四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周考2

**基本信息** 泸县一中高三数学周考卷聚焦函数、向量、数列等核心知识，以土壤重金属处理情境题和分层设计（基础到综合）考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|函数零点、投影向量、函数性质|第1题函数零点判定考查抽象能力，第3题偶函数单调性结合不等式考查推理意识| |多选题|4|函数图像与性质、环保情境应用|第10题以重金属处理为背景，通过指数模型考查数据观念与应用意识| |填空题|3|数列通项、函数零点与参数范围|第13、14题通过复合函数零点个数求参数，考查直观想象与逻辑推理| |解答题|1|数列通项与求和证明|第15题结合错位相减求和，考查数学表达与逻辑论证能力|

泸县一中高2022级高三上期数学周考2 一、单选题 1.函数/()=2+1og,x 的零点所在区间是() . B C.(1,2) D.(2,3) 2.若向量a=(2,0),6=(3, ,则向量a在向量b上的投影向量为（） A价 B.3别 3W10V10 5’5 D.(5,1) 3.己知函数是定义在R上的偶函数，且在区间 0,+0 单调递减，若aeR,且满足 则a的取值范围是() a5] D.g]u) 4已知a>0且a1,若函数J(x)=rS0 log.(x+a)+l,x>a的值域为R,则a的取值范围是() a时s2到 c.(1,2] D.[2,+∞) nma时a版U-ts为 A.4 B.8 c.10 D.12 6已知两数)=rn- ,则函数在x=1处的切线方程是() B.y=19x-19 C.y=19x-29 2 2 7.设/（国是完义在R上的偶函数，对任意的eR,都有代-2）=f+2),且当2,0时， 1)--1.者在区同(2内关于的方程/)-g,（+2)=0a>)浴有3个不同的实数根，期 实数a的取值范围是() A.(4,2 B.(2,+∞) c.(,4) D.(1,2) 二、多选题 8,已知函数(=le40<a<且@)=f6,则() A.ab=1 B.ab=10 C.0+20的最小值为25 D.(a+1)'+(b+12>8 [-x2-4x,x≤0 9.已知函数/= log,,x>0,若x<x,<x<x,且f(x)=f(:)=f(:)=f(化)，则下列结论正 确的是() A+书=-4 B.光=1 C.1<龙<4 D.0<5s2 10.土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含 量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含 量m(单位m吧1D与时间，（单位h满足关系式m0-忌，已知处理h后，重金属含量减少0%：则 ()(g2≈0.301) A.a表示未经处理时土壤中的重金属含量 B.b的值为n0.8 C.使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2h D.函数m)为减函数 1业.设函数f(=r-2+am-1 ,则() A.当a=-1时，f(x)有三个零点 B.当a≥3时，f(x)无极值点 .y=f(x) c.aeR,曲线' 对称中心的横坐标为定值D.3a∈R,使（因在R上是减函数 三、填空题 2已痴数列a}满0一a+4,且4=则}适项公式为一 设函数() 3+1,x≤0 13. log4x,x>0,若关于x的函数g(x)=f(x)-(a+1)f(x)+1恰好有五个零点·则实数a 的取值范围是 el-1,x>0 14.已知函数 ()= -x2-2x+1,x≤0，若方程[f(x)]-bf(x)+4=0有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是 四、解答题 15,已知数列a知}，其中a的前项和为S,且2a-=2,么=lg:(③+2） 山分别求出数列a和的通项公式 T=么+b+…+ (2)记”aa, a,求证：Tn<3 参考答案： 1.A 【详解】因为=2，y=6g,在0+四)上单调递增，所以/()=2+loe:在0，+w）上单 调递增， 所以x)至多有一个零点， 因为 八4 =2-2<0,f=2-10 厨以网在零点本阿0,2 故选：A. 2.B 【详解】解：因为向量a=(2,0),6=(3,1 则向量ā在向量6上的投影向量为： 1m<a6>点-5点-56-合a0=g3 181181181 18P 10 故选：B 3.D 【详解】依题意， f是偶函数，且在区间0+切)单调递减， 由fe）+fe2/R)得f0og.aj+f-g,aj-2rog,os2r2. 所以f0og,f(2）,所以g,a≤-2或e,a≥2， 或 所以0<a≤)或a≥9： （0u9,*o） 0, 所以a的取值范围是9」 故选：D 4.A a-a,x≤a 【详解】 f(x)= log(x+a)+1,x>a的值域为R,.a>0且a≠1， 当a>l时， 则x≤a.f)=a f(x)≤f(a)=1 为增函数， 而X>0时， f(x)=log,(x+a)+1 为增函数， f(x)>f(a)=log.2a+1=log。2+2>2 此时， ,不符题意： 当0<a<1时， 则x≤a.f)=a f(x)≥f(a)=1 为减函数， 而a f(x)=log,(x+a)+1 时， 为减函数， f(x)<f(a)=log,2a+1=log,2+2 此时， 因为 f() 的值域为R,当且仅当 0ga2+2≥1 时，满足题意， In2 此时，log。2≥-1，则na ≥-1，整理得，h2<-ha'解得a≤， 综上，0<a≤2时满足题意。 故选：A 5.c 心)有4个交点，不妨设为5，，，且5<5<5< 1 0<=1 3 2<5<3<<4,再分别判断f)=x=12,34)的根的个数，即 可得解 【详解】因为)=-儿x<2 -3旷-x≥2则份-5)-a=1=1. 2(x-3}2-1=1 2 令x22 解得x=3-5 或x=3+ 2 1 又在同一平面直角坐标系中画出y=fx与y=2的图象， 由图忽观察可知y=f以与方有4个交点，不锁设为55，且5<5<气< 则0<X=11<=2<2<5<3下<4 2 当》时，由了)5,0<x1,则存在4个不同实根 由了付)=5,1长名=名<2，则存在2个不时实限， 由)=为.2<5<3 则存在2个不同实根， 由四=。.3<<4 则存在2个不同实根， 综上(/（刃-2的实根个数为10： 故选：C 6.B f0.0,可得田在=l处的切线方程 【详解】=2+，令可得=9 ∴f(0)=9+0-9=0,f'(1)=19 所以f()在x=1处的切线方程为y=19x-19, 故选：B 7.A 【详解】由f()1og,(+2列-=0(a>)可得/=og.(x+2） 所以，函数=（和函数’=g,(x+2a>1)在2，可上的图象有3个交点， 因为对任意的reR,部有f(-2列=f(x+2),即f)=f(x+4)】 所以，函数 是周期为4的周期函数， 因为闪天定义作上做。且当[20H,-眉-.则=3 作出函数'=f( 和函数=og,任+2a>1)在2.6上的图象如下图所示： y=loga(x+2) 3 yf(x) -2 0 6 要使得西数'=/d和西数=lo,K+2a>1)在-2.6上的图象有3个交点， 1og。4<3 则 log,8>3 a>1 ，解得 4<a<2 因此，实数a的取值范围是4,2) 故选：A 8.AD 【详解】函数f-g0<a<b,由f(a-=f⑥，得0<a<1<b, ,由 对于AB. le4-leb,则le(ab）-= 0,解得ab=1,A正确，B错误： 对于C,a+2b=6 +2b在bE0,四)上单调递增，则a+2b>3,C错误： 对干D,a+P+b+=公+安+20+为+2=6+分-1， 面6在e+网上单调造赠，b+分之>2，因比b++-1>8,D正验 故选：AD 9.AB -x2-4x,x≤0 【详解】函数f)= log2x,x>0的图象如图所示， y=f(x) --…y=t 设)=f)=)=f)=(.则0<<4 则直线”=与函数'=儿因的图象4个交点横坐标分别为考 对于A:屑致’--：的图象关于直线=之利陈，则5+=4 ,故A正确； 对于B:由图象可知bg,=og,,且0<<1<x -1og=l10g影x,即log()=0,所以=1，放B正确 对于C,当x≤0时，闭=-2-4=-(x+2+4≤4 由图象可知 og2x4∈(0,4)1<x4<16 ,则 ,故C错误： 对于D,由图象可知4<x<-2, 所以5=(4-)=--4=-(G+2+4(0, ,故D错误 故选：AB. 10.AD 【详解】当=0时，m0a “,故“表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确， 当1=1时，0-200a=aee=0 时， °①，故 b=h0.8→b=-ln08,B错误， 1-50%)a=ae.0.5=(ey ②， 联立①②解得，0.5=0.8， 则1=1og0.5=lg0.5--1g2 -1g2 -1g2-0.301 1lg0.8lg4-1g521g2-0g10-lg2)3lg2-13×0.301-1 ≈3.103 故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约h.C错误， 由于b=-1n0.8>0,a>0,所以y=c女单调递增，因此m0= e单调递减，D正确， 故选：AD 11.BC 【详解】对于A,当a=-时，f)=-r-- ,求导得=3x2-2x-1 令f)=0得x=3或x=1由f>0,相< 3或x>1:由f(x)<0, 得方<1，于是了和在(4月，0+)上单调适增，在写》上单调滋版。 1 1 利在=方处取得极大独八白=分。背10，因肤网反多有一个零点。A错 1 误； 对于B,了=3x2-2x+a,当a23时，4=4-12a≤0，即f≥0恒成立， 函数()在R上单调递增，f()无极值点，B正确； 对Fc,由0+=写--号+a写-1*-+1号知器 27 1a29 得fx)图象对称中心坐标为写'32分，C正确。 对于D,要使 w)在R上是减函数，则 '(x)=3x2-2x+a≤0 恒成立， 而不等式3x2-2x+a≤0的解集不可能为R,D错误， 故选：BC 12.a,=12-11x 【详解】设8+x-号+.即4=号4，弓，所以子r=4,解得x-12: 21 所以2-a-12。 2 所以{an-12}是首项为a-12=-11,公比为3的等比数列， 所以-12=-11x 故答案为： 0,=12-11× B3.Ias 3+1,x≤0 【详解】作出函数f()= log4x,x>0的图象如图， y y=fx) 令()=，函数()=f((a+)f(+拾好有五个零点. 则方程产()-(a+/()+1=02-a+1p+1=0 化为 -(a+l)r+1=0 则 必有两个不同实根4，则华=1 结合图形可知，5>0 则5必不为， ,t2-(a+1)t+1=0 故方程 的一根在区间0,1内，另一根在区何2习]内， 令80=-(a+1r+1 g(0)=1>0 则80=1-(a+)x1+1<0 g②)-4-a+1x2+≥0解得：1<a 综上：实数口的取值范田为<a≤ 故答案为1<0s号3 4 14.4<b<e+ e ex-l,x>0 【分析】根据题意，作出函数) -x2-2x+1,x≤0的图象，进而数形结合，将问题转化为 方程-b1+4=0 两个不相等的实数根 ,再结合二次函数零点分布求解即可· elx-i,x>0 【详解】根据题意作出函数f() -x2-2x+1,x≤0的图象，如图 令=f冈，因为方程()()+4=0 6个相异的实数根， 所以方程2-bt+4=0有两个不等的实根， 所以△=b2-16>0, 解得b<-4或b>4, 4<i2 不妨设这两根 4=11<t4<2 则42=2或2<t2<e, 「6=1 当42=2时，4+12=b=3,且华2=2≠4，所以无解： 1<4<2 当2<2<e时， 令80=P-加+4 g(1)>0 「1-b+4>0 只需8(2)<0 4-2b+4<0 8(e小>0 e2-be+4>0解得4<b<e+ 4, 终上所述：4<b<e+ e 4 故答案为：4<b<e+4 15.(1)%,=2”6,=n+1 (2)证明见解析 【详解】(1)当”=1时， 2a1-S1=2a-a,=2 所以92 n≥22an-Sn= 时， ①， 2a1-S= ②， ①-②得（2a.-20)小-(S,-5)=0 2a-2a,a,=0,4,=2a. 所以a}是以首项为2，公比为2的等比数列，所以“=2， 所以么=log,(2a,)=log,(22r）=1og,2=n+1 四1-9+点 23 a,。a肌7n=222中…+ 2”③， =2+ n+l ④-③，得 1,1n+1 可T=2+2+“22 11 2 3-. 2”, 因为>0*3 1 0,2>0,所以T<3