专题02 几何图形初步认识常考几何模型10大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 该专项聚焦几何图形初步10类核心模型，通过“观察-发现-应用”路径系统提炼解题方法，构建从静态到动态的知识逻辑链，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点棱面关系|4题|欧拉公式推导与应用|从几何体要素统计到规律探究，建立空间观念| |线段模型|4题|动点方程思想、中点性质|从静态计算到动态问题，渗透数形结合| |角模型|6类28题|旋转角度追踪、折叠轴对称、角平分线性质|从基础计算到综合探究，强化逻辑推理|

专题02 几何图形初步认识常考几何模型 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识常考几何模型 题型01 点、棱、面关系（公式记忆） 题型02 线段的动点问题模型 题型03 线段的中点问题模型 题型04 三角板中的角度计算模型 题型05 几何图形中的角度计算模型 题型06 角的旋转问题模型 题型07 角的折叠问题模型 题型08 角的关系探究模型 题型09 角平分线有关计算模型 题型10 余角、补角计算模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识常考几何模型 ◆题型01 点、棱、面关系（公式记忆） 1．丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【答案】(1) 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 (2) (3)2 (4)3，2 (5)30，20，3 【分析】（1）仔细分析所给图形的特征即可得到结果； （2）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （3）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （4）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （5）应用所发现的规律即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中的数据发现：简单几何中，； （3）解：简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边； （4）解：在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有； （5）解：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】 （1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 ； （2）五； （3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 3．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1) 解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）略 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 4．设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． ◆题型02 线段的动点问题模型 5．已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长________． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 6．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系． 7．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【答案】(1)5 (2)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得解； （2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段， ∴点B表示的数为． （2）解：当点N在线段上时，如答图①， ∵，， ∴， ∴； 当点N在线段的延长线上时，如答图②， ∵，， ∴． 综上所述，的长度为4或8． 8．如图，线段，点在的延长线上，且．    (1)比较线段与的大小，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由． 【答案】(1) ，理由：∵， ∴， ∴； (2)； (3) 当在点时，到点的距离和最小，最小值为， 理由：∵点到的距离分别为、、， ∵，的长是固定值， ∴要使距离和最短，则需最短即可，    ∴当在点时，为，此时的最小值． 【分析】（）利用线段的和差关系即可求解； （）利用线段的比求出，再根据线段的和差关系即可求出； （）利用线段的和差关系即可求解； 本题考查了线段的和差关系，利用数形结合解答是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）略 ◆题型03 线段的中点问题模型 9．如图，点P在定长线段上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以/秒、/秒的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），且C、D运动到任一时刻，总有．如果在C、D运动过程中，M、N分别是的中点，运动时间t秒时，恰好有，那么此时的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和差倍分，线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．设，则，根据题意列方程可求得；设，则，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】解：设运动了t秒，则，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ， ，， ①当点在线段上时，， ， ， 解得：， ，， ； ②当点在线段的延长线上时，， ， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 10．如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段、的中点，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差．设，，求得，，据此求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，， ∵P、Q分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 11．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与，重合），使得且，则的值为___________．    【答案】2 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用． 设，则，，根据线段中点的定义得到，则，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∴ ∴点为线段的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：2． 12．在直线上顺次取三点，使得，点是线段的中点． (1)若，①求的长； ②在射线上有一点，使得，求的值； (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”后，线段的长度就会变为原来长度的倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点的延长线方向延伸，如果线段膨胀后得到新线段，且膨胀系数，若点为的中点时，求和之间的数量关系． 【答案】(1)①1；②或； (2)或． 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段中的数量关系和和差关系，是解题的关键： （1）①求出的长，根据中点平分线段，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行求解即可； （2）根据新定义，求出的长，中点得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∵， ∴； ①； ②∵， 当点在线段上时，则：，， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴； 综上：或； （2）解：①当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． ◆题型04 三角板中的角度计算模型 13．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3)α的值为 (4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角定义计算即可； （2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角， ∵射线，在的内部，是的内余角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得：， ∴α的值为； （4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒， 当在内部时，如图所示， ， ∴，， ∴，， 若是的内余角时， 得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在上方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在内部时，如图所示， ， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 14．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， 理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角的性质，旋转的性质，掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 15．已知点是直线上一点，将一副三角板按图1摆放，点在上，其中，，过点作平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，若，试说明平分； (3)把三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角平分线、列代数式、整式的加减运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由三角板的知识可得、，根据角平分线定义可得，再根据角的和差即可解答； （2）由（1）可得：，易得，进而得到，即可证明结论； （3）由题意可得，然后分两种情况：当时；当时，分别列式表示出和，在发现它们之间的关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴． （2）略 （3）解： ∵三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止， ∴绕点以每秒沿逆时针方向旋转， ∴， 当重合时，， 如图：当，， ∵平分． ∴， ∴， ∴； 如图：当， 即，， ∵平分． ∴， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时，． 16．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，_____，_____，三角板旋转的角度为_____； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系，写出证明过程； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线，重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间为多少秒． 【答案】(1)；； (2) 解：当在外部时，，当在内部时，，证明如下： 在外部时， ∵，， ∴，， ∴； 当在内部时， ∵，， ∴，， ∴； (3)秒或秒或60秒或70秒 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可求出的度数，据此可得答案； （2）当在外部时，先根据题意得出，，然后作差即可；当在内部时，先根据题意得出，，然后求和即可； （3）先求出旋转前、的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要的旋转时间为，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴，， ∴三角板旋转的角度为； 故答案为：；；； （2）略 （3）解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴旋转前与的夹角为， 旋转前与的夹角为 ∴与第一次相遇的时间为（秒）， 此时旋转的角度为， ∴此时与的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要的旋转时间为， 当与没有相遇前，， 解得； 当与第一次相遇后，且与没有相遇前，则， 解得； 当与第一次相遇后，与第二次相遇前，则， 解得； 当与第一次相遇后，与第二次相遇后，则， 解得； 综上，在与第二次相遇前，旋转时间为秒或秒或60秒或70秒． 【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，三角板中角度计算问题，与余角补角有关的计算，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． ◆题型05 几何图形中的角度计算模型 17．定义：从锐角的顶点引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的余线． (1)下列说法：①一个锐角关于某边的余线一定在这个角的外部；②一个锐角关于某边的余线一定有2条；③一个锐角关于某边的余线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)已知点是直角的顶点，射线，在的内部，是的平分线，则是关于边的余线吗？为什么？ (3)已知射线为锐角关于边的余线，是的平分线．若，试用含的式子表示（直接写出结果）． 【答案】(1)③ (2) 是关于边的余线． 理由：如图，，是的平分线， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是关于边的余线； (3)或或 【分析】本题考查了角的计算，理解新定义是解题的关键． （）根据余线的定义判断即可求解； （）画出图形，根据余线的定义证明即可； （）画出图形，根据余线的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：当一个角为锐角时，它的余线在这个角的内部，故错误； 当一个锐角为时，这个锐角关于某边的余线只有条，故错误； 当一个锐角为时，这个锐角关于某边的余线只有条，当这个锐角不等于时，这个锐角关于某边的余线有条，故正确； 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，当在内部时， ∵为锐角关于边的余线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图，当在右侧时， ∵为锐角关于边的余线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图，当在左侧时， ∵为锐角关于边的余线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上，或或． 18．如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 【答案】(1) (2)①或； ②解：是的平分线．理由如下： ∵， ∴在左侧，如图所示： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 是的平分线． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义，是解题的关键． （1）根据角平分线定义求出，根据余角定义得出，再求出结果即可； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②设，则，根据角平分线的定义求得，推出，根据，得出，求出， 据此求解即可判断． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵和互余， ∴， ∴； （2）解：①或； 当在左侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或； ②略 19．如图，点A，O，B位于同一条直线上，是直角，射线在内部，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)如图（2），将绕点O旋转至直线上方，，仍分别是，的平分线，直接写出．（不写过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义与性质，与余角和补角的有关计算，角的和差运算，列代数式表示角及图形旋转的性质． （1）利用角平分线定义和已知直角的度数，通过角的和差关系推导即可； （2）通过设未知数表示角，结合角平分线定义和补角的定义，逐步推导的表达式，进而求得的度数； （3）旋转不改变角的大小，且角平分线的“平分”性质不变，因此的度数与旋转前一致，设，利用角平分线和余角的定义，可发现在计算的过程中，未知数会被抵消，最终结果仍为． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴． ∵是直角， ∴， ∴． （2）解：是的平分线，， ∴， ∵， ∴． ∵． ∴， 是的平分线， ∴． ∴． （3）解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】 （1）如图2，和_________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）如图1若、分别平分“共边角”和 ①若，则_____； ②写出与的数量关系并说明理由； 【知识迁移】 （3）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为_________． 【答案】（1）不是；（2）①②；（3）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，则可得，即可求解； ②先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （3）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）如图2，和不是“共边角” 故答案为：不是． （2）①∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ； ②∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． ◆题型06 角的旋转问题模型 21．（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角尺的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ， ， 旋转角为：， ； （3）存在，    理由是：当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ， ， 解得：； 当在右侧时，   ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 22．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 【答案】(1)15 (2) 与的数量关系是：(相等)，理由如下： ∵， ∴，即； (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算问题，一元一次方程方程的应用等知识，能正确找到符合条件的情况并正确作图是解题的关键． （1）先推导找出旋转的角度为，再除以旋转速度得解； （2）利用得到，从而得解； （3）设时间为t秒，分平分和的反向延长线平分两种情况讨论分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从旋转开始至边与射线重合时，共旋转了， ∴所需时间是：(秒)， 答：旋转开始至边与射线重合时，共需15秒． （2）略 （3）设时间为t秒， ∵将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． ∴当时，，当时，． 又∵绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转， ∴， ①如图，当平分时，，， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：； ②如图，当的反向延长线平分时，，， ∵的反向延长线平分，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴解得：； 综上所述：或． 23．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间） (1)当t＝　 　秒，射线OP平分∠AOB时； (2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间； (3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10； (2)或秒； (3)或； 【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可． （2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式． （3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间． 【详解】（1）解：作∠AOB的角平分线OG ∵∠AOB=60°， ∴∠AOG=∠AOB=30°， ∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°， 此时OP的运动时间t=（秒）； 故答案为：10； （2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°， ∴∠FOC=90° 由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t° ①如图所示： ∴4t+60+5t=90， ∴t=； ②如图所示： 此时 4t+5t-60=90， ∴t= ∵OQ停止运动时间t=， ∴以上两种情况均符合 ∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒； （3）解：存在； ①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图： 则， 解得：； ②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图： 则， 解得：； 综合上述，或； 【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系． 24．已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． ◆题型07 角的折叠问题模型 25．如图①，若将折叠，使得边落在边上，则．    根据以上材料，回答下列问题：折叠长方形纸片，为边上一点，，均是折痕，折叠后，点落在点，点B落在点 ．    (1)如图②，当点 在 上时，则 ______； (2)如图③，当点 在 的内部时，若，，求 的度数； (3)当折痕端点、端点分别在长方形纸片边、上时，请你探究 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；；． 【分析】本题考查了角的运算，折叠的性质，熟练运用方程的思想是解题的关键． （1）设，，利用平角的数量关系列式运算即可； （2）利用平角的数量关系运算出的度数，再运算出的度数，即可求出的度数； （3）分类讨论和的位置，再利用角的等量代换运算求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵折叠，且，， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：①当点 在 上时，如图所示：    由（1）可得：此时，， ∴； ②当点 在 的内部时，如图所示：    设，， ∴，即， ∴， ∴， 把代入可得： ， ∴； ③当点 在 的外部时，如图所示：    设，， ∴，即， ∴， ∴， 把代入可得： ， ∴； 综上所述：；；． 26．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质分两种情况即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差关系，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠可得， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为． 27．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)； (3)的度数为度或度． 【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算． （1）计算求得，，即可证明平分； （2）设，计算求得，，根据平分，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 解得，即； （3）解：当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 综上，的度数为度或度． 28．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为________．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【详解】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． ◆题型08 角的关系探究模型 29．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与，有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 与，有数量关系，， 理由：∵平分， ∴， ∴， 是的平分线， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及角的运算； （1）观察图形，结合角平分线的定义可得，，，再根据可得答案； （2）观察图形，结合角平分线的定义可得，，再根据可得答案； （3）观察图形，结合角平分线的定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵ 平分， ∴， ∴是直角，， ∴， ∴ 是的平分线， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：， 理由：∵，是的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （3）略 30．已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； (3) ，与无数量关系，理由如下： ∵，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【分析】本题考查几何图形中角度计算，角平分线的定义： （1）由角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，，最后根据即可求解； （2）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解； （3）仿照（1），利用角的和差关系及角平分线的定义求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 31．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．        (1)①探究与的关系：因为，所以，即______． ②探究与的关系：因为，，所以______． (2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置： ①直接写出与的关系：______； ②探究与的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程． 【答案】(1)①＝；② (2)①； ②；理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）①证明，从而可得答案；②利用周角的含义及角的和差运算可得答案； （2）①由，可得．②证明，可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即． ②∵，， ∴． （2）①∵， ∴， 即． ② 略 【点睛】本题考查的是角的和差运算，熟练的理解几何图形中角的和差关系是解本题的关键． 32．如图1，将直角三角板中一个角的顶点O放置在直线上． (1)若按照图2摆放，使边在内部，且平分，，则______度； (2)若按照图3摆放，射线平分，写出与度数关系，并说明理由； (3)若三角板边与射线重合时（如图4），三角板在直线上绕点O逆时针旋转运动（边始终在内），，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等相关知识，由图形得到角度之间的和差关系是解题关键． （1）直接利用角平分线的定义求得，再计算即可求解； （2）设，推出，，进一步计算即可求解； （3）设，分边也在内和边不在内，两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：20； （2）解：， ∵射线平分， ∴设， ∴，即，， ∴； （3）解：设， 当边也在内时，如图， 则，， ∴； 当边不在内时，如图， 则，， ∴； 综上，． ◆题型09 角平分线有关计算模型 33．已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴ = 34．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用及即可求得与的数量关系； （2）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； （3）由及互补关系可求得的度数，再由角平分线的性质求得的度数，由互余关系即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 35． (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 36．同学们，数学知识的学习往往具有相通的地方，如果在学习中你能发现这种相通的地方便可以在数学学习中做到触类旁通．就像线段的中点问题能够迁移到角平分线问题中去，本质都是平分．让同类问题的解题逻辑形成连贯的知识链条，可以让我们学起来更加轻松，请大家带着这样的思考解决下列问题． 特例感知： （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若，则线段___________． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图③所示，，且，，请直接写出与之间的关系___________． 【答案】（1）①7；②7；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由，即可求解；②方法同上； （2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ◆题型10 余角、补角计算模型 37．如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)， 理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （3）设，则，分以下两种情况：当在上方时；当在下方时，分别根据角平分线的定义和余角的性质，再结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又∵是直角，平分， ∴； （2）略 （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： 当在上方时，如图 ， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方时，如图， ， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 38．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角）    (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________（用含α的式子表示）； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若绕点O逆时针旋转，当是的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围_________． 【答案】(1) (2) 解：是的“倍角”， 理由：设， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即是的“倍角”． (3) ①解：是的“倍补角”， 理由：设， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的“倍补角”； ② 【分析】本题考查了角的和差关系，角平分线的定义及“倍角”“倍补角”的概念． （1）当时，根据角度的和差关系可求得； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：若，则， ∵射线平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：①略 ②如图，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线，    设， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 如图，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角”，      当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图，    设， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 当时，如图，    设， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是的“倍补角”， 综上所述，时，是的“倍补角”． 39．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，角度的计算，准确地理解题意是解题的关键． （1）由平分，可得，根据“分余线”的定义，可得，结合，求得； （2）设，先根据题意求得，，再根据“分余线”的定义，得到或，最后分两种情况讨论求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵为的“分余线”， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∵为的“分余线”， ∴或， 分两种情况讨论： ①， 即， 解得； ②， 即， 解得； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 40．已知点O在直线上，射线在直线的同侧，作平分（与不重合）． (1)的位置如图1所示． ①若，则的度数为______； ②已知条件I：；条件Ⅱ：． 请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)如图2，若，且和互为补角，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①15； ②解：选条件Ⅰ： ∵平分，， ∴， ∴； 选条件Ⅱ： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)或 【分析】本题考查了角的和差关系及角平分线的有关计算． （1）①首先根据角的和差关系求出，然后由角平分线的概念得到，进而求解即可；②选择条件Ⅰ或条件Ⅱ，利用角平分线的概念和角的和差关系求解即可； （2）根据题意分当在左侧时，和当在右侧时两种情况讨论，然后根据角平分线的概念和角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：15； ②略 （2）解：的度数为或．理由： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图1，当在左侧时， ∴； 如图2，当在右侧时, ∴， 综上所述，的度数为或． 综合攻坚·知能拔高 41．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 【答案】或 【详解】解：， ． ①若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，最短段长为． ②若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，可得，最短段长为． 综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或． 42．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 43．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 44．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是，点表示的数是． (1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段的中点表示的数是__________，线段，的相对离散度是__________； (2)设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度，求的值； (3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．（参考材料：．若，则．其中，且；．如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点） 【答案】(1)，； (2)的值为或； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． （）设线段，的中点为，，由题意可得：，所以线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是，通过，得，求得； （）设，中点记为，，由题意可得，，所以点，在数轴上表示的数分别为，，则，根据线段，的相对离散度， 且，故有，然后求出的值即可； （）设数轴上点对应的数分别为，可得点所表示的数，设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为，所以，又线段，的相对离散度为，且，所以，得，同理，从而可得，然后分当，时，当，时，当，时，当，时即可求解． 【详解】（1）解：设线段，的中点为，， 由题意可得：， ∴线段的中点表示的数是，线段的中点表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，中点记为，， 由题意可得：，， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∴， ∵线段，的相对离散度， 且， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点对应的数分别为， ∵数轴上点都在点的右侧 (其中不重合)， ∴，且， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ∴， ∵线段，的相对离散度为，且， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， 当，时， 解得：， ∵不重合, ∴ 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 即：， ∴， 即． 45．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 46．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 47．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 48．已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)射线的位置如图1所示． ①若，求的度数； ②若，则可用含的式子表示为_____； (2)射线在如图2的位置时，仍设，则可用含的式子表示为______． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角平分线的定义是解题的关键． （1）①先求得，再根据角平分线的定义求得，再利用平角的定义求解即可； ②同①的方法即可求得； （2）同（1）①的方法即可求得． 【详解】（1）解：①∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 49．小明利用三角尺进行数学探究活动：如图，将三角板的直角顶点放置在直线上，平分． (1)如图，若，则________； (2)如图，若平分，求的度数； (3)小明将三角板从图的位置开始绕着点继续旋转，可得到如图所示的三种位置，若，请分别写出的度数（用含的代数式表示）． ________； ________； ________． 【答案】(1) (2)． (3)；；． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、三角板中角度计算问题，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）由角平分线的定义得，再结合平角定义、三角板性质求出，最后由即可得解； （2）由角平分线的定义得，，综合，，即可求出的度数； （3）根据不同的位置情况得出的不同组成方式，再结合，即可推得不同情况下的度数． 【详解】（1）解：平分， ， ，且， ， 三角板中， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， 平分， ， 由图得，，， ， ， ； （3）解：平分， ， 位置：， ， ， 即， ， ， ， ； 位置：， ， ， ， ； 位置：， ， ， ， ； 故答案为：；；． 50．【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： ∴ ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 51．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查角平分线的定义、三角尺中角的和差计算、平角的定义， （1）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （2）由题意求得，再由角平分线的定义得，最后由平角的定义求解即可； （3）由角平分线的定义得，进而得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40°； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）略 52．点为直线上一点，在直线同侧作射线，使得，过点作射线． (1)如图1，若为的平分线，当时．求______； (2)如图2．若为的平分线，另作射线，使平分，判断的度数是否为定值，如果是，求出的度数：如果不是，请说明理由； (3)若为的平分线，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1)40 (2)的度数是定值， (3)的度数是或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：设， ， ， 平分平分， ， ， ∴的度数是定值，； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形初步认识常考几何模型 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识常考几何模型 题型01 点、棱、面关系（公式记忆） 题型02 线段的动点问题模型 题型03 线段的中点问题模型 题型04 三角板中的角度计算模型 题型05 几何图形中的角度计算模型 题型06 角的旋转问题模型 题型07 角的折叠问题模型 题型08 角的关系探究模型 题型09 角平分线有关计算模型 题型10 余角、补角计算模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 几何图形初步认识常考几何模型 ◆题型01 点、棱、面关系（公式记忆） 1．丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 3．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 4．设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． ◆题型02 线段的动点问题模型 5．已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长________． 6．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 7．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 8．如图，线段，点在的延长线上，且．    (1)比较线段与的大小，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由． ◆题型03 线段的中点问题模型 9．如图，点P在定长线段上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以/秒、/秒的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），且C、D运动到任一时刻，总有．如果在C、D运动过程中，M、N分别是的中点，运动时间t秒时，恰好有，那么此时的值是______． 10．如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段、的中点，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与，重合），使得且，则的值为___________．    12．在直线上顺次取三点，使得，点是线段的中点． (1)若，①求的长； ②在射线上有一点，使得，求的值； (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”后，线段的长度就会变为原来长度的倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点的延长线方向延伸，如果线段膨胀后得到新线段，且膨胀系数，若点为的中点时，求和之间的数量关系． ◆题型04 三角板中的角度计算模型 13．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 14．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．已知点是直线上一点，将一副三角板按图1摆放，点在上，其中，，过点作平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，若，试说明平分； (3)把三角板绕点以每秒沿逆时针方向旋转，当和重合时停止，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 16．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，_____，_____，三角板旋转的角度为_____； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系，写出证明过程； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线，重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间为多少秒． ◆题型05 几何图形中的角度计算模型 17．定义：从锐角的顶点引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的余线． (1)下列说法：①一个锐角关于某边的余线一定在这个角的外部；②一个锐角关于某边的余线一定有2条；③一个锐角关于某边的余线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)已知点是直角的顶点，射线，在的内部，是的平分线，则是关于边的余线吗？为什么？ (3)已知射线为锐角关于边的余线，是的平分线．若，试用含的式子表示（直接写出结果）． ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是关于边的余线； 18．如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 19．如图，点A，O，B位于同一条直线上，是直角，射线在内部，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)如图（2），将绕点O旋转至直线上方，，仍分别是，的平分线，直接写出．（不写过程） 20．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】 （1）如图2，和_________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）如图1若、分别平分“共边角”和 ①若，则_____； ②写出与的数量关系并说明理由； 【知识迁移】 （3）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为_________． ◆题型06 角的旋转问题模型 21．（1）如图1，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_____； （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； （3）如图3，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两个三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    22．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 23．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间） (1)当t＝　 　秒，射线OP平分∠AOB时； (2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间； (3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的值，若不存在，请说明理由． 24．已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． ◆题型07 角的折叠问题模型 25．如图①，若将折叠，使得边落在边上，则．    根据以上材料，回答下列问题：折叠长方形纸片，为边上一点，，均是折痕，折叠后，点落在点，点B落在点 ．    (1)如图②，当点 在 上时，则 ______； (2)如图③，当点 在 的内部时，若，，求 的度数； (3)当折痕端点、端点分别在长方形纸片边、上时，请你探究 与的数量关系，并说明理由． 26．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 27．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 28．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为________．（用含的代数式表示，结果可以不化简） ◆题型08 角的关系探究模型 29．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与，有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 30．已知是的平分线，是的平分线，射线在外部，且在下方． (1)如图（1），当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图（2），当，，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），当，，与，有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 31．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．        (1)①探究与的关系：因为，所以，即______． ②探究与的关系：因为，，所以______． (2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置： ①直接写出与的关系：______； ②探究与的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程． 32．如图1，将直角三角板中一个角的顶点O放置在直线上． (1)若按照图2摆放，使边在内部，且平分，，则______度； (2)若按照图3摆放，射线平分，写出与度数关系，并说明理由； (3)若三角板边与射线重合时（如图4），三角板在直线上绕点O逆时针旋转运动（边始终在内），，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． ◆题型09 角平分线有关计算模型 33．已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 34．O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为______． (2)如图1，，求的度数； (3)若将图1中的绕点O旋转至图2的位置，依然平分．若，求出的度数（用的代数式表示），并说明理由． 35． (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 36．同学们，数学知识的学习往往具有相通的地方，如果在学习中你能发现这种相通的地方便可以在数学学习中做到触类旁通．就像线段的中点问题能够迁移到角平分线问题中去，本质都是平分．让同类问题的解题逻辑形成连贯的知识链条，可以让我们学起来更加轻松，请大家带着这样的思考解决下列问题． 特例感知： （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若，则线段___________． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图③所示，，且，，请直接写出与之间的关系___________． ◆题型10 余角、补角计算模型 37．如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 38．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角）    (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________（用含α的式子表示）； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”，并说明理由； ②如图3，若绕点O逆时针旋转，当是的“倍补角”时，请直接写出n的取值范围_________． 39．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_____． 40．已知点O在直线上，射线在直线的同侧，作平分（与不重合）． (1)的位置如图1所示． ①若，则的度数为______； ②已知条件I：；条件Ⅱ：． 请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)如图2，若，且和互为补角，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 综合攻坚·知能拔高 41．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 42．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 43．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 44．对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点，重合时，规定．设数轴上的点表示的数是，点表示的数是． (1)若数轴上点，，，表示的数分别是，，，，则线段的中点表示的数是__________，线段，的相对离散度是__________； (2)设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度，求的值； (3)数轴上点，都在点的右侧（其中，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出所表示的数的取值范围．（参考材料：．若，则．其中，且；．如图：点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点） 45．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 46．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 47．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 48．已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)射线的位置如图1所示． ①若，求的度数； ②若，则可用含的式子表示为_____； (2)射线在如图2的位置时，仍设，则可用含的式子表示为______． 49．小明利用三角尺进行数学探究活动：如图，将三角板的直角顶点放置在直线上，平分． (1)如图，若，则________； (2)如图，若平分，求的度数； (3)小明将三角板从图的位置开始绕着点继续旋转，可得到如图所示的三种位置，若，请分别写出的度数（用含的代数式表示）． ________； ________； ________． 50．【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 51．综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组开展了一项关于角度关系的探究活动．他们利用一副直角三角尺（其中）进行实验，将直角顶点固定在一条直线的点O处，且平分．通过改变三角尺的放置方式（如图1、图2、图3），他们观察并记录了与之间的数量关系，并试图发现其中的规律． 【问题发现】 (1)如图1，若，则的度数为______； (2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图3放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 52．点为直线上一点，在直线同侧作射线，使得，过点作射线． (1)如图1，若为的平分线，当时．求______； (2)如图2．若为的平分线，另作射线，使平分，判断的度数是否为定值，如果是，求出的度数：如果不是，请说明理由； (3)若为的平分线，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $