专题05 二次函数的存在性问题10大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形存在性的综合应用，通过10类细分题型系统覆盖三角形、四边形等存在性问题，以题载法构建数形结合的解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|10类28题，如直角三角形存在性（第1题）|针对三角形（直角/等腰/相似）、四边形（平行四边形/矩形/菱形/正方形）及特殊角度、面积最值的存在性，结合坐标与方程求解|以二次函数解析式为基础，将几何图形性质转化为代数条件（如距离公式、斜率关系），体现分类讨论与方程思想，培养几何直观与推理能力| |综合攻坚|15道综合题，如跨图形存在性（第1题）|融合多类图形存在性与动态问题，强化参数运算与综合论证|深化二次函数与几何知识的内在联系，通过复杂情境提升数学抽象与模型意识，对接中考压轴题命题趋势|

专题05 二次函数的存在性问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的存在性问题 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的存在性问题 ◆题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 3．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ◆题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 6．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． ◆题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 7．定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围． (3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． ②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线下方的抛物线上有一动点P，直线上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标． (4)点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标． ◆题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 10．如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； (3)抛物线上是否存在点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． ◆题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，直线与y轴交于点．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作轴，交直线于点D，过点P作于点E． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)若四边形为平行四边形，求点P的坐标． (3)求点E横坐标的最大值． ◆题型六、二次函数中矩形的存在性问题 16．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 17．如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 18．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． ◆题型七、二次函数中菱形的存在性问题 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且． （1）求的值； （2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． (1)求抛物线的解析式以及点D的坐标． (2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． (3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． ◆题型八、二次函数中正方形的存在性问题 22．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． ◆题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 26．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 28．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 29．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 2．如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.    3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________． 4．我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为． （1）直接写出函数图象上的“行知点”是__________； （2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为__________． 5．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 8．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 11．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 14．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数的存在性问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的存在性问题 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的存在性问题 ◆题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 2．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)4； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解； （2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证； （3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P． ∵平行于x轴，的图象关于y轴对称， ∴    ∵是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴点B的坐标为． ∵点B在抛物线上， ∴． ∵， ∴． （2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．    联立 解得 ∴点C的坐标为，点D的坐标为 将代入，解得，(舍去)． ∴点E的坐标为 ∴，， ，． 证法一：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是直角三角形． 证法二：在中，根据勾股定理，得 ． 同理可得 ． ∴． ∵ ∴． ∴是直角三角形． （3）解：点K的坐标为，或． 将抛物线向左平移h个单位得到抛物线． 设平移后得到， 如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．      联立 解得    ∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)． 设的坐标为(，)，． ∴． 易证． ∴． 即． ∴． ∵， ∴． ∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为． 解方程，得． ∴点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质． 3．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． ◆题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形，，或， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或，或， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）设，，由，则，求出即可求，； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得．，或，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得，或，；③当时，可得，或，． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴，或，； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴， ∴，或，， 即满足条件的点，或，或，； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得或， ∴，或，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得， ∴，或，； ③当时，， 解得或， ∴，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N的坐标为或或或或；（3）存在，点或；（4）不存在，理由如下 【详解】（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：由题意可设，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点； ②当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； ③当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形，点N的坐标为或或或或 （3）解：存在，理由如下： 过点P作PQ⊥AD于点Q，如图所示： ∵是以AD为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴由中点坐标公式可得， 由直线AD的解析式可知， ∵PQ⊥AD， ∴，解得：， 设直线PQ的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线PQ的解析式为， 联立直线PQ与抛物线的解析式可得：，化简得：， 解得：， ∴点或 （4）解：不存在，理由如下： ∵是等边三角形，， ∴， 过点Q作QG⊥y轴于点G，如图所示： ∴， ∴在Rt△OGQ中，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴， 经验证Q点不在二次函数上， 则不存在Q. 6．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． ◆题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 7．定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围． (3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． ②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有三个交点 【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为； 求出时或，由图可得的取值范围是； 求出当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； 由知，当时，，重合，分种情况：当时，当时，当时，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， 由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是； （3）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为， 当，即时，与重合； 当，即时，， 此时随的增大而减小，符合题意； 当，即时，， 此时随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是； 由知，当时，，重合， 当时，在的左侧，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个； ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，在的右侧，如图： 由图可知，此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 当时，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 综上所述，当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线下方的抛物线上有一动点P，直线上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标． (4)点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，对称轴为：直线，顶点坐标为： (2)存在，点M坐标为 (3)点Q坐标为或或 (4)点P的坐标或 【分析】（1）先根据题意得出，，运用待定系数法求出函数解析式，再配方即可求解． （2）设M点坐标为，则，，，分为①当为斜边时；②当为斜边时；③当为斜边时；分别列方程求解即可． （3）分为①当时，②当时，③当时，分别画图求解即可． （4）分为①点P在y轴右侧的抛物线上时，②点P在y轴左侧的抛物线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：． （2）解：如图，设M点坐标为， ∵点A坐标为，点D坐标为， 则：， ， ， ①若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：，， 故当M坐标时，是等腰直角三角形； ②若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：， 故不存在M坐标使是以为斜边的等腰直角三角形； ③若是等腰直角三角形，当为斜边时，则：， 即：，解得：， 此时：， 故不存在M坐标使是以为斜边的等腰直角三角形； 综上所述：点M坐标为． （3）解：∵点A坐标为，点C坐标为， 设直线解析式为：，则，解得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， 以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况， ①当时，则， 如图： ∴， ∴轴， ∴时，， 解得：，， ∴P点为， ∴， ∴点Q坐标为． ②当时，则，， 如图： ∴轴， 由I可知，P点为， ∴， 过Q点作垂直， ∴， ∴点Q坐标为． ③当时， 如图：当点Q在第三象限时，则， ∴轴，， 过点作， ∵， 则， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 如图：当点Q在第四象限时，， ∴轴，点Q和点P关于轴对称， 设，则， 将代入得， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述：点Q坐标为或或． （4）解：①点P在y轴右侧的抛物线上时，如图： 以等腰构造K字形，过P点作轴，垂足为H，过Q点作，垂足为G， 则， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则P点坐标为， ∵P在抛物线上，即， 解得：，(不合题意舍去)， 此时点P坐标为． ②点P在y轴左侧的抛物线上时，如图： 以等腰构造K字形，过P点作轴，垂足为H，过Q点作，垂足为G， 则， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，其中，则P点坐标为， ∵P在抛物线上，即， 解得：(不合题意舍去)，， 故此时P坐标为， 综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、解一元二次方程、矩形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． ◆题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 10．如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； (3)抛物线上是否存在点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点D的坐标为或 【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出a，即可求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，可将分别代入和得，，从而得出的代数式，从而可求出m的值，这里分成和，分别以为底，高的和为； （3）当点D在x轴的下方时，，设交y轴于点T．利用相似三角形的性质求出点T的坐标，再求出直线的解析式，构建方程组确定点D的坐标．当点D在x轴的上方时，同法可求． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入得， 故抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，点在直线上方， 如图，过点P作x轴的垂线交于Q，则，， ， ，， 当时，的值最大为，此时最大， 当时，的面积最大； （3）解：如图，当点D在x轴的下方时，，设交y轴于点T， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 当点D在的上方时，由对称性可得， 设直线的解析式为，代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ， 综上所述，满足条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，勾股定理，轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 11．如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 12．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． ◆题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 14．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出此时点P的坐标即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，直线与y轴交于点．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作轴，交直线于点D，过点P作于点E． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)若四边形为平行四边形，求点P的坐标． (3)求点E横坐标的最大值． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线所对应的函数表达式，设点，利用平行四边形的性质列式计算即可求解； （3）设点E的横坐标为n，过点E作于点F，用表示出n的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点， ∴， 解得：， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为：，点，点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为：； ∵点P在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：，， ∵点P不与点B重合， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 设点E的横坐标为n，如图，过点E作于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，n最大，且n的最大值为． ◆题型六、二次函数中矩形的存在性问题 16．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 17．如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的最值问题、矩形的性质以及函数交点与中点问题，熟练运用二次函数的性质、矩形的相关性质及分类讨论思想是解答本题的关键． 18．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． ◆题型七、二次函数中菱形的存在性问题 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且． （1）求的值； （2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形． 【分析】（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； （3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形． 【详解】解:（1）抛物线经过点 又由题意可知，是方程的两个根， ， 由已知得 又 解得， 当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去． ； （2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上， 又 拋物线的顶点即为所求的点； （3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为 根据菱形的性质， 点必是直线与抛物线的交点， 当时， 在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形． 四边形不能成为正方形， 因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上. 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法． 20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝12． (1)求抛物线的解析式以及点D的坐标． (2)联结BD，F为抛物线上一点，当∠FAB＝∠ACO时，求点F的坐标． (3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长． 【答案】(1)y＝x2﹣5x﹣12，点D的坐标为（5，﹣） (2)点F的坐标为（，）或（，﹣） (3)菱形对角线MN的长为或 【分析】（1）先求得B、C的坐标，然后运用待定系数法可求得函数解析式，进而求得顶点D的坐标； （2）过F作FG⊥x轴于点G，设出F点坐标，再证△FAG∽△ACO，然后由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，进而求得F点的坐标； （3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长． 【详解】（1）解：∵OB＝OC＝12， ∴B（12，0），C（0，﹣12）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣12， ∵y＝x2﹣5x﹣12＝（x﹣5）2﹣， ∴点D的坐标为（5，﹣）． （2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，x2﹣5x﹣12），则FG＝|x2﹣5x﹣12|， 在y＝x2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2，则AG＝x+2， ∵C（0，﹣12）， ∴OC＝12， 当∠FAB＝∠ACO时， ∵∠FGA＝∠AOC＝90°， ∴△FAG∽△ACO， ∴，即， ∴＝＝， 当点F在x轴上方时，则有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，）； 当点F在x轴下方时，则有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此进F点坐标为（，﹣）； 综上可知，点F的坐标为（，）或（，﹣）． （3）解：∵点P在x轴上， ∴由菱形的对称性可知P（5，0）， 如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点， ∵PQ＝MN， ∴MT＝PT， 设PT＝n，则MT＝n， ∴M（5+n，n）， ∵M在抛物线上， ∴n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n＝； 当MN在x轴下方时，同理可设PT＝n，则M（5+n，﹣n）， ∴﹣n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去）， ∴MN＝2MT＝3n＝； 综上可知，菱形对角线MN的长为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合，主要考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． ◆题型八、二次函数中正方形的存在性问题 22．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或或 【分析】（）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为， 即得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分点在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线的解析式，再利用正方形的性质求出点坐标即可； （）过点作于，表示出的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点关于轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为轴， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系表达式为； （2）解：①当点在第一象限时，如图， 令，得，     解得，，     ∴点的坐标为，     设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设正方形的边长为，则， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在第二象限时， 同理可得点的坐标为，此时点不在线段上，故舍去； 综上所述，点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，如图，则，， ∵点和点重合时停止运动， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，存在的值为或或，使是等腰三角形． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值； ②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题． 【详解】（1）∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. （2）①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴. ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴. ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． （2）解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． ◆题型九、二次函数中相似三角形的存在性问题 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当最大时，点坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 26．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、， (2)存在，点的坐标为 或 或 【分析】（1）抛物线，令，可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式，令，即可解决问题； （2）证明，由与的相似比为得，设，则，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线，令得， ， 解得，， 、， 将代入直线：得 ， ， 直线：， 令，得， 点； （2）解：如图， 轴， 轴， ， 轴，轴， ， ， ， 与的相似比为：， ， 设 ，则 ， ， 解得或， 存在，点的坐标为 或 或． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． ◆题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 28．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 29．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 2．如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.    【答案】4 【分析】根据的面积都等于的面积的一半，可知，分类讨论，①如图所示，当点在直线的下方；②如图所示，当点在直线的上方，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵点在的图像上，的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，则， ∴的坐标为， ∴， ∴． 点在函数的图像上，设， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ①如图所示，当点在直线的下方，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，    ∵，， ∴，，， ∴，，，，，， ∵， ∴，整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线下方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； ②如图所示，当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，，      同理，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线上方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； 综上所述，函数的图像上存在点，使的面积等于的面积的一半，这样的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图像上的坐标特征，几何图形的面积的计算方法，运用数形结合思想和分类讨论是解题的关键． 3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 ________________． 【答案】﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4 【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，设出P点坐标，由P在x轴下方得到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P， ∴点P坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a）， ∵点P在x轴下方， ∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0， ①当a＞1时，则1＜t＜a， ∵t仅有两个整数， ∴3＜a≤4； ②当a＜1时，则a＜t＜1， 又∵t仅有两个整数， ∴﹣2≤a＜﹣1． 综上所述，实数a的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式．解题的关键在于找出不等关系． 4．我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为． （1）直接写出函数图象上的“行知点”是__________； （2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键． （1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可； （2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴函数图象上的“行知点”是或； 故答案为：或． （2）∵二次函数的图象上只有一个“行知点”， ∴方程有两个相等的实数根，且， 整理得：， ∴， 解得：， 综上：a的值为． 故答案为：． 5．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到，求出点B坐标，可得，则，然后设，利用三角形面积公式求出或，然后可得点的坐标； （3）过点作轴于点，根据得到，然后根据可知，推出，进而即可求解； （4）求出抛物线的对称轴为，设，然后利用勾股定理构建方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 过点作轴于点，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴； （4）存在，点M的坐标为或； ∵抛物线的对称轴为， ∴设， ∵，，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 7．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  8．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 9．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． （1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）根据点的坐标利用两点之间的距离公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式， ∴抛物线的顶点为； （2）存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似；理由如下： ∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形，． （Ⅰ）如图2，若，则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ∴． （Ⅱ）如图3，若， 则， 即 整理，得， 解得，（舍去）． ∴ 故符合条件的点的坐标为或 10．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 11．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 12．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 14．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 15．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $