精品解析：江苏省苏州市2025-2026学年高三上学期期初阳光调研数学试卷

2026届高三年级期初阳光调研数学试卷 2025.9 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数. 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 2. 设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出及对应点的坐标即可. 【详解】依题意，，所以在复平面内复数对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 若数据，，，，的方差，则，，，，的大小（ ） A. 都不相同 B. 都相同 C. 不都相同 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式，结合实数性质即可得解. 【详解】设数据，，，，的平均数为， 因为，所以， 所以， 故. 故选：B 4. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再根据不同区间去绝对值，化简函数，判断函数的单调性. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为，关于原点对称， 而， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 当时，， 则函数在上单调递增，故B错误； 当时，， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数，求导得， 若函数在上单调递增，则对恒成立， 而当时，，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6. 在中，，，，为的中点，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表示，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦值即为所求. 【详解】由，，可得， 因为为的中点，所以， 则， 即，， 因为，所以， 则， 即，， 且， 因此，. 故选：C. 7. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【详解】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 8. 在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，故，利用正弦定理和三角恒等变换得到，由基本不等式可求解. 【详解】因为，故， 所以， 所以， 故 （*）， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故，解得， 所以，所以（*）式可取等号， 所以的最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的图象可由曲线向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数解析式，求解值域，判断选项A，利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间，判断选项BC，再由图象变换法则判断选项D. 【详解】， 所以函数的值域为，A正确； 令，得， 所以函数图象关于点不对称，B错误； 由， 得， 所以函数在上单调递增，而， 得在上单调递增， C正确； 函数的图象向右平移个单位得，D错. 故选：AC 10. 在棱长为1的正方体中，则（ ） A. B. 与所成角的大小为45° C. 二面角的正切值为 D. 从正方体的八个顶点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用正方体侧棱平行且相等得到的平行线，再结合正方形对角线垂直即可得证；B选项，由线线平行得到线线角，构造三角形即可求出角的大小；C选项，通过二面角的定义在图中作出其平面角，然后通过解三角形求出其角的余弦值，然后得到正切值；D选项，由古典概型进行计算，先找到总共可能发生的情况数，以及满足题意的情况数即可得到其概率. 【详解】A选项，连接，在正方形中， 在正方体中且，故四边形为平行四边形， ∴， ∴，A选项正确； B选项，连接， 在正方体中， 与所成角为， 在中，三边均为正方体面的对角线， ∴ ∴，B选项错误； C选项，连接，交于点，连接， 则点为的中点， ∵，， ∴，， ∴二面角为， 正方体棱长为1，则，，， ∴， ∴， 即，C选项正确； D选项，从8个顶点中任选4个一共有种选取方式， 其中能够组成正四面体有且仅有2个，， ∴其概率，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数.（ ） A. 在上单调递增 B. 是奇函数 C. 过点可作曲线的两条切线 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点求出即可判断C；构造函数，根据二次函数性质求解可判断D. 【详解】对A，由题知， 由解得，所以在上单调递减，错误； 对B，记， 则，所以为奇函数，正确； 对C，设切点坐标为，则切线斜率为，且， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或， 所以过点可作两条直线与曲线相切，正确； 对D，记 ， 当时，若恒成立，则，解得， 所以时，恒成立，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 13. 函数的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用对数的运算性质得，再应用换元法及二次函数的性质求最小值. 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 14. 在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到数组共有种，再分能被整除和不能被整除，由整除的定义，分别求得数组的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，数组共有种不同的选法， 若能被整除，则也能被整除，此时各有种选法，即这样的有组； 若不能被整除，即从中选1个数，此时除以余数为1，即， 要使得被整除，则除以余数为，即， 所以从中选1个数，所以有种选法，有种选法， 则这样的有组，所以共有中不同的选法， 所以被3整除的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边为，，，，且. （1）求； （2）若的周长为，求边上的高. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可以求出，再由三角函数的性质求解； （2）在中，过点作，设，将的周长表示出来即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 得， 得，又因为，所以． 【小问2详解】 在中，过点作， 所以， 设，则在中，， 则在中，， 所以的周长为 所以， 记边上的高为， 所以． 16. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. 【小问2详解】 由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 17. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； （2）先通过向量关系得到点M与Q的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ斜率最大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N坐标. 【小问1详解】 设动点 ，则点 到点 的距离为 ， 直线 的距离为 ； 因为动点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以 ，所以 的方程 . 【小问2详解】 设 ，由 ，即 得 ； 因为点 在轨迹 上，所以 ，而 ， 因为要求 斜率的最大值，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 ，直线 ， 由 与 联立，得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 . 18. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质证明，从而证明平面； （2）①找出与平面所成的角，通过其正切值求出线段长度，进而用体积公式求解；②建立空间直角坐标系，通过条件求出与的关系，进而通过基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 因为，分别是线段，的中点，所以线段是的中位线，故. 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 ①当时，即. 由上题可知，线段是的中位线，所以. 因为平面，且平面，所以，. 在直角中，，，故，又因为是中点，所以. 在直角中，，，所以. 在直角中，，，所以，又因为是中点，所以. 在中，，，故，所以为直角三角形，其中. 故，而， 平面， 故平面， 所以线段为线段在平面上的投影，则与平面所成的角为. 因此，，解得. 故的面积为，三棱锥的体积为. ②过点做平面，垂足为. 以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，直线的方向向量. 设平面的法向量.故，即，所以. 取. 设直线与平面的夹角为，故，易得. 而. 两边同时平方得，，交叉相乘得. 移项合并得.化简得，进而有. 由基本不等式得，，当且仅当时，即时等号成立. 所以. 故的最大值为. 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，则且， 可得， 由存在两个极值点，， 则是在上的两个不同根， 所以，可得， 由 ， 所以，， 所以， 令，，则， 令，则在上单调递增， 故， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递增，， 综上，，即，得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求最小值； （2）对函数求导，根据已知有是在上的两个不同根，进而得到，结合基本不等式有，利用导数证明，即可证结论； （3）对函数求导，由已知得，进而得且，则，利用三角形三边关系缩小范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当，时，且， 则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设且， 因为，为函数的极值点， 则， 所以，即， 显然，则， 由，则， 故，易知， 由，，是一个三角形的三边长，则，即， 所以， 令且，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时， 综上，，而， 由在上单调递增， 当，则， 当，， 则， 故，即的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级期初阳光调研数学试卷 2025.9 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 2. 设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若数据，，，，的方差，则，，，，的大小（ ） A. 都不相同 B. 都相同 C. 不都相同 D. 无法确定 4. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减 5. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，，，，为的中点，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的图象可由曲线向右平移个单位得到 10. 在棱长为1的正方体中，则（ ） A. B. 与所成角的大小为45° C. 二面角的正切值为 D. 从正方体的八个顶点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是 11. 已知函数.（ ） A. 在上单调递增 B. 是奇函数 C. 过点可作曲线的两条切线 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 函数的最小值为_________. 14. 在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边为，，，，且. （1）求； （2）若的周长为，求边上的高. 16. 已知数列的前项和为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. （1）求，； （2）当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 17. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 18. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 19. 已知函数（，，）. （1）当，时，求函数的最小值； （2）当时，若存在两个极值点，，求证：； （3）设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $