题意得，， 所以，， 所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，. （2）设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 则， 因为，，， 所以，，， 因为、、相互独立， 所以. 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 学科网（北京）股份有限公司 $