2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时：二次不等式的概念及其解法） 同步练习题 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学二次不等式同步练，以“例题引领-基础巩固”分层设计，覆盖概念解法、集合综合及实际应用，梯度衔接紧密，通过推理运算与模型应用，助力新授课知识内化与能力初步提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|二次不等式解法、实际应用、集合综合|由基础解法（例1）到实际问题（例2）再到集合综合（例3），梯度递增| |基础夯实|概念辨析、解法应用、简单综合|单选（1、8）巩固解法，多选（9）辨析概念，填空（12）体现模型意识，题型多样|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时：二次不等式的概念及其解法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】解下列不等式： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7） 【详解】（1），解得或 （2），解得 （3），解得或 （4），解得或 （5），解得 （6），解得或或 （7），解得. 【例2】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【例3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【详解】（1）当时，， 又， 所以． （2）由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 【基础夯实】 一、单选题 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 不等式的解集为. 2．设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先解出全集再计算即可. 【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素. 故选：C. 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：, 或， 所以. 4．已知集合，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合A，再由可得答案 【详解】解：由，得，所以， 因为，观察可知选D. 故选：D 5．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 6．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 7．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义，利用交集为空集讨论参数的取值范围． 【详解】因为； 且； 因为，故． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 二、多选题 9．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 10．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 11．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 三、填空题 12．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 13．关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】将绝对值不等式通过两边同时平方，转化成一元二次不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 整理得，即， 所以， 所以不等式的解集为. 14．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时：二次不等式的概念及其解法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】解下列不等式： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7） 【例2】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【例3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【基础夯实】 一、单选题 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则可以是（    ） A． B． C． D． 5．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 10．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 11．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 13．关于的不等式的解集为__________． 14．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $