江苏省苏州市2026-2027学年第一学期高三开学模拟考试数学试卷

**基本信息** 苏州市高三数学开学模拟卷覆盖函数、几何、统计等模块，以直播数据回归分析、四棱锥线面关系证明、椭圆与双曲线综合应用等题为例，体现数学眼光观察现实、逻辑推理分析问题、数学语言表达规律的核心素养，适配高三开学知识回顾与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数、集合、统计图表、充要条件等|基础概念辨析，如纯虚数定义、频率分布直方图中众数中位数比较| |多选题|3|不等式性质、立体几何、解三角形|多选项分层考查，如圆柱外接球表面积与内切球半径判断| |填空题|3|圆与直线位置关系、三角函数性质、数列应用|情境化设计，如火车邮袋数量的数列最值问题| |解答题|5|统计回归、立体几何、解析几何、函数导数、新定义|综合性强，直播数据回归分析体现数学建模，“从属函数”新定义题考查创新思维，符合高考命题趋势|

苏州市高三数学开学模拟考试 一、单选题 1．已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（   ） A．-1 B．1 C． D．0 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A．众数<平均数<中位数 B．众数<中位数<平均数 C．中位数<平均数<众数 D．众数=平均数=中位数 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则（    ） A．18 B．30 C．32 D．36 8．设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在有最大值 C．在恰好有8个零点 D．若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 二、多选题 9．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（    ）． A． B． C．若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D．该圆柱的外接球的表面积为 11．满足，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题 12．已知圆：，直线：，若与相切，则________． 13．已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 14．一列火车从城驶往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______． 四、解答题 15．暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长（小时）与直播时在线观看人数（千人）如下表： 星期 一 二 三 四 五 直播时长（小时） 1 2 3 4 5 直播时在线观看人数（千人） 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)试根据样本相关系数的值判断该直播的在线观看人数（千人）与直播时长（小时）的线性相关性的强弱（若，则认为与的线性相关性较强；若，则认为与的线性相关性较弱）； (2)利用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看人数． 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. (1)求的方程； (2)设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 18．已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值. 19．对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． (1)若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； (2)设，，，求证：是的“从属函数”； (3)设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B D B D BCD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】若复数是纯虚数，则，解得. 2．B 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 3．B 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏. 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显. 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数. 4．C 【详解】若， 则， 又，，所以， 故“”是“”的充要条件. 5．B 【分析】令，根据题意可得出，利用平面内两点间的距离结合已知条件可求出的值. 【详解】令，则椭圆的焦点坐标为， 而椭圆在轴上的顶点坐标为，由题意可知，故， 易知椭圆的焦点坐标为，即， 因为点到焦点的距离为，即，解得. 6．D 【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为 ， 又，所以， 所以. 7．B 【分析】根据题意表示出数列中的项，并计算分成五组的和，解出等比数列的公比，使用基本量求解. 【详解】时，成等差数列，公差，，，， 时，成等差数列，公差，，， 时，成等差数列，公差，，， 设五组的和依次为， ，，，， ， 成等比数列，则，即，解得， 所以，则公比为，由五组构成等比数列得 ，，，， 解得. 8．D 【分析】根据题意作出函数的图象，观察在上的图象判断选项A、B，观察在上的零点即可判断选项C；根据条件分析出函数与的图象至少有4个交点，结合图象得出不等式组，解不等式组判断选项D． 【详解】由题意作出函数图象如下： 由在区间上图象可知，在区间上为非单调函数，故A错误； 在区间上，，没有最大值，故B错误； 在区间上有5个零点，在内有1个零点， 故在恰好有6个零点，故C错误； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，故D正确． 9．BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 10．ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质定理判断AB；根据圆柱的结构确定内切球的半径判断C；根据圆柱性质求解外接球的半径，代入球的表面积公式即可求解判断D. 【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以． 因为AC为圆柱底面圆的直径，所以． 又因为，平面ABD，所以平面ABD． 因为平面ABD，所以，A正确． 因为，且E是BD的中点，所以． 因为，平面BCD，所以平面BCD． 因为平面BCD，所以，B正确． 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为圆柱高的一半为2，C错误． 该圆柱的外接球的半径为，表面积为，D正确． 11．ACD 【分析】利用辅助角公式，根据三角函数的有界性，确定求出根据正弦定理：求出,根据面积公式求出面积. 【详解】∵， ∴ , ∴ 因为在中, 选项A正确 ，选项B错误, 根据正弦定理：，选项正确, 由面积公式：选项D正确. 【点睛】本题考查了“夹逼取等”,即两个有界函数相加等于两者最大值之和，则每一项必须同时达到最大值. 12． 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 13． 【分析】根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解. 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 14．1183 【分析】根据题目条件列出数列的递推公式，根据递推公式求解数列的通项公式，利用数列与函数之间的关系即可求解数列的最大值. 【详解】一共个车站，因此到第站，前面一共有站，故需要卸下个邮袋，后面还有站，所以需要装上个邮袋， 故，， 因此根据递推公式有， 故， 设函数，，， 所以，令，可得或， 因此当时，，当时，， 故的最大值为1183. 15．(1)与具有较强的线性相关性. (2)，5.6（千人） 【分析】（1）根据已知数据结合样本相关系数的计算公式，即可求得答案； （2）利用最小二乘法求出，即可得关于的经验回归方程，将代入经验回归方程即可得答案. 【详解】（1）由， ， 所以（或）， 所以与具有较强的线性相关性． （2），， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6（千人）． 16．(1)如图，取的中点为，连接，. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故. 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接. 因为，，所以，均为等边三角形. 取线段的中点，连接，，则，，且. 因为平面平面，平面平面， 且平面，平面， 所以，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1) (2)（i）（ii）或 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)(i)先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式（或三角形面积公式）表示出的面积，将关系式代入化简求值；(ii)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标. 【详解】（1）由已知得，得，所以. （2）（i）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为， 设该双曲线的方程为， 其半焦距，解得， 所以该双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以， 联立得， ， 设点到的距离为 ， 因为，所以. （ii）由第(1)问可知，椭圆的方程为， 椭圆的上顶点坐标为， 左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为：， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或. 18．(1) (2) (3) 【分析】(1) 求导算切点处导数值得到切线斜率，结合切点直接写出切线方程； (2) 存在增区间等价于导数大于 0 有解，分离参数后转化为求右侧函数最小值； (3) 先利用二阶导数判断一阶导数单调，找到最大值点；再把转化为单变量函数，求这个函数的最小值. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 故，， 又，所以切线方程为； （2）由题意得，（） 因为存在单调增区间，所以在上有解， 即使得能成立， 令，，由，得 0 减 极小值 增 所以，所以即， 因此所求实数的取值范围为； （3）由（2）知，设， ，所以在单调递减，即在单调递减， ，， 设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，取得最小值，所以，所以， 所以， 所以必存在正数，使得， 即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即，因为 所以 令， 因为 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 19．(1)因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. (2)对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 (3)因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 【分析】（1）根据函数新定义及偶函数的性质得，即可证； （2）由题设，对于任意且，，，利用不等式性质及函数新定义即可证； （3）根据已知，对于任意且，有，从而有，令（且），，转化为证明时恒成立即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为证明不等式恒成立，结合函数新定义及导数分析证明. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $