专题40 认识函数（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“概念-表示-应用”为逻辑链，通过8大题型系统构建函数认知体系，提炼“竖线检验法”“五步法”等实用解题模型，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的概念|1典3变|定义辨析+竖线检验+表格判定|函数概念的基础认知| |函数关系式|1典3变|定变量-寻等量-列等式-做变形-定范围|概念到表达式的转化| |自变量取值范围|1典3变|整式/分式/根式分类求解|表达式有意义的条件| |函数值|1典3变|代入求值四步法|表达式的具体应用| |函数图象识别|1典3变|定轴-分阶段-判走势-找特殊点|数形结合的初步应用| |从图象获取信息|1典3变|端点/拐点/交点信息提取|图象的解读能力| |三种表示方法|1典3变|表格/关系式/图象特征对比|函数表示的完整性| |动点问题图象|1典3变|路径分段-趋势判断-临界点计算|动态问题的函数建模|

专题40 认识函数 （题型突破·举一反三） 题型01 求三角形面积 题型02 求四边形面积 题型03 由面积的值求参数 题型04 由面积相等求参数 题型05 由面积间的关系求参数 题型06 与面积相关的规律问题 题型07 新定义 ▌题型01 函数的概念 1. 定义 在一个变化过程中，设有两个变量、。如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数。叫做自变量，叫做因变量。 2. 关系式判别是否为函数 （1）任取自变量的一个取值； （2） 检验能否求出唯一的y。 3. 图像识别函数（竖线检验法） 过横轴上任意一点，作竖直直线。竖直直线与图形最多只有1个交点，即为函数图像。一条竖线出现2个及以上交点，不属于函数。 4. 表格判定函数 观察表格当中，同一个自变量取值，是否出现2个不一样的因变量。若出现，则不是函数。 【典例1】（2026春•雨花区校级期末）下列各图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：A，B，C的图象中，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数， D的图象中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•蒙自市期末）下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】理解函数概念根据函数的概念进行辨别即可． 【解答】解：∵选项A，B，C中的图象，都描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有唯一的y值与其对应，而选项D中有一个x值对应2个函数值的情况， ∴选项A，B，C不符合题意， 选项D符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•大连期中）有下列6个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝|x|；④y＝±x；⑤|y|＝3x2+1；⑥．其中表示“y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 【解答】解：根据题意可知，表示“y是x的函数有①y＝3x+1；③y＝|x|；⑥，共3个． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•沂水县期末）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（　　） A．如图中，y是x的函数 B．观察表中对应关系，n是m的函数，t也是m的函数 t 3 2 1 0 1 2 m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 n ﹣2 ﹣3 ﹣6 8 3 2 C．式子中，y是x的函数 D．数轴上一点的坐标y是该点到原点的距离x的函数 【分析】根据函数的概念，逐项判断即可． 【解答】解：A．由图象可得，对于任意的x，y有唯一的值与之对应，则y是x的函数，故本选项不符合题意； B．观察表中对应关系，对于任意的m，t有唯一的值与之对应，对于任意的m，n有唯一的值与之对应，则n是m的函数，t也是m的函数，故本选项不符合题意； C．对于任意的x，y有唯一的值与之对应，则y是x的函数，故本选项不符合题意； D．当x＝2时，y＝±2，则y不是x的函数，故本选项符合题意． 故选：D． ▌题型02 函数关系式 1. 定变量：确认自变量、因变量（函数y）。 2. 寻等量：找到题目固有的相等关系。 3. 列等式：使用字母替代数量，写出方程。 4. 做变形：整理成含有的代数式。 5. 定范围：代数式有意义，并且满足实际情景。 【典例1】（2026春•费县期末）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．若P从点（1，3）出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y），则y关于x的函数解析式正确的为（　　） A．y＝﹣x+49 B．y＝﹣x+15 C．y＝x+15 D．y＝x+49 【分析】设甲方式移动次数为参数，根据移动规则分别表示出x和y，消去参数即可得到函数解析式． 【解答】解：设15次移动中使用了k次甲方式，则使用了（15﹣k）次乙方式， ∴x＝1+2k+1×（15﹣k）＝k+16， ∴k＝x﹣16， 又∵y＝3+k+2×（15﹣k）＝33﹣k， 将k＝x﹣16代入y＝33﹣k中， ∴y＝33﹣（x﹣16）， ∴y＝﹣x+49． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•同心县期末）小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　） A．y＝x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝﹣x+10 【分析】根据长方形周长公式得出2（y+x）＝20，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：根据题意得2（y+x）＝20， y+x＝10， y＝﹣x+10， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•辽阳县期末）某市出租车起步价为2公里内5元（包括2公里），超过2公里的部分计价为每公里1.6元．则该市出租车载客行驶路程x（x≥2）千米与收费y（元）之间的关系式为（　　） A．y＝1.6x+5 B．y＝1.6x C．y＝5x D．y＝1.6x+1.8 【分析】超出2公里的里程为x﹣2，总费用为起步价加超里程费用． 【解答】解：该市出租车载客行驶路程x（x≥2）千米与收费y（元）之间的关系式： 由题意得y＝5+1.6（x﹣2）＝5+1.6x﹣3.2＝1.6x+1.8． 故选：D． 【变式1-3】（2026•岳麓区校级三模）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A．y＝4x B．y＝2x+2 C．y＝2x2 D．y＝3x 【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可． 【解答】解：根据题意，绘制如下表格： 根据表格，x增加1，y增加2， 则y＝4+2（x﹣1）＝2x+2， ∴C与H满足的关系式是y＝2x+2． 故选：B． ▌题型03 函数自变量的取值范围 1.整式：全体实数； 2.分式：分母； 3.二次根式：被开方数； 4.复合型：联立不等式组； 5.实际应用：边长>0，时间，正整数等。 【典例1】（2026春•东丽区期末）函数有意义，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【分析】根据二次根式有意义的条件进行列式计算即可． 【解答】解：由已知可得，﹣x+2≥0， 则x≤2． 故选：C． 【变式1-1】（2026•楚雄市二模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零列出不等式，解不等式即可得出答案． 【解答】解：由题意得：4﹣2x≠0， 解得：x≠2， 故选：A． 【变式1-2】（2026•内江模拟）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠﹣1 C． D．且x≠﹣1 【分析】根据要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零计算即可． 【解答】解：要使函数有意义，则： ，解得． 故选：A． 【变式1-3】（2026•阜南县二模）下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式确定x的范围，判断即可． 【解答】解：A、y＝x﹣5，自变量的取值范围为全体实数，不符合题意； B、y，自变量的取值范围为x≠5，不符合题意； C、y，自变量的取值范围为x≥5，不符合题意； D、y，自变量的取值范围为x＞5，符合题意； 故选：D． ▌题型04 函数值 1. 将自变量取值代入解析式，计算代数式的值，得到函数值。 2.万能解题步骤 （1）找双变量：确定自变量、因变量； （2）核验对应：一个是否对应唯一一个； （3）求取值范围：代数式有意义+实际约束； （4）代入求值，得到函数值。 【典例1】（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】直接把x＝2代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当x＝2时，， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•左权县期末）变量x与y的关系式为y＝2x﹣1，当x＝3时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】将给定的x值代入x与y的关系式计算，即可得到y的值． 【解答】解：∵变量x与y的关系式为y＝2x﹣1， 当x＝3时， y＝2×3﹣1＝6﹣1＝5． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•汝阳县期末）当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣3 D．5 【分析】将x＝2代入函数y＝﹣2x+1，即可求得相应的函数值，本题得以解决． 【解答】解：当x＝2时，y＝﹣2×2+1＝﹣4+1＝﹣3， 即当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是﹣3， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•沙坪坝区期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据程序进行计算先求出b，即可求解． 【解答】解：∵输入的x的值为5时，输出的y的值为7， ∵5＞3， ∴7＝10+b， ∴b＝﹣3， ∵x＝2＜0， ∴y＝﹣3×2+3＝﹣3， 故选：D． ▌题型05 函数图象的识别 1. 定坐标轴：明确横轴、纵轴代表的物理量。 2. 分阶段：依据情景找出全部变化节点。 3. 判走势：上升、水平、下降；陡峭、平缓。 4. 找特殊点：起点、终点、拐点、最值。 5. 逐项排除选项。 【典例1】（2026春•沙坪坝区校级期中）为了准备校园文化艺术节的舞台布置，小七需要完成一段背景墙的绘制．他先画了一段时间，后来因为要参加半期测试被迫停工几天．复工后，小七加快了绘制进度，最终按时完成了任务．下面能反映该工程尚未绘制的背景墙长度y（米）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，图象先下降，中间有一段不变，然后再下降，且下降的速率大于第一段，据此进行判断即可． 【解答】解：由题意，大致图象是 故选：D． 【变式1-1】（2026•南宁校级开学）冬季是感冒多发的季节，乐乐感冒后体温先增加，吃了感冒药后再降低，最后呈现平稳，如图能正确反映乐乐体温与时间变化的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，选出符合题意的选项即可． 【解答】解：乐乐的体温先处于上升阶段，吃了药后体温处于下降阶段，最后呈现平稳，只有图象D满足． 故选：D． 【变式1-2】（2026•仁怀市二模）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则如图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，在实验中有3个阶段，①、铁块在液面以下，②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③、铁块完全露出时，分析液面得变化，结合选项，可得答案． 【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段， ①、铁块在液面以下，液面得高度不变； ②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低； ③、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变； 分析可得，B符合描述； 故选：B． 【变式1-3】（2026春•鄂伦春自治旗期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【解答】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． ▌题型06 从函数图象获取信息 1. 端点：图像起点、终点，对应自变量取值范围的边界。 2. 拐点：函数运动状态发生改变，是分段的分界点，可以读出坐标。 3. 与轴交点：自变量时刻对应的函数取值。 4. 与轴交点：函数值时刻对应的自变量取值。 5. 两条图像交点：自变量取该横坐标时，两个函数的函数值相等，可以列方程。 6. 图像在上：同一自变量，上方曲线函数值更大；图像在下，函数值更小。 【典例1】（2026•柳州模拟）某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，0＜b＜a，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】登山路程随着时间的增多是在不断增多，由于速度的变化形式为大，0，小，所以随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：陡，平，缓．根据题意逐一判断即可． 【解答】解：∵他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进， ∴在函数图象中有一段是路程不变的，而时间在增加， 又∵0＜b＜a， ∴在函数图象中，休息前的一段比休息后的要更陡一些， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•高新区校级期末）一辆出租车空载从乙地出发到甲地，匀速行驶了一段时间，中途遇到一个乘客要到乙地，于是它掉头以同样的速度向乙地行驶，到达乙地后休息了一会，又来了一个乘客有急事要去甲地，于是出租车加快速度开向甲地，则出租车离甲地的距离y与时间t之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据出租车离甲地的距离y以及各个时间的速度进行判断即可． 【解答】解：一辆出租车空载从乙地出发到甲地，匀速行驶了一段时间，此时图象第一段为从左向右下降趋势， 中途遇到一个乘客要到乙地，于是它掉头以同样的速度向乙地行驶，此时图象第二段左向右上升趋势且倾斜程度与第一段相同， 到达乙地后休息了一会，图象第三段从左向右是平线， 又来了一个乘客有急事要去甲地，于是出租车加快速度开向甲地， ∴最后一段图象是从左向右下降的趋势且倾斜程度比第一段陡， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•天府新区期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明家到书店的距离为1km C．小明在体育馆锻炼的时间为45min D．小明从书店到家步行的时间为40min 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【解答】解：由图象可知： A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意； B．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意； C．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意； D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•渠县校级期末）如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度持续上升 【分析】根据函数图象逐项判断即可得． 【解答】解：A、风筝最初的高度为30m，则此项正确，不符合题意； B、1min时高度和5min时高度相同，均为45m，则此项正确，不符合题意； C、3min时风筝达到最高高度为60m，则此项正确，不符合题意； D、2min到4min之间，风筝飞行高度h（m）先上升后下降，则此项错误，符合题意； 故选：D． ▌题型07 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法 ①表格法 把自变量取值以及对应的函数值，排列成表格； 优点：能够直接读取对应数值； 缺点：只能够体现有限组数据，难以看出整体变化趋势。 ②关系式（解析式）法 使用含有自变量的代数式表达函数； 优点：简洁完整，能够代入求出任意自变量对应的函数值； 缺点：无法直观观察增减、最值。 ③图像法 以自变量为横坐标、函数值为纵坐标描点，构成图形； 优点：直观观察增减、拐点、最值、变化快慢； 缺点：读数仅能够得到近似数值。 【典例1】（2026春•烟台期末）在△ABC中，BC边上的高是4厘米．当动点P在BC上由C向B运动时，设BP长为x厘米，△ABP的面积为y平方厘米，则y与x的关系式为y＝2x ． 【分析】根据三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：由三角形的面积的计算方法可得，yx×4＝2x， 故答案为：y＝2x． 【变式1-1】（2026春•垦利区期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s（m）和赛跑时间t（min）之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： （1）本次比赛全程是 　800　 m，机器人 　甲　 先到达终点； （2）机器人甲的平均速度是 　100　 m/min，其路程s和时间t的关系式是 s＝100t ； （3）机器人乙由于故障在途中停留了 　3　 min，恢复运行后，机器人乙的速度 　＞　 机器人甲的速度．（填“＞”“＝”或“＜”） 【分析】（1）观察图象即可； （2）根据路程＝时间×速度即可求； （3）观察图象即可得到故障时间，速度即为图象陡的程度，根据图象比较速度大小即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，比赛全程是800m， 机器人甲所用时间为8min，机器人乙所用时间为9min， 所以机器人甲先到终点； 故答案为：800，甲； （2）根据象可知，平均速度为：800÷8＝100m/min， 路程s和时间t的关系式是：s＝100t； 故答案为：100，s＝100t； （3）根据图象可知，乙由于故障在途中停留了5﹣2＝3min， ∵s＝vt，同一时刻，s越大，v越大， ∴图象越为陡峭， ∵恢复运行后，乙的线比甲陡， ∴机器人乙的速度＞机器人甲的速度． 故答案为：＞． 【变式1-2】（2026•徐州校级开学）甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示． 信息读取： （1）货车出发1小时走的路程为 　60　 千米； （2）客车到达终点所用的时间为 　6　 小时． 解决问题： （1）客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ （2）客车到达终点时，两车相距多少千米？ （3）若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”，则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 【分析】信息读取：（1）根据图象即可作答； （2）根据图象即可作答； 解决问题： （1）分别计算出客车和货车的速度，进而得出答案； （2）根据当货车也到达终点时，两车距离为0，进而得出答案； （3）分情况进行分类讨论． 【解答】解：信息读取： （1）∵客车出发时，两车相距60千米， ∴货车1小时走了60千米． 故答案为：60． （2）∵客车出发6小时时，两车距离最大， ∴6小时后客车到达终点原地休息，货车继续行驶，两车之间距离越来越小， ∴当货车也到达终点时，两车距离为0， ∴客车到达终点所用的时间为6小时． 故答案为：6． 解决问题： （1）货车的速度为60÷1＝60（千米/小时）， 客车的速度为600÷6＝100（千米/小时）， 客车追上货车用了60÷（100﹣60）＝1.5（小时）， 答：客车离开起点1.5小时后，客车追上货车． （2）当客车到达终点时，货车行驶的路程为60×（6+1）＝420（千米）， 两车相距600﹣420＝180（千米）， 答：客车到达终点时，两车相距120千米． （3）①当客车还未出发时，两车相距40km时，此时小时； ②当客车出发后还未到达终点，且两车相距40千米时， 当客车在货车后面40千米时离客车出发的时间为（60﹣40）÷（100﹣60）（小时）， 当客车在货车前面40千米时离客车出发的时间为． ③当客车已经到达终点，货车从距终点40千米至到达终点用了 （小时）， （）小时）， 答：两车“比较靠近”的时间持续了小时． 【变式1-3】（2026春•遂川县期末）一个装遂川狗牯脑茶的木质茶箱质量为3kg，当放入相同规格的狗牯脑茶罐数不同时（每个茶罐的质量相同），木质茶箱和茶罐的总质量相应变化． （1）直接写出下表中a，b的值，a＝　7　 ，b＝　12　 ； 茶罐个数 0 10 20 30 45 总质量/kg 3 5 a 9 b （2）设茶罐数量是x个，木质茶箱和茶罐总质量为ykg，则y与x的关系式是y＝0.2x+3（x为非负整数）　 ； （3）当木质茶箱和茶罐总质量为12kg时，求这个木质茶箱所装狗牯脑茶罐的数量． 【分析】（1）先根据已知的茶箱质量和10个茶罐与茶箱的总质量，求出单个茶罐的质量，再计算a和b的值； （2）根据总质量的组成得到y与x的函数关系式； （3）将y＝12代入函数解析式求解即可． 【解答】解：（1）已知木质茶箱质量为3kg，由表格得，10个茶罐与茶箱的总质量为：5kg， 10个茶罐总质量为：5﹣3＝2（kg），单个茶罐质量为：2÷10＝0.2（kg）， 茶罐个数为20时，总质量为：a＝3+20×0.2＝7； 茶罐个数为45时，总质量为：b＝3+45×0.2＝12． 故答案为：7；12； （2）根据题意可知，茶罐数量为x个时，总质量y等于茶箱质量加所有茶罐质量， 因此得y＝0.2x+3，x为非负整数． 故答案为：y＝0.2x+3（x为非负整数）； （3）总质量为12kg，即y＝12， 代入关系式得：12＝0.2x+3， 解得：x＝45， 答：这个木质茶箱所装狗牯脑茶罐的数量为45个． ▌题型08 动点问题的函数图象 1. 常见结论 （1）动点每抵达一个顶点，即为图像拐点，函数进入全新阶段。阶段数量=途经顶点个数。 （2）面积变化规律 - 底边恒定，高匀速增大：面积匀速变大，图像为上升直线。 - 底边恒定，高匀速减小：面积匀速变小，图像为下降直线。 - 高保持不变：面积恒定，图像为水平线段。 （3）  匀速运动，线段、面积的变化量与时间成一次关系，图像全部是折线段，不存在曲线。 2. 解题步骤 （1）定路径：标出动点起点、运动方向、整条轨迹。 （2）分阶段：以图形顶点作为分界，划分独立阶段。 （3）判趋势：每个区间内，面积（线段长）增大、不变、减小。 （4）求临界点：计算拐点对应的函数取值。 （5）排选项：走势错误直接剔除；数值不符进一步剔除。 【典例1】（2026春•济南期末）在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，点P从点B出发，沿边BC向点C以3cm/s的速度运动（点P不与点C重合）；点M是边AD上任意一点．设点P的运动时间为x（s），△MPC的面积为S（cm2），则S与x之间的关系式为（　　） A． B．S＝7（10﹣3x） C． D．不能确定 【分析】根据yAB•PC，用含x的代数式表示出△MPC的底边PC的长即可得到答案． 【解答】解：由题意，BP＝3xcm， ∴PC＝BC﹣BP＝（10﹣3x）cm， ∴yAB•PC7×（10﹣3x）（10﹣3x）cm2， 故△MPC的面积y（cm2）与点P的运动时间x（s）之间的关系式为：y（10﹣3x）． 故选：A． 【变式1-1】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为6解答即可． 【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD， ∴△ABD为等边三角形， 设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为6， ∴△ABD的面积a2＝6 解得：a＝2（负值已舍）， 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•鲁山县期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD，动点E从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以m厘米/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（　　） A．144 B．138 C．124 D．118 【分析】取CD的中点为F，连接AF，可知，证明△ABC≌△CFA，得到，结合，即可求得答案． 【解答】解：如图所示，取CD的中点为F，连接AF． 根据题意可知． ∵CF＝DF，AC＝AD， ∴AF⊥CD． ∴∠AFC＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠FCA． 在△ABC和△CFA中， ， ∴△ABC≌△CFA． ∴AB＝CF． ∴． ∴． 故选：A． 【变式1-3】（2026春•东城区校级期中）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝2x ； （2）当x＝2026时，y的值为　4　 ． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段AB上移动；②当点P在线段BC上移动；③当点P在线段CD上移动；④当点P在线段DA上移动，得出规律即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵当x＝4时，y＝8， ∴4k＝8，解得：k＝2， ∴y与x的函数关系式为y＝2x； 故答案为：y＝2x； （2）①当点P在线段AB上移动时，即0≤x≤4，； ②当点P在线段BC上移动时，即4＜x≤8，； ③当点P在线段CD上移动时，8＜x≤12，； ④当点P在线段DA上移动时，12＜x≤16，； ∴点P的运动轨迹是以16为单位循环， ∵2026÷16＝126⋯⋯10， ∴当x＝10时，y＝4， ∴当x＝2026时，y的值为4． 故答案为：4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题40 认识函数 （题型突破·举一反三） 题型01 函数的概念 题型02 函数关系式 题型03 函数自变量的取值范围 题型04 函数值 题型05 函数图象的识别 题型06 从函数图象获取信息 题型07 函数的三种表示方法 题型08 动点问题的函数图象 ▌题型01 函数的概念 1. 定义 在一个变化过程中，设有两个变量、。如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数。叫做自变量，叫做因变量。 2. 关系式判别是否为函数 （1）任取自变量的一个取值； （2） 检验能否求出唯一的y。 3. 图像识别函数（竖线检验法） 过横轴上任意一点，作竖直直线。竖直直线与图形最多只有1个交点，即为函数图像。一条竖线出现2个及以上交点，不属于函数。 4. 表格判定函数 观察表格当中，同一个自变量取值，是否出现2个不一样的因变量。若出现，则不是函数。 【典例1】（2026春•雨花区校级期末）下列各图象中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•蒙自市期末）下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•大连期中）有下列6个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝|x|；④y＝±x；⑤|y|＝3x2+1；⑥．其中表示“y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（2026春•沂水县期末）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（　　） A．如图中，y是x的函数 B．观察表中对应关系，n是m的函数，t也是m的函数 t 3 2 1 0 1 2 m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 n ﹣2 ﹣3 ﹣6 8 3 2 C．式子中，y是x的函数 D．数轴上一点的坐标y是该点到原点的距离x的函数 ▌题型02 函数关系式 1. 定变量：确认自变量、因变量（函数y）。 2. 寻等量：找到题目固有的相等关系。 3. 列等式：使用字母替代数量，写出方程。 4. 做变形：整理成含有的代数式。 5. 定范围：代数式有意义，并且满足实际情景。 【典例1】（2026春•费县期末）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．例如点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）．若P从点（1，3）出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y），则y关于x的函数解析式正确的为（　　） A．y＝﹣x+49 B．y＝﹣x+15 C．y＝x+15 D．y＝x+49 【变式1-1】（2026春•同心县期末）小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　） A．y＝x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝﹣x+10 【变式1-2】（2026春•辽阳县期末）某市出租车起步价为2公里内5元（包括2公里），超过2公里的部分计价为每公里1.6元．则该市出租车载客行驶路程x（x≥2）千米与收费y（元）之间的关系式为（　　） A．y＝1.6x+5 B．y＝1.6x C．y＝5x D．y＝1.6x+1.8 【变式1-3】（2026•岳麓区校级三模）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A．y＝4x B．y＝2x+2 C．y＝2x2 D．y＝3x ▌题型03 函数自变量的取值范围 1.整式：全体实数； 2.分式：分母； 3.二次根式：被开方数； 4.复合型：联立不等式组； 5.实际应用：边长>0，时间，正整数等。 【典例1】（2026春•东丽区期末）函数有意义，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≥﹣2 【变式1-1】（2026•楚雄市二模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2 【变式1-2】（2026•内江模拟）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠﹣1 C． D．且x≠﹣1 【变式1-3】（2026•阜南县二模）下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y ▌题型04 函数值 1. 将自变量取值代入解析式，计算代数式的值，得到函数值。 2.万能解题步骤 （1）找双变量：确定自变量、因变量； （2）核验对应：一个是否对应唯一一个； （3）求取值范围：代数式有意义+实际约束； （4）代入求值，得到函数值。 【典例1】（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【变式1-1】（2026春•左权县期末）变量x与y的关系式为y＝2x﹣1，当x＝3时，y的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（2026春•汝阳县期末）当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣3 D．5 【变式1-3】（2026春•沙坪坝区期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 ▌题型05 函数图象的识别 1. 定坐标轴：明确横轴、纵轴代表的物理量。 2. 分阶段：依据情景找出全部变化节点。 3. 判走势：上升、水平、下降；陡峭、平缓。 4. 找特殊点：起点、终点、拐点、最值。 5. 逐项排除选项。 【典例1】（2026春•沙坪坝区校级期中）为了准备校园文化艺术节的舞台布置，小七需要完成一段背景墙的绘制．他先画了一段时间，后来因为要参加半期测试被迫停工几天．复工后，小七加快了绘制进度，最终按时完成了任务．下面能反映该工程尚未绘制的背景墙长度y（米）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026•南宁校级开学）冬季是感冒多发的季节，乐乐感冒后体温先增加，吃了感冒药后再降低，最后呈现平稳，如图能正确反映乐乐体温与时间变化的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026•仁怀市二模）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则如图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026春•鄂伦春自治旗期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． ▌题型06 从函数图象获取信息 1. 端点：图像起点、终点，对应自变量取值范围的边界。 2. 拐点：函数运动状态发生改变，是分段的分界点，可以读出坐标。 3. 与轴交点：自变量时刻对应的函数取值。 4. 与轴交点：函数值时刻对应的自变量取值。 5. 两条图像交点：自变量取该横坐标时，两个函数的函数值相等，可以列方程。 6. 图像在上：同一自变量，上方曲线函数值更大；图像在下，函数值更小。 【典例1】（2026•柳州模拟）某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，0＜b＜a，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•高新区校级期末）一辆出租车空载从乙地出发到甲地，匀速行驶了一段时间，中途遇到一个乘客要到乙地，于是它掉头以同样的速度向乙地行驶，到达乙地后休息了一会，又来了一个乘客有急事要去甲地，于是出租车加快速度开向甲地，则出租车离甲地的距离y与时间t之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•天府新区期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明家到书店的距离为1km C．小明在体育馆锻炼的时间为45min D．小明从书店到家步行的时间为40min 【变式1-3】（2026春•渠县校级期末）如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法错误的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度持续上升 ▌题型07 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法 ①表格法 把自变量取值以及对应的函数值，排列成表格； 优点：能够直接读取对应数值； 缺点：只能够体现有限组数据，难以看出整体变化趋势。 ②关系式（解析式）法 使用含有自变量的代数式表达函数； 优点：简洁完整，能够代入求出任意自变量对应的函数值； 缺点：无法直观观察增减、最值。 ③图像法 以自变量为横坐标、函数值为纵坐标描点，构成图形； 优点：直观观察增减、拐点、最值、变化快慢； 缺点：读数仅能够得到近似数值。 【典例1】（2026春•烟台期末）在△ABC中，BC边上的高是4厘米．当动点P在BC上由C向B运动时，设BP长为x厘米，△ABP的面积为y平方厘米，则y与x的关系式为 ． 【变式1-1】（2026春•垦利区期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛，经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工Ultra”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s（m）和赛跑时间t（min）之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： （1）本次比赛全程是 m，机器人 先到达终点； （2）机器人甲的平均速度是 m/min，其路程s和时间t的关系式是 ； （3）机器人乙由于故障在途中停留了 min，恢复运行后，机器人乙的速度 机器人甲的速度．（填“＞”“＝”或“＜”） 【变式1-2】（2026•徐州校级开学）甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示． 信息读取： （1）货车出发1小时走的路程为 千米； （2）客车到达终点所用的时间为 小时． 解决问题： （1）客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ （2）客车到达终点时，两车相距多少千米？ （3）若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”，则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 【变式1-3】（2026春•遂川县期末）一个装遂川狗牯脑茶的木质茶箱质量为3kg，当放入相同规格的狗牯脑茶罐数不同时（每个茶罐的质量相同），木质茶箱和茶罐的总质量相应变化． （1）直接写出下表中a，b的值，a＝ ，b＝ ； 茶罐个数 0 10 20 30 45 总质量/kg 3 5 a 9 b （2）设茶罐数量是x个，木质茶箱和茶罐总质量为ykg，则y与x的关系式是 ； （3）当木质茶箱和茶罐总质量为12kg时，求这个木质茶箱所装狗牯脑茶罐的数量． ▌题型08 动点问题的函数图象 1. 常见结论 （1）动点每抵达一个顶点，即为图像拐点，函数进入全新阶段。阶段数量=途经顶点个数。 （2）面积变化规律 - 底边恒定，高匀速增大：面积匀速变大，图像为上升直线。 - 底边恒定，高匀速减小：面积匀速变小，图像为下降直线。 - 高保持不变：面积恒定，图像为水平线段。 （3）  匀速运动，线段、面积的变化量与时间成一次关系，图像全部是折线段，不存在曲线。 2. 解题步骤 （1）定路径：标出动点起点、运动方向、整条轨迹。 （2）分阶段：以图形顶点作为分界，划分独立阶段。 （3）判趋势：每个区间内，面积（线段长）增大、不变、减小。 （4）求临界点：计算拐点对应的函数取值。 （5）排选项：走势错误直接剔除；数值不符进一步剔除。 【典例1】（2026春•济南期末）在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，点P从点B出发，沿边BC向点C以3cm/s的速度运动（点P不与点C重合）；点M是边AD上任意一点．设点P的运动时间为x（s），△MPC的面积为S（cm2），则S与x之间的关系式为（　　） A． B．S＝7（10﹣3x） C． D．不能确定 【变式1-1】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025秋•鲁山县期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD，动点E从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以m厘米/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（　　） A．144 B．138 C．124 D．118 【变式1-3】（2026春•东城区校级期中）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为 ； （2）当x＝2026时，y的值为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题40 认识函数 （题型突破·举一反三） ▌题型01 函数的概念 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】D． ▌题型02 函数关系式 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． ▌题型03 函数自变量的取值范围 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】D． ▌题型04 函数值 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】D． ▌题型05 函数图象的识别 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型06 从函数图象获取信息 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】D． ▌题型07 函数的三种表示方法 【典例1】y＝2x． 【变式1-1】 【解答】解：（1）根据图象可知，比赛全程是800m， 机器人甲所用时间为8min，机器人乙所用时间为9min， 所以机器人甲先到终点； 故答案为：800，甲； （2）根据象可知，平均速度为：800÷8＝100m/min， 路程s和时间t的关系式是：s＝100t； 故答案为：100，s＝100t； （3）根据图象可知，乙由于故障在途中停留了5﹣2＝3min， ∵s＝vt，同一时刻，s越大，v越大， ∴图象越为陡峭， ∵恢复运行后，乙的线比甲陡， ∴机器人乙的速度＞机器人甲的速度． 故答案为：＞． 【变式1-2】 【解答】解：信息读取： （1）∵客车出发时，两车相距60千米， ∴货车1小时走了60千米． 故答案为：60． （2）∵客车出发6小时时，两车距离最大， ∴6小时后客车到达终点原地休息，货车继续行驶，两车之间距离越来越小， ∴当货车也到达终点时，两车距离为0， ∴客车到达终点所用的时间为6小时． 故答案为：6． 解决问题： （1）货车的速度为60÷1＝60（千米/小时）， 客车的速度为600÷6＝100（千米/小时）， 客车追上货车用了60÷（100﹣60）＝1.5（小时）， 答：客车离开起点1.5小时后，客车追上货车． （2）当客车到达终点时，货车行驶的路程为60×（6+1）＝420（千米）， 两车相距600﹣420＝180（千米）， 答：客车到达终点时，两车相距120千米． （3）①当客车还未出发时，两车相距40km时，此时小时； ②当客车出发后还未到达终点，且两车相距40千米时， 当客车在货车后面40千米时离客车出发的时间为（60﹣40）÷（100﹣60）（小时）， 当客车在货车前面40千米时离客车出发的时间为． ③当客车已经到达终点，货车从距终点40千米至到达终点用了 （小时）， （）小时）， 答：两车“比较靠近”的时间持续了小时． 【变式1-3】 【解答】解：（1）已知木质茶箱质量为3kg，由表格得，10个茶罐与茶箱的总质量为：5kg， 10个茶罐总质量为：5﹣3＝2（kg），单个茶罐质量为：2÷10＝0.2（kg）， 茶罐个数为20时，总质量为：a＝3+20×0.2＝7； 茶罐个数为45时，总质量为：b＝3+45×0.2＝12． 故答案为：7；12； （2）根据题意可知，茶罐数量为x个时，总质量y等于茶箱质量加所有茶罐质量， 因此得y＝0.2x+3，x为非负整数． 故答案为：y＝0.2x+3（x为非负整数）； （3）总质量为12kg，即y＝12， 代入关系式得：12＝0.2x+3， 解得：x＝45， 答：这个木质茶箱所装狗牯脑茶罐的数量为45个． ▌题型08 动点问题的函数图象 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵当x＝4时，y＝8， ∴4k＝8，解得：k＝2， ∴y与x的函数关系式为y＝2x； 故答案为：y＝2x； （2）①当点P在线段AB上移动时，即0≤x≤4，； ②当点P在线段BC上移动时，即4＜x≤8，； ③当点P在线段CD上移动时，8＜x≤12，； ④当点P在线段DA上移动时，12＜x≤16，； ∴点P的运动轨迹是以16为单位循环， ∵2026÷16＝126⋯⋯10， ∴当x＝10时，y＝4， ∴当x＝2026时，y的值为4． 故答案为：4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $