精品解析：四川省泸州市泸县普通高中共同体2025-2026学年高二上学期11月期中联合考试数学试题

泸县普通高中共同体2025年秋期高二半期联合考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1页至2页，第II卷3页至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率，进而得出倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，因为倾斜角范围是 所以倾斜角为. 故选：C. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解，判断选项 【详解】由，则. 故选：B 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系，列出方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，解得. 经检验，当时，直线的方程为，即， 此时与不重合，满足题意 故选：C 4. 已知圆锥的表面积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式，联立方程组，即可求解母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意得，解得， 所以该圆锥的母线长为． 故选：D 5. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 18 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式先求出投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量，，所以，， 则向量在向量上的投影向量为， 得到，由模长公式得到，故D正确. 故选：D 7. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 8. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B. 若，为两个事件，且，则与互斥 C. 若，，则事件A，B相互独立与事件，互斥可以同时成立 D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立， 但A与B相互对立时，A与B一定互斥， 故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为， 所以，所以与互斥，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则， 故事件A，B不互斥， 若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，从1,2,3,4四个数字中随机选取一个数字，则样本空间为，记事件A为选取的数字为小于等于2的数字，则，记事件B为选取的数字为奇数，则，满足，但是，显然A与B不对立，故D错误． 故选：ACD 11. 在长方体中，分别为棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若为中点，则三棱锥的体积为 B. 若为中点，过的平面截该长方体得到的截面图形为五边形 C. 若分别为靠近的三等分点，则到直线的距离为 D. 若直线与平面所成角为，则存在点使得线段长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据棱锥体积公式计算；B选项，根据基本事实及其推论得到截面；C选项，利用勾股定理得到三角形的边长，然后利用余弦定理和三角函数计算距离；D选项，根据线面角的定义得到，然后利用三角函数得到，即可得到当时满足要求. 【详解】 A选项，，由题意得到平面的距离为1， 所以，故A正确； B选项，延长交延长线于点，连接交于点，过点作，连接，，则截面为，故B正确. C选项，过作于点，连接， ，，， ， 则，， 所以到直线的距离为，故C错； D选项，过点作于点， 因为为长方体，所以平面， 因为平面，平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 所以在平面的射影为，则，， 所以当时，，即直线与平面所成角为，， 所以存在点使得线段的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求截面的方法： ①作平行线，根据两平行线可以确定一个平面； ②作延长线产生相交，根据两条相交直线可以确定一个平面. 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取乙品种牛的头数为_____； 【答案】18 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例列式计算即可. 【详解】由题意抽取乙品种牛的头数， 故答案为：18. 13. 三棱锥的各条棱长均为1，则_____； 【答案】0 【解析】 【分析】先以为基底进行线性表示，再利用数量积定义计算即可. 【详解】以为基底进行线性转化，棱长均为1，夹角为， 故 故. 故答案为：0 14. 如图，在多面体中，平面平面，四边形和均为正方形，且，若该多面体的外接球为球，则平面截球所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得该多面体为长方体的一部分，且外接球的球心为长方体的中心，即可求得外接球的半径R，如图建系，求得各点坐标，即可求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式，可得点到平面的距离d，进而可得截面圆的面积. 【详解】如图，可知该几何体是长、宽、高分别为2，2，的长方体的一部分， 所以该多面体的外接球的球心为长方体的中心，且半径， 以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则球心，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以， 令，得， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以所求截面的面积为. 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点坐标分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 【答案】（1），83.5kg （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 方法1：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在，设为， 则，解得． 所以，每天应该进苹果． 方法2：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 17. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，点F在棱PA上. （1）求证：平面CDE； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值； （3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长. 【答案】（1）在矩形ABCD中，， 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE. 又因为平面PAB，平面PAB，，所以平面平面CDE. 因为平面PAB，所以平面CDE. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面平面CDE，利用面面平行的性质可证得平面CDE； （2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求值即可； （3）设，则，利用空间向量法可得出关于t的方程，结合t的范围可求得t的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为ABCD是矩形，， 所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、， 所以， 设平面PEC的一个法向量为，则， 取，可得， 设直线BP与平面PEC所成角为θ，所以. 【小问3详解】 设，，则，所以， 因为点F到平面PCE的距离， 因为，解得，故. 18. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. （1）求甲两轮测试总分为30分的概率； （2）求乙在第一轮测试中得40分的概率； （3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 【答案】（1） （2） （3）乙 【解析】 【分析】（1）利用和事件、对立事件、独立事件的相关概念计算即可； （2）利用古典概型计算概率即可； （3）分类讨论甲乙两人的得分情况，根据第二问的结论及独立事件的乘法公式计算比较概率大小即可. 【小问1详解】 设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分， 第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件. 则； 【小问2详解】 对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答， 则有共10种， 设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有 共6种， 则乙在第一轮得40分的概率为：； 【小问3详解】 由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为：； ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲获得面试资格的概率分别为：， 甲获得面试资格的概率为：； 乙获得面试资格的概率为： 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单. 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 【答案】（1） 法1：因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 法2：因为为正三角形，点为BC中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为， 所以，则， 因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 所以， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴， 则 ， 设平面PAC的法向量为，则 ，令，则法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面PAC与平面ACF夹角为， 则， 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为； 【小问3详解】 法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则， 设 ， ， 令 则， 在上单调递减，上单调递增 当时，， 法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为， 且平面， 点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县普通高中共同体2025年秋期高二半期联合考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1页至2页，第II卷3页至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效． 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. 已知圆锥的表面积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 18 B. C. 12 D. 7. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 8. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B. 若，为两个事件，且，则与互斥 C. 若，，则事件A，B相互独立与事件，互斥可以同时成立 D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立 11. 在长方体中，分别为棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若为中点，则三棱锥的体积为 B. 若为中点，过的平面截该长方体得到的截面图形为五边形 C. 若分别为靠近的三等分点，则到直线的距离为 D. 若直线与平面所成角为，则存在点使得线段长度为 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取乙品种牛的头数为_____； 13. 三棱锥的各条棱长均为1，则_____； 14. 如图，在多面体中，平面平面，四边形和均为正方形，且，若该多面体的外接球为球，则平面截球所得截面的面积为__________. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点坐标分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边的垂直平分线所在直线的方程． 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 17. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，点F在棱PA上. （1）求证：平面CDE； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值； （3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长. 18. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. （1）求甲两轮测试总分为30分的概率； （2）求乙在第一轮测试中得40分的概率； （3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $