第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式分层梯度课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕二次函数与一元二次方程、不等式，通过中等、提高、高考、创新四层设计，构建从基础概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |中等题型|单一知识点（解不等式、函数最值）|夯实基础，对应新授课基本概念理解| |提高题型|综合应用（恒成立问题、根分布）|深化逻辑推理，培养数学思维能力| |高考题型|高考高频考点（集合运算）|对接真题变式，衔接阶段测评需求| |创新题型|创新应用（新定义运算）|拓展数学眼光，发展创新意识|

新课标高中数学分层梯度课时练习 第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式分层梯度课时练习【解析】 第一部分 客观题 一、单项选择题（共8题） （一）中等题型 1. 已知一元二次不等式 ，则其解集为（ ） 　 　 　　 【答案】A 【解析】因式分解得 ，不等式 ， 解集为 。 故选：A. 2. 二次函数y 的最小值为（ ） 　 　 　 　 【答案】A 【解析】，二次函数开口向上，顶点最小值为 。 故选：A. （二）提高题型 3. 若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） 　　 　 　 【答案】A 【解析】不等式恒成立 （1）当满足 ，解得 。 （2）当 时不等式为 ，不恒成立。 故实数 的取值范围是 故选：A. 4. 已知方程 有两个正实数根，则实数的取值范围是（ ） 　　 　 　 【答案】A 【解析】设方程两根为 ，两根为正， 则 ，解得 。 实数的取值范围是 故选：A. 5. 二次函数在上的最大值为（ ） 　 　 　 【答案】B 【解析】，开口向下，对称轴 ， 故最大值为y。 故选：B. （三）高考题型 6. （高考真题变式）已知集合， ，则 （ ） 　 　 　　 【答案】C 【解析】，， 故 。 故选：C. 7. （高考真题变式）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，所以或， 所以或， 所以． 故选：D. （四）创新题型 8. 定义新运算：，若不等式 ，则解集为（ ） 　 　 　 　 【答案】B 【解析】由定义得，化简得 ， 即，解集为 。 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则下列结论正确的有（ ） A. 　　　　 B. C. 　　 D. 【 答案】ABD 【解析】解集为闭区间，二次函数开口向上，； 由韦达定理 ，，得 。 故选：ABD． 10. “关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可知，关于x的不等式恒成立，则，解得 ， 对于选项A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件； 对于选项B，⫋, 故“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件； 对于选项C，⫋, “”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件； 对于选项D中，⫋ , “”是“关于x的不等式对恒成立”必要不充分条件， 故选：BD． 三、填空题 （一）中等题型 11. 不等式 的解集为________。 [答案] [解析]因式分解 ，解得 不等式的解集为。 （二）提高题型 12. 若不等式 在 上恒成立，则实数的最大值为________。 【答案】 【解析】 时，， 由对勾函数性质， 最小值为 ，故 。 第二部分 解答题 （一）中等题型 13. （证明题）求证：对任意实数 ，不等式恒成立。 证明：对式子配方得： 由平方的非负性可知：，对任意实数 恒成立 因此 故对任意实数 ， 恒成立，原式得证。 14. 求解一元二次不等式 ，并写出解集。 解析：原不等式变形为： 因式分解： 解得不等式解集为：。 （二）提高题型 15. 已知二次函数 的最小值为 ，求实数 的值。 【解析】，函数最小值为 由题意得：，即 解得： 或 。、 所以实数 的值2或-1. 16.若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【解析】分两种情况讨论： ① 当 时， 时，不等式为 ，对任意 恒成立； 时，不等式为 ，不恒成立，舍去。 ② 当 时，需满足 解得： 综上， 的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度课时练习 第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式分层梯度课时练习 第一部分 客观题 一、单项选择题（共8题） （一）中等题型 1. 已知一元二次不等式 ，则其解集为（ ） 　 　 　　 2. 二次函数y 的最小值为（ ） 　 　 　 　 （二）提高题型 3. 若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） 　　 　 　 4. 已知方程 有两个正实数根，则实数的取值范围是（ ） 　　 　 　 5. 二次函数在上的最大值为（ ） 　 　 　 （三）高考题型 6. （高考真题变式）已知集合， ，则 （ ） 　 　 　　 7. （高考真题变式）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． （四）创新题型 8. 定义新运算：，若不等式 ，则解集为（ ） 　 　 　 　 二、多项选择题 9. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则下列结论正确的有（ ） A. 　　　　 B. C. 　　 D. 10. “关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 （一）中等题型 11. 不等式 的解集为________。 （二）提高题型 12. 若不等式 在 上恒成立，则实数的最大值为________。 第二部分 解答题 （一）中等题型 13. （证明题）求证：对任意实数 ，不等式恒成立。 14. 求解一元二次不等式 ，并写出解集。 （二）提高题型 15. 已知二次函数y 的最小值为 ，求实数 的值。 16.若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $