专题43 一次函数与方程（组）、不等式（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题43 一次函数与方程（组）、不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与二元一次方程 题型03 两直线的交点与方程组的解 题型04 一次函数与一元一次不等式 题型05 根据两直线的交点求不等式的解集 题型06 求直线围成的图形面积 题型07 一次函数与方程组无解问题 题型08 一次函数与一元一次不等式组 ▌题型01 一次函数与一元一次方程 1. 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数：y＝kx+b（k≠0），一元一次方程：kx+b＝0（k≠0），当函数值y＝0时，一次函数就变成一元一次方程。 2. 常见结论 （1）方程kx+b＝0的解，就是直线y＝kx+b与x轴交点的横坐标。直线与x轴交点：，方程解：。 （2）从图像看：找直线和x轴交点，交点横坐标就是方程的解。 （3）求kx+b＝m的解，等价于求当时，直线上对应点的横坐标。 几何意义：直线y＝kx+b与水平线交点的横坐标。 3. 解题步骤 （1）方程kx+b＝0：找直线y＝kx+b与x轴交点，横坐标即为解； （2）方程kx+b＝m：找直线y＝kx+b与水平线交点横坐标； （3）方程：找两条直线交点横坐标； （4）代数方法：直接移项解方程，验证图像结果。 【典例1】（2026•白银区校级三模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若A（﹣2，0），B（0，1），则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故选：C． 【变式1-1】（2026春•西城区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程kx＝﹣b的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 A．x＝1 B．x＝0 C．y＝0 D．y＝1 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数y＝kx+b的函数值为0，再从表格中找到y＝0时对应的x的值，即可得到方程的解． 【解答】解：方程可变形为kx+b＝0， 从表格可知：方程kx＝﹣b的解为x＝1． 故选：A． 【变式1-2】（2026•陕西模拟）已知直线y＝kx+3（k为常数，且k≠0）经过点（1，9），则关于x的方程kx+3＝0的解是（　　） A．x＝9 B． C．x＝3 D． 【分析】先将点（1，9）代入直线y＝kx+3求出k的值，再代入方程kx+3＝0求解即可． 【解答】解：由条件可得k+3＝9， 解得k＝6， 将k＝6代入方程kx+3＝0得： 6x+3＝0， 解得， 因此，方程kx+3＝0的解为：． 故选：D． 【变式1-3】（2026春•北辰区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程nx﹣mx＝b的解为（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣1 D．x＝1 【分析】先对方程变形，nx﹣mx＝b整理得nx＝mx+b；方程nx＝mx+b的解，就是直线y＝nx与直线y＝mx+b交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【解答】解：原方程移项变形得：nx＝mx+b， 方程nx＝mx+b的几何意义：正比例函数y＝nx与一次函数y＝mx+b的函数值相等． 由图象可知，直线y＝nx和y＝mx+b的交点坐标为（3，﹣1），交点横坐标为3． 因此方程nx﹣mx＝b的解为x＝3． 故选：B． ▌题型02 一次函数与二元一次方程 任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数解析式，对应一条直线；直线上每一个点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二元一次方程一般形式：(、不全为0)， 变形为用表示：，这就是一次函数，图像是一条直线。 【典例1】（2026春•营口期末）已知二元一次方程x﹣y＝3，列举方程的解如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m ﹣3 ﹣2 ﹣1 n 1 … 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． （1）表格中的m＝　﹣4　 ，n＝　0　 ； （2）以表格中方程每个解x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在下方坐标系中画出对应的点，观察这些点的位置，并过这些点中任意两点作直线，猜想二元一次方程x﹣y＝3的图象是什么几何图形； （3）点P（a，b）是二元一次方程x﹣y＝3的图象上的一个点，且点P在第四象限，求出a的取值范围； （4）已知二元一次方程cx﹣y＝﹣1（c为常数），图象如图所示，观察两个图象可知二元一次方程组的解为　　 ． 【分析】（1）将x＝﹣1，x＝3代入x﹣y＝3，即可求解； （2）先找出点，再连成直线即可； （3）观察图象即可得a的取值范围； （4）根据交点坐标即可得二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，﹣1﹣y＝3， ∴y＝﹣4，即m＝﹣4， 当x＝3时，3﹣y＝3， ∴y＝0，即n＝0， 故答案为：﹣4，0． （2）如图， 二元一次方程x﹣y＝3的图象是直线； （3）由图象可得，点P在第四象限时，a的取值范围为0＜a＜3． （4）由图象可得，两个图象的交点为（1，﹣2）， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式1-1】（2026春•海淀区校级期中）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 步骤2：描点 步骤3：连线 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如表： x ﹣1 0 2 y 6 5 2 （1）①补全表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ 　3　 ． 【分析】（1）①利用方程x+y＝4计算y＝6所对应的x的值，然后计算x＝0所对应的y的值； ②利用表中的对应值作为点的横纵坐标描点即可； （2）利用两方程的图象的交点坐标满足两方程，把（﹣1，5）代入kx+y＝2中可求出k的值． 【解答】解：（1）①y＝6时，x+6＝4， 解得x＝﹣2； 当x＝0时，0+y＝4， 解得y＝4． 故答案为：﹣2，4； ②如图， （2）把（﹣1，5）代入kx+y＝2得﹣k+5＝2， 解得k＝3． 故答案为：3． 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期中）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 步骤2：描点 步骤3：连线 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x ﹣1 0 2 y 6 5 2 （1）①补全上表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝　3　 ． 【分析】（1）①根据二元一次方程x+y＝4的解填表即可； ②根据①表格中二元一次方程的解，在平面直角坐标系中描点、连线画图即可； （2）由题意可知，x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解，即可求出k的值． 【解答】解：（1）①关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x ﹣2 ﹣1 0 2 y 6 5 4 2 ②二元一次方程x+y＝4的图象如图： （2）两方程图象交于点（﹣1，5）， ∴x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解， ∴﹣k+5＝2， 解得：k＝3； 故答案为：3． 【变式1-3】（2026春•郊区期末）阅读与思考 数形结合是数学的一个重要的思想方法，我们常用数形结合的方法探究学习新知识．在《二元一次方程》的学习过程中．小凯发现二元一次方程有无数个解，也就是有无数多对数值满足这个二元一次方程，于是他借助平面直角坐标系开展了如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对x，y的值都是方程x+y＝3的解． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 4 3 2 1 0 ﹣1 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标．例如：x＝﹣2，y＝5即点坐标（﹣2，5）．在平面直角坐标系中依次抽出所对应的点． 步骤3：按照x的取值从小到大的顺序，将这些点连起来．发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程x+y＝3的一个解，如直线上一个点（2.5，0.5）则x＝2.5，y＝0.5也是方程x+y＝3的一个解． 小凯通过查阅资料发现如下定义：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．据此他所画的这条直线叫作二元一次方程x+y＝3的图象． 请根据小凯同学探究过程中的信息解答下列问题： （1）在步骤2的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝0的图象，并根据所画的图象得出方程组的解为　　 ． （2）若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程x+y＝18和二元一次方程2x﹣y＝0的图象，Q为这两条直线的交点，求Q点坐标． 【分析】（1）画出二元一次方程2x﹣y＝0的图象，根据两个图象的交点求解即可． （2）利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为点Q的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，列表如下： x ．．．． ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 ．．． 画图象如下： 根据题意，得图象的交点为（1，2）， 故方程组的解为； 故答案为：； （2）若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程x+y＝18和二元一次方程2x﹣y＝0的图象， 根据题意，得方程组， 由①+②得：3x＝18， 解得：x＝6， 把x＝6代入①得：6+y＝18， 解得y＝12． 则方程组的解为． 故Q（6，12）． ▌题型03 两直线的交点与方程组的解 1. 两条直线交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。 设两条直线： l1： l2： 联立得到方程组 方程组的解，几何意义就是两直线交点。 2. 代数法求交点：联立两个函数解析式，解二元一次方程组；得到的、就是交点坐标。 3. 图像法：观察图像，读出交点坐标，直接作为方程组的解。 【典例1】（2025秋•沙坪坝区校级期末）若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线的交点坐标为　（﹣2，3）　 ． 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴直线l1：y＝x+5与直线的交点坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 【变式1-1】（2025秋•林甸县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】将P（﹣2，n）代入，即可求出n的值，即可求解． 【解答】解：关于x，y的方程组的解是一次函数的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标， 将P（﹣2，n）代入得：， 即方程组的解为：， 故选：A． 【变式1-2】（2026•浦北县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n相交于点A（2，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n相交于点A（2，1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选：A． 【变式1-3】（2026•铁岭模拟）已知直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣3x+5交于点A（a，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】把A（a，﹣1）代入y＝﹣3x+5得：得到A（2，1），于是得到结论． 【解答】解：把A（a，﹣1）代入y＝﹣3x+5得： ﹣1＝﹣3a+5， 解得a＝2， ∴A（2，1）， ∴的解为， 故选：A． ▌题型04 一次函数与一元一次不等式 1. 不等式（或）的解集，对应直线在轴上方（下方）部分自变量的取值范围。 2. 常见结论 （1）：直线在轴上方，取交点横坐标一侧的； ：直线在轴下方，取交点横坐标另一侧的； （2）看判断方向： 递增：交点右侧，左侧； 递减：交点左侧，右侧。 【典例1】（2026•宿迁）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【分析】由图象可知当x＞﹣3时，y＞0，可知不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3． 【解答】解：由函数图象可知，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标 为（﹣3，0）， ∴当x＞﹣3时，y＞0， ∴不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3． 故选：C． 【变式1-1】（2026•香洲区校级模拟）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【分析】根据题目中的函数图象，当kx+b≥0时，函数的图象在x轴的上方，再写出对应x的取值范围即可． 【解答】解：由一次函数的图象可知， 当kx+b≥0时，x≤2， 故选：C． 【变式1-2】（2026•黔南州模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，3），那么不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2 D．x＜3 【分析】结合函数图象，不等式kx+b＞0的解集就是直线y＝kx+b在x轴上方部分对应的横坐标的取值范围． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣2，0）， ∴当x＞﹣2时，函数图象在x轴上方，此时y＞0， ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2． 故选：A． 【变式1-3】（2026•太原一模）已知不等式kx+b＞0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由不等式可得kx＞﹣b，进而由不等式的解集x＜2可得k＜0，b＞0，即得到一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，据此即可求解． 【解答】解：由条件可得kx＞﹣b，k＜0，b＞0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限， 故选：D． ▌题型05 根据两直线的交点求不等式的解集 两个函数比较大小，对应图像上下位置。 ，解集：交点横坐标一侧，图像在上的范围； ，解集：交点横坐标一侧，图像在下的范围； 口诀：交点为界，上大下小，解集看。 【典例1】（2026•石家庄二模）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集为（　　） A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2 【分析】先将y＝2代入关系式y＝2x求出x，从交点向左一次函数y＝kx+b的图象在一次函数y＝2x的图象上方，即可得出不等式的解集． 【解答】解：当x＝1时，两个函数值相等， ∴当x＜1时，kx+b＞2x． 故选：B． 【变式1-1】（2026•公主岭市模拟）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为﹣1，即可得到当y1＜y2时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣1， 故选：A． 【变式1-2】（2026春•赛罕区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象以及点A坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组，得， 所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴△ABC的面积6×3＝9； （3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1． 【变式1-3】（2025秋•双流区校级期末）如图，直线l1：y1＝﹣3x+3与x轴交于点D，与经过点A（4，0）、点的直线l2：y2＝kx+b交于点C． （1）求直线l2的表达式； （2）求△DBC的面积； （3）根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）用三角形ACD的面积减去三角形ABD的面积即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入y2＝kx+b得， ， 解得， 所以直线l2的表达式为y2x﹣6； （2）连接BD， 由x﹣6＝﹣3x+3得，x＝2， 则﹣3x+3＝﹣3， 所以点C坐标为（2，﹣3）． 由﹣3x+3＝0得，x＝1， 所以点D坐标为（1，0）， 所以AD＝4﹣1＝3， 所以， 所以； （3）由函数图象可知， 当x＜2时，函数y1＝﹣3x+3的图象在函数y2x﹣6图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2． ▌题型06 求直线围成的图形面积 1. 三角形顶点都是直线交点，第一步求出全部3个顶点坐标。 2. 优先观察顶点是否落在坐标轴上： - 有两个顶点在坐标轴：直接以坐标轴上线段为底，另一点横/纵坐标绝对值做高。 3. 顶点不在坐标轴：割补法（补成矩形减去周围直角三角形），或者铅锤高水平宽。 4. 坐标求线段长度：坐标一定要取绝对值，长度不能为负。 【典例1】（2026春•宁津县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）则k＝　3　 ，b＝　﹣1　 ，n＝　2　 ； （2）关于x，y的二元一次方程组的解为　　 ； （3）求四边形AOCD的面积． 【分析】（1）把点D的坐标为（1，n）代入y＝x+1，求出n的值，待定系数法求出k，b的值即可； （2）图象法解二元一次方程组即可； （3）连接OD，分割法求出四边形的面积即可． 【解答】解：（1）由条件可得n＝1+1＝2； ∴D（1，2）， 把B（0，﹣1），D（1，2）代入y＝kx+b，得，解得； 故答案为：3；﹣1；2． （2）关于x，y的二元一次方程组的解为． 故答案为：； （3）连接OD， 由条件可知A（0，1）， 由（1）知：y＝3x﹣1， 当y＝3x﹣1＝0时，， ∴， ∵D（1，2）， ∴四边形AOCD的面积． 【变式1-1】（2025秋•乐平市期末）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）方程组的解是　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形ADE的面积． 【分析】（1）直接利用图象法求方程组的解即可； （2）待定系数法求出直线l2的函数解析式，再求出A，E的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）由图象可知： 方程组的解为； 故答案为：； （2）∵直线l2：y＝kx+b过C（0，1）、D（1，3）， ∴， ∴， ∴直线l2的解析式是：y＝2x+1； 当y＝2x+1＝0时，， ∴， ∵D（1，3），A（4，0）， ∴， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形． 【变式1-2】（2026春•乐陵市校级期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b、m的值； （2）结合图象直接写出关于x、y的方程组的解； （3）求两函数图象与x轴所围成的△APB的面积； （4）垂直于x轴的直线x＝a（a＞1）与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 【分析】（1）由点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2：y＝mx+4中，即可求出m值； （2）根据（1）可得P点的坐标，再根据二元一次方程组的解是对应一次函数图像交点的坐标； （3）先求出点A、B的坐标，然后根据求解即可； （4）先用a表示出点C、D的纵坐标，结合CD＝4即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，然后求解即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知b＝2×1+1＝3，即P（1，3）， ∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上， ∴3＝m+4，解得：m＝﹣1． （2）由（1）可知：直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）由条件可得点A的坐标为， 令y＝0时，y＝﹣x+4，解得x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， ∴， ∴． （4）当x＝a时，yC＝2a+1，yD＝4﹣a， ∵CD＝4， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝4，即|3a﹣3|＝4，解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【变式1-3】（2025秋•金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C． （1）求一次函数的表达式； （2）求△COP的面积； （3）结合函数图象，直接写出方程组的解． 【分析】（1）将点P（m，6）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣2，6）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积； （3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）由条件可知﹣3m＝6，m＝﹣2， ∴P（﹣2，6）， 把（3，1）和（﹣2，6）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得； ∴一次函数解析式是y＝﹣x+4； （2）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+4， ∴点C（4，0）， ∴OC＝4， ∵P（﹣2，6）， ∴△COP的面积； （3）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，6）， ∴方程组的解为． ▌题型07 一次函数与方程组无解问题 设两条直线： l1： l2： 联立得到方程组 1. 若，：两直线平行，没有交点，方程组无解； 2. 若：两直线相交，有唯一交点，方程组有唯一解； 3. 若，：两直线重合，无数公共点，方程组无数组解。 【典例1】（2025秋•西安期末）若关于x，y的方程组无解，则下列结论正确的是（　　） A．直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3的交点在第一象限 B．直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3的交点为（﹣1，1） C．直线y＝（1﹣2k）x﹣3不经过第一象限 D．直线y＝x+k交y轴于负半轴 【分析】依据题意，由关于x，y的方程组无解，从而直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3不相交，且k+1＝3，故可逐个判断得解． 【解答】解：由题意，∵关于x，y的方程组无解， ∴直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3不相交，且k+1＝3． ∴A、B均错误，k＝2． ∴直线y＝（1﹣2k）x﹣3为y＝﹣3x﹣3经过二、三、四象限，故不过第一象限，故C正确． 又∵y＝x+k＝x+2， ∴直线y＝x+k交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】（2025秋•城关区期末）如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】方程组无解时，两直线平行，即k＝﹣2，代入直线解析式，分析其经过的象限即可． 【解答】解：如果关于x、y的方程组无解， ∴两直线平行， ∴k＝﹣2， ∴直线解析式为y＝﹣2x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1＜0，与y轴交于负半轴； 当y＝0时，x＝﹣0.5＜0，与x轴交于负半轴； 又∵﹣2＜0， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选A． 【变式1-2】阅读下列材料并解决问题： 对于一个一般的关于x，y的二元一次方程组（a1≠0，a2≠0），探索其解的情况，先将两个二元一次方程都化成一次函数表达式的形式，如：，再分情况讨论． （a）当，即时，二元一次方程组有唯一的解； （b）当且，即时，二元一次方程组无解； （c）当且，即时，二元一次方程组有无数个解． ①判断下列二元一次方程组的解的情况． （i）； （ii）； （ii）． ②当k为何值时，二元一次方程组无解？ 【分析】①根据题意，对所给方程组解的情况进行判断即可； ②根据题意，对所给方程组解的情况进行计算即可． 【解答】解：①（i）原方程组可化为， 因为﹣1＝﹣1且2＝2， 所以该方程组有无数个解； （ii）原方程组可化为， 因为2＝2且， 所以该方程组无解； （ii）原方程组可化为， 因为﹣2≠2， 所以该方程组有唯一的解； ②原方程组可化为， 因为该方程组无解， 所以且， 解得k． 【变式1-3】（2026春•岳阳楼区期末）【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行探究，并解决相关问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 1 3 1 m （1）m＝　﹣1　 ，并在所给的坐标系中画出函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象； （2）【深入探究】观察函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象，当﹣3≤x＜2时，求y的取值范围； （3）【拓展应用】①若关于x，y的方程组无解，则a的取值范围为a＞3　 ； ②若直线y＝x+b（b为常数）与函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象总有交点，求b的取值范围． 【分析】（1）直接代入x＝3即可求得m的值，根据点的坐标绘图即可； （2）先分别求出两端点x＝﹣3，x＝2的函数值，再求出x＝1时函数最大值，根据函数图象的增减性即可求出y的取值范围； （3）①方程组无解等价于函数图象没有交点，根据函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象即可求出a的取值范围；②先求出直线y＝x+b与函数y＝﹣2|x﹣1|+3只有一个交点时b的值，再根据图像判断何时二者总有交点． 【解答】解：（1）直接代入x＝3可求得m＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）当x＝﹣3时，y＝﹣2|﹣3﹣1|+3＝﹣5， 当x＝2时，y＝﹣2|2﹣1|+3＝1， ∵当x＝1时，该函数取得最大值，最大值为3，且当﹣3≤x＜1时，y随x增大而增大， ∴当﹣3≤x＜2时，﹣5≤y≤3． （3）①∵关于x，y的方程组无解，可以看作函数y＝﹣2|x﹣1|+3与直线y＝a的图象没有交点， ∴由图象可知，当a＞3时，函数y＝﹣2|x﹣1|+3与直线y＝a的图象没有交点， ∴a的取值范围是a＞3； 故答案为：a＞3； ②：如图，当直线y＝x+b经过函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象上点（1，3）时， ∴3＝1+b， ∴b＝2， 此时直线y＝x+b与y＝﹣2|x﹣1|+3的图象只有一个交点， 由图得，若直线y＝x+b与y＝﹣2|x﹣1|+3的图象始终有交点， 则b≤2． ▌题型08 一次函数与一元一次不等式组 1. 每个不等式单独看图像，写出各自的范围； 2. 不等式组的解集 = 两个范围重叠的公共部分； 3. 边界：带等号包含交点，不带等号不含交点； 4. 双直线型，等价于不等式组 5. 解题步骤 （1）将不等式组拆成两个独立不等式； （2）利用一次函数图像，分别求出每个不等式对应的范围； （3）在数轴上标出两个范围，找出公共部分； （4）公共部分就是不等式组解集；若无重叠，则不等式组无解； （5） 检查边界，等号对应实心点。 【典例1】（2026春•茌平区期末）如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 【分析】在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集． 【解答】解：在x轴的上方，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax+b＞kx＞0的解集， 观察图象可知：不等式的解集为：0＜x＜1， 故选：B． 【变式1-1】（2026春•滨城区期末）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式组的解集是（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＜2 D．2＜x＜5 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足mx+n＜kx+b＜0的部分为y＝mx+n在x轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【解答】解：由图象可知满足0＜mx+n＜kx+b的部分为y＝mx+n在x轴下方部分对应的自变量取值， ∴x＜1． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•云冈区期末）如图，直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝mx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式0＞ax+b＞mx+n的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜3 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 【分析】找到直线y＝ax+b在直线y＝mx+n上方且在x轴下方，所对应的x的范围即可． 【解答】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为1＜x＜3． 故选：D． 【变式1-3】（2026春•天府新区期末）直线l1：y＝kx与直线l2：y＝mx+n在同一平面直角坐标系xOy中如图所示，则不等式组的解集为（　　） A．x＞0 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．无解 【分析】观察函数图象得到在x轴上﹣3的左边，对应于每一个x的值，函数值y＝mx+n都落在x轴的下方，即不等式mx+n＜0的解集为x＜﹣3；在x轴上0的左边，对应于每一个x的值，函数值y＝kx都落在x轴的上方，即不等式kx＞0的解集为x＜0；再根据“同小取较小”即可得出不等式组． 【解答】解：观察函数图象得到 不等式kx＞0的解集为x＜0， 不等式mx+n＜0的解集为x＜﹣3； 所以不等式组的解集为x＜﹣3． 故选：B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题43 一次函数与方程（组）、不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与二元一次方程 题型03 两直线的交点与方程组的解 题型04 一次函数与一元一次不等式 题型05 根据两直线的交点求不等式的解集 题型06 求直线围成的图形面积 题型07 一次函数与方程组无解问题 题型08 一次函数与一元一次不等式组 ▌题型01 一次函数与一元一次方程 1. 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数：y＝kx+b（k≠0），一元一次方程：kx+b＝0（k≠0），当函数值y＝0时，一次函数就变成一元一次方程。 2. 常见结论 （1）方程kx+b＝0的解，就是直线y＝kx+b与x轴交点的横坐标。直线与x轴交点：，方程解：。 （2）从图像看：找直线和x轴交点，交点横坐标就是方程的解。 （3）求kx+b＝m的解，等价于求当时，直线上对应点的横坐标。 几何意义：直线y＝kx+b与水平线交点的横坐标。 3. 解题步骤 （1）方程kx+b＝0：找直线y＝kx+b与x轴交点，横坐标即为解； （2）方程kx+b＝m：找直线y＝kx+b与水平线交点横坐标； （3）方程：找两条直线交点横坐标； （4）代数方法：直接移项解方程，验证图像结果。 【典例1】（2026•白银区校级三模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若A（﹣2，0），B（0，1），则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【变式1-1】（2026春•西城区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程kx＝﹣b的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 A．x＝1 B．x＝0 C．y＝0 D．y＝1 【变式1-2】（2026•陕西模拟）已知直线y＝kx+3（k为常数，且k≠0）经过点（1，9），则关于x的方程kx+3＝0的解是（　　） A．x＝9 B． C．x＝3 D． 【变式1-3】（2026春•北辰区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程nx﹣mx＝b的解为（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C．x＝﹣1 D．x＝1 ▌题型02 一次函数与二元一次方程 任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数解析式，对应一条直线；直线上每一个点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二元一次方程一般形式：(、不全为0)， 变形为用表示：，这就是一次函数，图像是一条直线。 【典例1】（2026春•营口期末）已知二元一次方程x﹣y＝3，列举方程的解如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m ﹣3 ﹣2 ﹣1 n 1 … 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． （1）表格中的m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）以表格中方程每个解x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在下方坐标系中画出对应的点，观察这些点的位置，并过这些点中任意两点作直线，猜想二元一次方程x﹣y＝3的图象是什么几何图形； （3）点P（a，b）是二元一次方程x﹣y＝3的图象上的一个点，且点P在第四象限，求出a的取值范围； （4）已知二元一次方程cx﹣y＝﹣1（c为常数），图象如图所示，观察两个图象可知二元一次方程组的解为　 　 ． 【变式1-1】（2026春•海淀区校级期中）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 步骤2：描点 步骤3：连线 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如表： x ﹣1 0 2 y 6 5 2 （1）①补全表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ 　 　 ． 【变式1-2】（2026春•海淀区校级期中）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法： 步骤1：列表 x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 步骤2：描点 步骤3：连线 结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应． 根据以上研究结论解决以下问题． 已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x ﹣1 0 2 y 6 5 2 （1）①补全上表中的数； ②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象； （2） 若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝　 　 ． 【变式1-3】（2026春•郊区期末）阅读与思考 数形结合是数学的一个重要的思想方法，我们常用数形结合的方法探究学习新知识．在《二元一次方程》的学习过程中．小凯发现二元一次方程有无数个解，也就是有无数多对数值满足这个二元一次方程，于是他借助平面直角坐标系开展了如下探究： 步骤1：计算并填写表格，使上下每对x，y的值都是方程x+y＝3的解． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 4 3 2 1 0 ﹣1 … 步骤2：如图，在平面直角坐标系中，将以上表格中各对数值作为点的坐标．例如：x＝﹣2，y＝5即点坐标（﹣2，5）．在平面直角坐标系中依次抽出所对应的点． 步骤3：按照x的取值从小到大的顺序，将这些点连起来．发现是一条直线，同时还发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程x+y＝3的一个解，如直线上一个点（2.5，0.5）则x＝2.5，y＝0.5也是方程x+y＝3的一个解． 小凯通过查阅资料发现如下定义：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．据此他所画的这条直线叫作二元一次方程x+y＝3的图象． 请根据小凯同学探究过程中的信息解答下列问题： （1）在步骤2的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝0的图象，并根据所画的图象得出方程组的解为　 　 ． （2）若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程x+y＝18和二元一次方程2x﹣y＝0的图象，Q为这两条直线的交点，求Q点坐标． ▌题型03 两直线的交点与方程组的解 1. 两条直线交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。 设两条直线： l1： l2： 联立得到方程组 方程组的解，几何意义就是两直线交点。 2. 代数法求交点：联立两个函数解析式，解二元一次方程组；得到的、就是交点坐标。 3. 图像法：观察图像，读出交点坐标，直接作为方程组的解。 【典例1】（2025秋•沙坪坝区校级期末）若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线的交点坐标为　 　 ． 【变式1-1】（2025秋•林甸县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026•浦北县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+n相交于点A（2，1），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026•铁岭模拟）已知直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣3x+5交于点A（a，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． ▌题型04 一次函数与一元一次不等式 1. 不等式（或）的解集，对应直线在轴上方（下方）部分自变量的取值范围。 2. 常见结论 （1）：直线在轴上方，取交点横坐标一侧的； ：直线在轴下方，取交点横坐标另一侧的； （2）看判断方向： 递增：交点右侧，左侧； 递减：交点左侧，右侧。 【典例1】（2026•宿迁）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【变式1-1】（2026•香洲区校级模拟）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【变式1-2】（2026•黔南州模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，3），那么不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2 D．x＜3 【变式1-3】（2026•太原一模）已知不等式kx+b＞0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． ▌题型05 根据两直线的交点求不等式的解集 两个函数比较大小，对应图像上下位置。 ，解集：交点横坐标一侧，图像在上的范围； ，解集：交点横坐标一侧，图像在下的范围； 口诀：交点为界，上大下小，解集看。 【典例1】（2026•石家庄二模）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集为（　　） A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2 【变式1-1】（2026•公主岭市模拟）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【变式1-2】（2026春•赛罕区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 【变式1-3】（2025秋•双流区校级期末）如图，直线l1：y1＝﹣3x+3与x轴交于点D，与经过点A（4，0）、点的直线l2：y2＝kx+b交于点C． （1）求直线l2的表达式； （2）求△DBC的面积； （3）根据图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围． ▌题型06 求直线围成的图形面积 1. 三角形顶点都是直线交点，第一步求出全部3个顶点坐标。 2. 优先观察顶点是否落在坐标轴上： - 有两个顶点在坐标轴：直接以坐标轴上线段为底，另一点横/纵坐标绝对值做高。 3. 顶点不在坐标轴：割补法（补成矩形减去周围直角三角形），或者铅锤高水平宽。 4. 坐标求线段长度：坐标一定要取绝对值，长度不能为负。 【典例1】（2026春•宁津县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）则k＝　 　 ，b＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）关于x，y的二元一次方程组的解为　 　 ； （3）求四边形AOCD的面积． 【变式1-1】（2025秋•乐平市期末）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）方程组的解是　 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形ADE的面积． 【变式1-2】（2026春•乐陵市校级期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点． （1）求b、m的值； （2）结合图象直接写出关于x、y的方程组的解； （3）求两函数图象与x轴所围成的△APB的面积； （4）垂直于x轴的直线x＝a（a＞1）与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值． 【变式1-3】（2025秋•金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C． （1）求一次函数的表达式； （2）求△COP的面积； （3）结合函数图象，直接写出方程组的解． ▌题型07 一次函数与方程组无解问题 设两条直线： l1： l2： 联立得到方程组 1. 若，：两直线平行，没有交点，方程组无解； 2. 若：两直线相交，有唯一交点，方程组有唯一解； 3. 若，：两直线重合，无数公共点，方程组无数组解。 【典例1】（2025秋•西安期末）若关于x，y的方程组无解，则下列结论正确的是（　　） A．直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3的交点在第一象限 B．直线y＝3x+4与直线y＝（k+1）x﹣3的交点为（﹣1，1） C．直线y＝（1﹣2k）x﹣3不经过第一象限 D．直线y＝x+k交y轴于负半轴 【变式1-1】（2025秋•城关区期末）如果关于x、y的方程组无解，那么直线y＝kx﹣1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】阅读下列材料并解决问题： 对于一个一般的关于x，y的二元一次方程组（a1≠0，a2≠0），探索其解的情况，先将两个二元一次方程都化成一次函数表达式的形式，如：，再分情况讨论． （a）当，即时，二元一次方程组有唯一的解； （b）当且，即时，二元一次方程组无解； （c）当且，即时，二元一次方程组有无数个解． ①判断下列二元一次方程组的解的情况． （i）； （ii）； （ii）． ②当k为何值时，二元一次方程组无解？ 【变式1-3】（2026春•岳阳楼区期末）【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行探究，并解决相关问题： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 1 3 1 m （1）m＝　 　 ，并在所给的坐标系中画出函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象； （2）【深入探究】观察函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象，当﹣3≤x＜2时，求y的取值范围； （3）【拓展应用】①若关于x，y的方程组无解，则a的取值范围为　 　 ； ②若直线y＝x+b（b为常数）与函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象总有交点，求b的取值范围． ▌题型08 一次函数与一元一次不等式组 1. 每个不等式单独看图像，写出各自的范围； 2. 不等式组的解集 = 两个范围重叠的公共部分； 3. 边界：带等号包含交点，不带等号不含交点； 4. 双直线型，等价于不等式组 5. 解题步骤 （1）将不等式组拆成两个独立不等式； （2）利用一次函数图像，分别求出每个不等式对应的范围； （3）在数轴上标出两个范围，找出公共部分； （4）公共部分就是不等式组解集；若无重叠，则不等式组无解； （5） 检查边界，等号对应实心点。 【典例1】（2026春•茌平区期末）如图，直线y1＝kx和直线y2＝ax+b相交于点（1，2）．则不等式组ax+b＞kx＞0的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜1 C．x＜1 D．x＜0或x＞1 【变式1-1】（2026春•滨城区期末）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则不等式组的解集是（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＜2 D．2＜x＜5 【变式1-2】（2026春•云冈区期末）如图，直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝mx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式0＞ax+b＞mx+n的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜3 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 【变式1-3】（2026春•天府新区期末）直线l1：y＝kx与直线l2：y＝mx+n在同一平面直角坐标系xOy中如图所示，则不等式组的解集为（　　） A．x＞0 B．x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．无解 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题43 一次函数与方程（组）、不等式 （题型突破·举一反三） ▌题型01 一次函数与一元一次方程 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型02 一次函数与二元一次方程 【典例1】 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，﹣1﹣y＝3， ∴y＝﹣4，即m＝﹣4， 当x＝3时，3﹣y＝3， ∴y＝0，即n＝0， 故答案为：﹣4，0． （2）如图， 二元一次方程x﹣y＝3的图象是直线； （3）由图象可得，点P在第四象限时，a的取值范围为0＜a＜3． （4）由图象可得，两个图象的交点为（1，﹣2）， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式1-1】 【解答】解：（1）①y＝6时，x+6＝4， 解得x＝﹣2； 当x＝0时，0+y＝4， 解得y＝4． 故答案为：﹣2，4； ②如图， （2）把（﹣1，5）代入kx+y＝2得﹣k+5＝2， 解得k＝3． 故答案为：3． 【变式1-2】 【解答】解：（1）①关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表： x ﹣2 ﹣1 0 2 y 6 5 4 2 ②二元一次方程x+y＝4的图象如图： （2）两方程图象交于点（﹣1，5）， ∴x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解， ∴﹣k+5＝2， 解得：k＝3； 故答案为：3． 【变式1-3】 【解答】解：（1）根据题意，列表如下： x ．．．． ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． ﹣4 ﹣2 0 2 4 6 8 ．．． 画图象如下： 根据题意，得图象的交点为（1，2）， 故方程组的解为； 故答案为：； （2）若平面直角坐标系里的两条直线分别是二元一次方程x+y＝18和二元一次方程2x﹣y＝0的图象， 根据题意，得方程组， 由①+②得：3x＝18， 解得：x＝6， 把x＝6代入①得：6+y＝18， 解得y＝12． 则方程组的解为． 故Q（6，12）． ▌题型03 两直线的交点与方程组的解 【典例1】（﹣2，3）． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型04 一次函数与一元一次不等式 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】D． ▌题型05 根据两直线的交点求不等式的解集 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【解答】解：（1）解方程组，得， 所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴△ABC的面积6×3＝9； （3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1． 【变式1-3】 【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入y2＝kx+b得， ， 解得， 所以直线l2的表达式为y2x﹣6； （2）连接BD， 由x﹣6＝﹣3x+3得，x＝2， 则﹣3x+3＝﹣3， 所以点C坐标为（2，﹣3）． 由﹣3x+3＝0得，x＝1， 所以点D坐标为（1，0）， 所以AD＝4﹣1＝3， 所以， 所以； （3）由函数图象可知， 当x＜2时，函数y1＝﹣3x+3的图象在函数y2x﹣6图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2． ▌题型06 求直线围成的图形面积 【典例1】 【解答】解：（1）由条件可得n＝1+1＝2； ∴D（1，2）， 把B（0，﹣1），D（1，2）代入y＝kx+b，得，解得； 故答案为：3；﹣1；2． （2）关于x，y的二元一次方程组的解为． 故答案为：； （3）连接OD， 由条件可知A（0，1）， 由（1）知：y＝3x﹣1， 当y＝3x﹣1＝0时，， ∴， ∵D（1，2）， ∴四边形AOCD的面积． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由图象可知： 方程组的解为； 故答案为：； （2）∵直线l2：y＝kx+b过C（0，1）、D（1，3）， ∴， ∴， ∴直线l2的解析式是：y＝2x+1； 当y＝2x+1＝0时，， ∴， ∵D（1，3），A（4，0）， ∴， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由条件可知b＝2×1+1＝3，即P（1，3）， ∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上， ∴3＝m+4，解得：m＝﹣1． （2）由（1）可知：直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）由条件可得点A的坐标为， 令y＝0时，y＝﹣x+4，解得x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， ∴， ∴． （4）当x＝a时，yC＝2a+1，yD＝4﹣a， ∵CD＝4， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝4，即|3a﹣3|＝4，解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由条件可知﹣3m＝6，m＝﹣2， ∴P（﹣2，6）， 把（3，1）和（﹣2，6）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得； ∴一次函数解析式是y＝﹣x+4； （2）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+4， ∴点C（4，0）， ∴OC＝4， ∵P（﹣2，6）， ∴△COP的面积； （3）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，6）， ∴方程组的解为． ▌题型07 一次函数与方程组无解问题 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【解答】解：①（i）原方程组可化为， 因为﹣1＝﹣1且2＝2， 所以该方程组有无数个解； （ii）原方程组可化为， 因为2＝2且， 所以该方程组无解； （ii）原方程组可化为， 因为﹣2≠2， 所以该方程组有唯一的解； ②原方程组可化为， 因为该方程组无解， 所以且， 解得k． 【变式1-3】 【解答】解：（1）直接代入x＝3可求得m＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）当x＝﹣3时，y＝﹣2|﹣3﹣1|+3＝﹣5， 当x＝2时，y＝﹣2|2﹣1|+3＝1， ∵当x＝1时，该函数取得最大值，最大值为3，且当﹣3≤x＜1时，y随x增大而增大， ∴当﹣3≤x＜2时，﹣5≤y≤3． （3）①∵关于x，y的方程组无解，可以看作函数y＝﹣2|x﹣1|+3与直线y＝a的图象没有交点， ∴由图象可知，当a＞3时，函数y＝﹣2|x﹣1|+3与直线y＝a的图象没有交点， ∴a的取值范围是a＞3； 故答案为：a＞3； ②：如图，当直线y＝x+b经过函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象上点（1，3）时， ∴3＝1+b， ∴b＝2， 此时直线y＝x+b与y＝﹣2|x﹣1|+3的图象只有一个交点， 由图得，若直线y＝x+b与y＝﹣2|x﹣1|+3的图象始终有交点， 则b≤2． ▌题型08 一次函数与一元一次不等式组 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $