培优03 二次函数动点压轴综合（3大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“通用解题步骤+核心题型模型”构建二次函数动点问题突破体系，通过分层典例与数学思想提炼，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称线段和最短|1例题+2变式|将军饮马对称转化，同侧点对称化异侧求交点|抛物线基础要素→动点路径分析→几何条件代数化| |面积最值|1例题+2变式|割补法/铅垂高公式，二次函数区间最值求解|图形分割→面积表达式构建→函数性质应用| |特殊图形存在性|1例题+4变式|等腰/直角/平行四边形分类讨论，方程思想验解|图形判定条件→坐标关系建模→解的合理性检验|

培优03 二次函数动点压轴综合 思维导图 知识点睛 一 通用解题步骤 1、步骤： （1）定基础：求抛物线解析式、对称轴、顶点、与坐标轴交点、定点坐标 （2）标动点：动点在哪条线上运动（抛物线、x轴、对称轴、定直线） （3）设动点坐标：在抛物线上；在水平或竖直定直线：直接固定横坐标或纵坐标（注意：自变量范围必须标注好） （4）确定几何条件：将最值问题、面积问题、特殊图形的数量关系，转化成边长、面积等数量关系 （5）列方程：根据等量关系列方程求解 （6）检验取舍：解出来的横坐标，是否在动点允许的范围之内；检验点是否满足原始几何条件（排除增根）；排除三点共线：共线无法构成三角形、四边形，直接舍去 二 核心题型模型 1、轴对称线段和最短问题： 将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。 两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。 两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。 2、面积最值问题： 三角形面积最大，作垂直。遇到多边形进行分割求解。 经典方法，割补法：整体大图形面积减去周围几个直角三角形面积。 3、特殊图形存在性问题： 等腰三角形：分三种情况进行讨论；直角三角形：勾股定理或垂直斜率乘积为-1；平行四边形：平行四边形的判定；正方形、菱形：在平行四边形的基础上，加条件证明。 题型分析 题型1：轴对称线段和最短问题 【例1】 （24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴，上的一个动点，求的最小值； 变式1-1 （23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    (1)求的值及抛物线的顶点坐标． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 变式1-2 （25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 题型2：面积最值问题 【例2】 （25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)填空用含的代数式表示： (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1 （25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2 （2025·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 题型3：特殊图形存在性问题 【例3】 （24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 变式3-1 （2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式3-2 （24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3 （2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 变式3-4 （25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 归纳总结 一、重点 1.掌握三大高频必考模型 轴对称线段和最短：两点之间线段最短，同侧点作对称点转化为异侧；熟练求对称点坐标，联立直线解析式，求交点坐标，两点间距离公式算最短长度。 面积最值：善用铅垂高×水平宽公式，复杂求解用割补法，整体减周边三角形面积。 特殊图形存在性：等腰三角形：分三类讨论，距离公式列式；直角三角形：分三个顶点分别为直角顶点，勾股定理列式；平行四边形：中点坐标公式，对角线中点重合，三种对角线配对分类。；进阶图形：菱形（平行四边形＋邻边相等）；矩形（平行四边形＋垂直）；正方形双重条件。 2.解的实际意义检验 明确自变量范围进行取舍，超出题意范围、不符合现实的增根。 二、难点 1.复杂题干的分析 面对动点过多，是现做轴对称还是平移，多段线段长求折线时分段困难。 2.几何图形动态面积建模 割补法的割补路径选择，对特殊图形的相关判定的区分。 3.多解的取舍判断 二次函数利用一元二次方程求解，学生难以精准根据题干判断根的有效性。 4.分类讨论 对于复杂图形，分段不清，导致分类讨论不完全出现漏解。 三、易错点 1.未提前确定动点自变量取值范围，算出结果不核对区间，把超出运动范围的解直接保留。 2.未提前确定动点自变量取值范围，算出结果不核对区间，把超出运动范围的解直接保留。 3.求最值时，直接默认二次函数顶点就是最值，忽略顶点不在取值区间，忘记比较区间端点数值。最值问题算出最大/最小面积，忘记回代求动点坐标。 4.条件存在多种位置、多种情况，没有完整分类，只计算其中一种，造成漏解。 5.线段长度计算直接用坐标相减，不加绝对值，正负符号出错。 6.二次函数解析式抄写、代入动点坐标时代入错误，合并同类项等化简过程出现计算错误。 四、数学思想 1.数形结合思想：把函数解析式（代数）和图像、点、线段、角度、图形（几何）互相转化。 2.分类讨论思想：没有唯一确定位置时必须分类，先定所有可能类别，逐类列式求解，不能主观只算一种。 3.转化（化归）思想：折线段最短转化两点之间直线（对称变换转化路径），复杂四边形问题拆成三角形；陌生模型转化为熟悉基础模型。 4.方程思想：把等量关系转化一元二次方程，解方程求动点坐标；存在性问题本质就是列方程，看方程有没有符合条件的解。 5.函数思想：把线段长、面积等变量写成二次函数，利用二次函数顶点、区间端点求最值。 6.极限与范围意识：本质是自变量取值范围约束，求出方程的解、二次函数顶点之后，必须对照动点活动范围，不在取值区间内的解舍去；最值不一定在顶点，区间端点同样可取最值。 7.检验思想：方程有解≠符合题意，需要回代检验，剔除增根。 同步测评 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（黑龙江省佳木斯市桦南县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题）如图，已知抛物线 与x轴交于点A和，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点 P，使 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点B的坐标为． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． (3)连接、，在抛物线上存在点D，使的面积等于的面积．请直接写出所有符合条件的点D坐标． 4．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 12．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 二次函数动点压轴综合 思维导图 知识点睛 一 通用解题步骤 1、步骤： （1）定基础：求抛物线解析式、对称轴、顶点、与坐标轴交点、定点坐标 （2）标动点：动点在哪条线上运动（抛物线、x轴、对称轴、定直线） （3）设动点坐标：在抛物线上；在水平或竖直定直线：直接固定横坐标或纵坐标（注意：自变量范围必须标注好） （4）确定几何条件：将最值问题、面积问题、特殊图形的数量关系，转化成边长、面积等数量关系 （5）列方程：根据等量关系列方程求解 （6）检验取舍：解出来的横坐标，是否在动点允许的范围之内；检验点是否满足原始几何条件（排除增根）；排除三点共线：共线无法构成三角形、四边形，直接舍去 二 核心题型模型 1、轴对称线段和最短问题： 将军饮马问题，做对称点，两点之间线段最短，求交点。 两定一动：两点在直线同侧，作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个定点，线段长即为最短距离，交点是取等时点。 两动一定、两动两定：双动点，往往需要两次对称。 2、面积最值问题： 三角形面积最大，作垂直。遇到多边形进行分割求解。 经典方法，割补法：整体大图形面积减去周围几个直角三角形面积。 3、特殊图形存在性问题： 等腰三角形：分三种情况进行讨论；直角三角形：勾股定理或垂直斜率乘积为-1；平行四边形：平行四边形的判定；正方形、菱形：在平行四边形的基础上，加条件证明。 题型分析 题型1：轴对称线段和最短问题 【例1】 （24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴，上的一个动点，求的最小值； 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次函数的综合，求二次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，勾股定理等，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点的坐标的代入关系式求出的值，可得答案； （2）分别求出点，点的坐标，再判断的最小值，然后根据勾股定理求出答案； 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得：，故抛物线的表达式为； （2）解：由，令，则， ∴点的坐标为． 令，则，解得：， ∴点的坐标为， ， 连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， ∵关于抛物线的对称轴对称， ， ， 在中，， ∴的最小值为． 变式1-1 （23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    (1)求的值及抛物线的顶点坐标． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，;(2) 【分析】（1）将点 ，代入 ，得其解析式，从而求出 的值及抛物线的顶点坐标； （2）利用“将军饮马"思路，点 关于抛物线对称轴 对称的点是点 ， 进而解决问题； 【详解】（1）将点代入得，，， ∴抛物线解析式为 ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）如下图，点与点是关于直线成轴对称，根据其性质有，，    当点、点、点共线时，为最小值，即为的最小值， 由抛物线解析式为，可得点坐标为，点坐标为，对称轴为， 设直线的解释为， 将点，点，代入得，，解得， ∴直线的解析式为，联立方程， ，解得 ∴当的值最小时，点的坐标为． 变式1-2 （25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 题型2：面积最值问题 【例2】 （25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)填空用含的代数式表示： (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，P的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与面积： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得：， ． （2）解：，令，则， 解得，， ，， ，， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ， ， 有最大值， 当时，S有最大值，此时点P的坐标为． 变式2-1 （25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)对称轴为直线、顶点坐标为 (3)存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 变式2-2 （2025·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 【答案】(1)；；(2)；(3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围； （）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，解得； （2）解：由（）知， ∴抛物线， 当时，；当时，， ∵点的坐标是，∴的取值范围是； （3）解：由（）知，点的坐标为， 联立得， ∴，解得，， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点， ∴点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点， 则，，，，， ∴ ， ∴当时，最小， ∴的值为． 题型3：特殊图形存在性问题 【例3】 （24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1)；(2)点P的坐标为；(3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 变式3-1 （2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，；(2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得4， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 变式3-2 （24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，取最大值，点P的坐标为；(3)存在，点P坐标为或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得，解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得，解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或． 变式3-3 （2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为；(2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴，则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 变式3-4 （25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)有最大值为，；(4) 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，即可求解此时点坐标； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得，解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，由（2）知 直线的解析式为，    设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴ （4）解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形为正方形， 依题意，知D与F重合，点的坐标为；    ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形， ∵， ∴点的坐标为；    ③延长到使，作于点，则四边形是正方形，    ∵点的坐标为，即，且为中点， ∴的坐标为； ④取的中点，的中点，则为正方形， ∵， ∴的坐标为，    综上所述，点N的坐标为： 归纳总结 一、重点 1.掌握三大高频必考模型 轴对称线段和最短：两点之间线段最短，同侧点作对称点转化为异侧；熟练求对称点坐标，联立直线解析式，求交点坐标，两点间距离公式算最短长度。 面积最值：善用铅垂高×水平宽公式，复杂求解用割补法，整体减周边三角形面积。 特殊图形存在性：等腰三角形：分三类讨论，距离公式列式；直角三角形：分三个顶点分别为直角顶点，勾股定理列式；平行四边形：中点坐标公式，对角线中点重合，三种对角线配对分类。；进阶图形：菱形（平行四边形＋邻边相等）；矩形（平行四边形＋垂直）；正方形双重条件。 2.解的实际意义检验 明确自变量范围进行取舍，超出题意范围、不符合现实的增根。 二、难点 1.复杂题干的分析 面对动点过多，是现做轴对称还是平移，多段线段长求折线时分段困难。 2.几何图形动态面积建模 割补法的割补路径选择，对特殊图形的相关判定的区分。 3.多解的取舍判断 二次函数利用一元二次方程求解，学生难以精准根据题干判断根的有效性。 4.分类讨论 对于复杂图形，分段不清，导致分类讨论不完全出现漏解。 三、易错点 1.未提前确定动点自变量取值范围，算出结果不核对区间，把超出运动范围的解直接保留。 2.未提前确定动点自变量取值范围，算出结果不核对区间，把超出运动范围的解直接保留。 3.求最值时，直接默认二次函数顶点就是最值，忽略顶点不在取值区间，忘记比较区间端点数值。最值问题算出最大/最小面积，忘记回代求动点坐标。 4.条件存在多种位置、多种情况，没有完整分类，只计算其中一种，造成漏解。 5.线段长度计算直接用坐标相减，不加绝对值，正负符号出错。 6.二次函数解析式抄写、代入动点坐标时代入错误，合并同类项等化简过程出现计算错误。 四、数学思想 1.数形结合思想：把函数解析式（代数）和图像、点、线段、角度、图形（几何）互相转化。 2.分类讨论思想：没有唯一确定位置时必须分类，先定所有可能类别，逐类列式求解，不能主观只算一种。 3.转化（化归）思想：折线段最短转化两点之间直线（对称变换转化路径），复杂四边形问题拆成三角形；陌生模型转化为熟悉基础模型。 4.方程思想：把等量关系转化一元二次方程，解方程求动点坐标；存在性问题本质就是列方程，看方程有没有符合条件的解。 5.函数思想：把线段长、面积等变量写成二次函数，利用二次函数顶点、区间端点求最值。 6.极限与范围意识：本质是自变量取值范围约束，求出方程的解、二次函数顶点之后，必须对照动点活动范围，不在取值区间内的解舍去；最值不一定在顶点，区间端点同样可取最值。 7.检验思想：方程有解≠符合题意，需要回代检验，剔除增根。 同步测评 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则；令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，，解得：， ， 当为对角线时，则，解得：， ， 当为对角线时，则，解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 2．（黑龙江省佳木斯市桦南县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题）如图，已知抛物线 与x轴交于点A和，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点 P，使 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，点 P 的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再分点P在下方和点P在上方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴ ，∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， 如图所示，当点P在下方时，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴方程无实数根， ∴此种情况不成立； 如图所示，当点P在上方时，连接， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴； 综上所述，点P的坐标为． 3．（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点B的坐标为． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． (3)连接、，在抛物线上存在点D，使的面积等于的面积．请直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为；(2)；(3)或或或 【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）设点D的坐标为，根据，得，求解得到x值，从而求得y，即可得点D坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； （3）解：如图， 设点D的坐标为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴解得：，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点D坐标为或或或． 4．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，取最大值，点P的坐标为；(3)存在，P坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得，解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得，解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：①若为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； ②若为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴，解得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）设，根据列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点， ∴设二次函数为， ∵经过， ，解得，， ∴二次函数； （2）解：设直线的解析式为， 把和代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； 由一次函数可知， 设， ， ， ， 或11， 或． 6．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 7．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)，；(2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 8．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)；(2)当 时， 有最大值为 ；(3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ，∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线；(2)；(3)或；(4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ，， ，     令，． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴，解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ，解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ，解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，    解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：，解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ，点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在；；(3)13.5；(4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 11．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)存在，；(3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 12．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点M的坐标为；(3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，得， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴，解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为，顶点为D， ∴点D的坐标为， 分两种情况讨论： ①当为菱形的边时， 如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②当为菱形的对角线时， 如图3， 设点，， ∵， ， 解得： ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 13．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)四边形面积的最大值为，P的坐标是；(3)Q的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）设，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，连接，设，根据四边形面积列出二次函数表达式，再根据二次函数性质求出最值及坐标即可； （3）设，有，分三种情况：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，分别列方程解得t的值，即可求出相应Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， 设，把代入得： ，解得：， ∴， 则抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图： 设， 在中，令得， 令得：，解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积， ， ， ∴当时，四边形面积最大为， ∴当时，， ∴P的坐标是； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线的对称轴为直线，设， ∵， ∴， 当为斜边时，， ∴， 解得或， ∴此时Q坐标为或； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 当为斜边时，， ∴，解得， ∴此时Q坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或． 14．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)的面积的最大值为；(3)点的坐标为或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，过点作轴，交直线于点，利用铅锤法，得出点与点的坐标表达式，得出的长度表达式，即可推断出的面积的最大所对应的情况； （3）根据题意要求，得出当时，满足要求，故进行分类讨论，得出的表达式，再得出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 令点坐标为， 过点作轴，交直线于点，如下图所示： 可得点的坐标为， ∴， ∴， 即求的最大值，得， ∵ ∴的最大值为． （3）解：∵，若以为顶点的四边形是平行四边形， 则满足即可， ∵抛物线的解析式为， ∴点， 当时，， ∴点， ∴， 令点坐标为，同理可得点坐标为， 当点在点下方时，即，得， ∵， ∴， 化简得，解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； 当点在点上方时，即或， 得， ∴， 化简得，解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 15．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)存在，最大值是，；(3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $