四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周考5

**基本信息** 泸县一中高三数学周考卷聚焦函数、数列、立体几何等核心知识，通过导数极值讨论（第14题）、数列证明（第15题）等题设计，体现数学思维的逻辑性与数学语言的严谨性，适配高三周测分层巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题|函数性质、等比数列求和、圆台侧面展开、向量夹角|结合空间观念（圆台展开）考查数学眼光| |多选题|3题|三角函数性质、导数极值点|通过导数分类讨论（第9题）体现数学思维| |填空题|3题|三角恒等变换、数列错位相减、三角函数对称轴|考查数学语言的简洁表达（第12题数列求和）| |解答题|2题|导数切线与极值、数列证明与求和|综合应用数学思维（导数极值讨论）与数学语言（数列证明）|

泸县一中高2022级高三上期数学周考（9）11.4 一、单选题 1．已知．若，则（   ） A． B． C． D． 2．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 3．某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知，则（    ） A． B． C． D．2 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．定义在R上的偶函数满足，且当 时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 9．设函数，则（   ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．若满足，则 D．当时，若在上有最大值，则 10．已知为函数的一个零点，则（   ） A．的图象关于对称 B．的解集为 C．时， D．时，，则的最大值为4 三、填空题 11．已知​，则​ ． 12．设数列满足.则数列的前n项和为 ． 13．已知是函数的一条对称轴，则的最大值为 . 四、解答题 14．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 15．已知数列的前n项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)在数列中，，若的前n项和为，求证：. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】因为，且， 则，可得， 所以. 故选：B. 2．A 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 3．D 【详解】由该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2， 可得，解得， 即扇环的圆心角的大小为. 故选：D. 4．B 【详解】和的夹角是锐角，则且和不同向共线， 故且， 解得且， 由推不出且，故充分性不成立， 由且推得出，故必要性成立， 所以是和的夹角是锐角的必要不充分条件. 故选：B 5．D 【详解】解：由诱导公式可得，所以，. 因此，. 故选：D. 6．C 【详解】由已知可得， 解得，∴， ∵，，.故， 故选：C. 7．A 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 又是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 作出函数与函数的图象如图所示，    若关于x的方程恰有5个实数解， 则函数与函数的图象有5个交点， 所以，解得. 故选：A. 8．ABD 【详解】函数. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，，所以不是的一个零点，故C错误； 对于D，函数，则的最大值为1，故D正确. 故选：ABD. 9．AC 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 10．AD 【详解】，， ∴， 所以，所以的图象关于对称，所以A正确； 且，所以B错误； ∵当时，，而在上单调递减， ∴，∴C错误； ， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， 画出的大致图象如下图所示， D选项中，时，， 由图可知，的最大值为，所以D选项正确. 故选：AD 11．/0.28 【详解】由题意， ， ， 解得： ， ∴， ， 故答案为：. 12． 【详解】因为（1）， 所以当时，， 当时，（2）， （1）（2）可得：，即， 当时，，对上式也成立， 所以 所以， 记数列的前n项和为， 则①， 所以②， ①-②可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 13． 【详解】由函数， 当时，可得， 因为是函数的一条对称轴，可得， 两边平方，并整理得，解得， 即， 当时，即时，函数的最大值为. 故答案为：. 14．(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 答案第2页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $