概率与统计专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 系统覆盖概率统计全模块，以分层题型构建从概念到应用的逻辑链条，强化数学思维与数据意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件运算与条件概率|10题|选择/多选题为主，含充分条件判断|从事件关系（互斥/独立）到条件概率公式推导| |全概率与由果溯因|9题|解答题占比高，结合实际场景|先验概率→后验概率的因果推理链| |计数与排列组合建模|7题|含复杂情境计数（如3×3方格填数）|分步计数原理与排列组合模型构建| |分布列与期望|15题|涵盖离散型随机变量各类模型|从分布列建立到期望性质应用| |回归分析与独立性检验|6题|含表格数据处理与卡方检验|数据收集→相关性分析→模型预测|

概率与统计（含计数原理） 一、事件运算与条件概率 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 1. 对于事件A、B，，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.9 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 2. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第3题 3. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第8题 4. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. ★★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第7题 5. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 　　【多选题】 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第9题 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥 C. D. ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第9题 7. 若 ，则关于事件 的关系正确的是（   ） A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不互斥 C. 事件 与 不相互独立 D. 事件 与 相互独立 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第10题 8. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第11题 9. 设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第14题 10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 　　【解答题】 二、全概率与由果溯因 ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第6题 1. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第11题 2. 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第14题 3. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第13题 4. 有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第13题 5. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第13题 6. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） ★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第15题 7. 某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. （1）求该订单乘客接受动态调价的概率； （2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第16题 8. 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． （1）求该项目予以立项的概率； （2）记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第15题 9. 某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 三、独立性与乘法公式 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第5题 1. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第10题 2. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第9题 3. 某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，只答对一道试题概率为 D. 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 　　【填空题】 四、状态转移与递推 ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第5题 1. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 　　【多选题】 ★★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第11题 2. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 　　【填空题】 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第14题 3. 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第14题 4. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. ★★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第14题 5. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第14题 6. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 　　【解答题】 ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第17题 7. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为. （1）求与； （2）求； （3）当时，求随机变量的数学期望. ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第17题 8. 甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． （1）若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； （2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第17题 9. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第17题 10. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第17题 11. 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 五、计数与排列组合建模 ★★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第5题 1. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第17题 2. 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人同在组的概率； （2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率； （3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第11题 3. 从分别写有的张卡片中不放回随机抽取次，每次取张卡片，记第次取出卡片的数字为，定义为满足，的不同情况数，则（ ） A. B. C. D. （） 　　【填空题】 ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第14题 4. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 　　【解答题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第13题 5. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答） ★★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第14题 6. 有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第11题 7. 某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（    ） A. B. C. D. 第II卷 　　【填空题】 六、分布列的建立与期望 ★★　池州市普通高中2026届高三下学期教学质量统一监测 · 第7题 1. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 　　【多选题】 ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第14题 2. 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第14题 3. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第14题 4. 某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. ★★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第14题 5. 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第16题 6. 某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第17题 7. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第17题 8. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第17题 9. 已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第16题 10. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； （2）若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第17题 11. 某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. （1）求比赛结束后甲得3分的概率； （2）已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第16题 12. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． （1）若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； （2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第17题 13. 先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. （1）写出取值的集合； （2）比较取最小值和最大值时的概率值的大小； （3）在的条件下，求取得最大值的概率. ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第16题 14. 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响. （1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率； （2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望. ★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第15题 15. 甲、乙两人参加某高校入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 七、期望的性质与模型识别 ★★　恩施州2026届高三第二次质量监测 · 第9题 1. 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 ★★★　芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控 · 第17题 2. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 八、图表信息提取与估计 ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第9题 1. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这200名参赛者得分中位数为64 C. 得分在内的频率为 D. 得分在内的共有80人 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第9题 2. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C. 估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D. 当该小区的月用电标准定在时，该小区大约的居民用户用电量不受影响 ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第15题 3. 为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与． ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第17题 4. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第17题 5. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 九、数字特征与线性变换 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第5题 1. 已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第5题 2. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 　　【多选题】 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第9题 3. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第9题 4. 已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（ ） A. 中位数为3且平均数为5 B. 平均数为4且众数为4 C. 平均数为4且方差为3.2 D. 中位数为5且方差不小于7.2 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第9题 5. 已知一组数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a，b，c，d，e．设（，2，…，9），记新数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为A，B，C，D，E，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第9题 6. 已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（ ） A. B. C. D. ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第9题 7. 下列说法正确的是（ ） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第9题 8. 有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的极差等于原数据的极差 B. 新数据的平均数等于 C. 新数据的方差大于原数据的方差 D. 新数据的中位数等于 ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第13题 9. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 　　【解答题】 十、百分位数与结论辨析 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第7题 1. 将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第9题 2. 下列说法正确是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第10题 3. 下列结论正确有（ ） A. 若数据，，…，方差为9，则数据，，…，的方差为4 B. 若一组数据3，6，，，1260%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C. 若，，，则 D. 在的展开式中，项的系数为3 十一、正态分布 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第7题 1. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 2. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则（ ） A. B. C. D. ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第10题 3. 已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（ ）．（注：若，则，） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 ★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第12题 4. 已知随机变量，若，则______． ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第12题 5. 已知随机变量，且，则___________ ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第12题 6. 若随机变量，且，则________ ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第16题 7. 某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20 （1）已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； （2）已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 十二、回归分析与独立性检验 ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第9题 1. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 ★★　随州市2026届高三六校联考（一模） · 第14题 2. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.得到数据如下表： 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 53 65 71 76 85 根据上表可得经验回归方程中的，则经验回归方程中___________；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为__________min. ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第15题 3. 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； （2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第15题 4. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第16题 5. 某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； （3）该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第16题 6. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 15 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率与统计（含计数原理）（解析版） 一、事件运算与条件概率 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 1. 对于事件A、B，，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.9 策略　用 求出 ，再由 反解 。 。 由 得 。 答　选 A。 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 2. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 策略　由 、 独立把条件概率化为单个事件的概率。 、 相互独立，故 ，，得 。 。 答　选 C。 ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第3题 3. 设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 策略　逐项核对概率的基本性质。 A、B 分别是概率的非负性、规范性，C 是概率的单调性，都恒成立。 D： 时 ，而 ，等号当且仅当 、 互斥，不一定成立。 答　选 D。 ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第8题 4. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 策略　先由 求 ，再用 。 ，故 。 。 因 ，故 。 答　选 C。 ★★★　上饶市2026届高三第二次高考模拟考试 · 第7题 5. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 策略　把两个条件都翻译为" 与 独立"，判断等价性。 等价于 ，即 。 又 ，故 等价于 ，即 、 相互独立，也等价于 。 两者互为充要条件。 答　选 C。 　　【多选题】 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第9题 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥 C. D. 策略　由 与 的关系判断独立性，再逐项验证。 ，故 、 相互独立，A 对。 ，故 、 不互斥，B 错。 ，C 对。 ，其值不能确定为 ，D 错。 答　选 AC。 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第9题 7. 若 ，则关于事件 的关系正确的是（   ） A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不互斥 C. 事件 与 不相互独立 D. 事件 与 相互独立 策略　由 、 求 、，再与 比较。 ，，，故 、 相互独立，D 对、C 错。 又 ，、 不互斥，B 对、A 错。 答　选 BD。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第10题 8. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 策略　先用对称差公式求 ，再逐项计算。 ，解得 ，A 对。 ，B 错。 ，C 对。 ，，两者之和为 ，D 错。 答　选 AC。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第11题 9. 设是一个随机试验中的两个事件，记，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 策略　先用 理清三个量的关系，再逐项验证。 A：，对。 B： 只说明 、 独立，此时 ，一般不等于 。反例：取 且相互独立，则 ，，而 。B 错。 C：，对。 D：记 、、、，四数非负且和为 。由 ，而 、，同理 ，故 ，即 ，对。 答　选 ACD。 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第14题 10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 策略　在"至少出现一次正面"的条件下用古典概型计数，先数不出现连续三次正面的序列。 次抛掷共 种等可能结果，条件"出现正面"排除全反面 种，条件样本空间含 种。 按正面个数 计数不出现连续三个正面的序列： 有 种； 有 种； 有 种； 有 种（减去三次正面占据连续三位共 种）； 有 种； 时必出现连续三个正面，为 种。合计 种。 其中含至少一次正面的有 种，故所求概率为 。 答　。 　　【解答题】 二、全概率与由果溯因 ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第6题 1. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 策略　按摸到白球、红球两种情况对"回答是"的比例加权。 摸到白球（概率 ）时回答的是问题A，答"是"的概率为 ；摸到红球（概率 ）时回答的是问题B，答"是"的概率即吸烟比例 。 人回答"是"，比例为 ，由全概率得 ，解得 。 答　选 C。 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第11题 2. 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ） A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为 D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 策略　分别就"芯片为良品、次品"两种情形计算条件概率。 记芯片为良品为 。甲：，；乙：，。 A：，对。 B：，错。 C：，对。 D：，对。 答　选 ACD。 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第14题 3. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 策略　每次操作把 盒中一个黑球换成 盒的红球，红球数由 增至 需三次成功；当前有 个红球时，一次操作成功的概率为 。 表示恰在第 次操作完成，即第 次操作恰为第三次成功。 三次成功的概率依次为 （ 红）、（ 红）、（ 红）；若第 次操作完成，则此前恰有两次成功，此时盒中恰有 个红球，故该次成功概率为 。 。 ：前三次恰有两次成功，三种情形的概率之和为 ，再乘第 次成功的概率得 。 ：前四次恰有两次成功共六种情形，概率之和为 ，故 。 所以 。 答　。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第13题 4. 有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 策略　用全概率求"两次都红"与"第一次红"，再作条件概率。 甲、乙、丙盒各有 球，被选中的概率均为 。 。 。 所求 。 答　。 ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第13题 5. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 策略　分别对"含 个次品"与"含 个次品"两类包计算抽到 个全好的概率，再用全概率。 。含 个次品（即 好 次）的包：；含 个次品（ 好 次）的包：。 。 故 。 答　。 ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第13题 6. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 策略　按资源组人数分类枚举，注意电芯组人数多于资源组、每组至少一人、甲、乙不去资源组。 设资源组、电芯组、基建组人数分别为 ，则 ，，且三组均至少 人。 若 ，则 且 ，得 或 。资源组从除甲、乙外的 人中选 人，有 种； 时余下 人分两组各 人，有 种，共 种； 时有 种，共 种。 若 ，则 ，由 得 ，不合题意； 时同样不可能。 故安排方案总数为 。 答　。 ★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第15题 7. 某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. （1）求该订单乘客接受动态调价的概率； （2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. (1) 策略　三类出行目的构成完备事件组，用全概率公式。 。 (2) 策略　在"接受"已发生的条件下用贝叶斯公式。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第16题 8. 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． （1）求该项目予以立项的概率； （2）记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． (1) 策略　按两位初审专家的通过情况分类。 立项即"两位初审都通过"或"恰一位通过且复审通过"：。 (2) 策略　 为投"通过"票的专家人数，按初审结果分类。 两位初审都未通过（概率 ）时 ；恰一位初审通过（概率 ）时，复审通过则 （概率 ）、不通过则 （概率 ）；两位初审都通过（概率 ）时 。 故 ，，。 。 答　(1) ；(2) ，，，。 ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第15题 9. 某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. (1) 策略　本地、外地会员构成完备事件组，用全概率公式。 。 (2) 策略　会员总数远大于 ，两次抽取可视为独立重复试验。 每次抽取满意的概率为 ，：，，。 。 答　(1) ；(2) ，，，。 三、独立性与乘法公式 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第5题 1. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 策略　至少击中一次的对立事件是全部未击中，取对数估算 。 ，即 。两边取常用对数：。 ，。 故 ， 的最小值为 。 验证：，此时概率为 ；而 ，概率仅 。 答　选 A。 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第10题 2. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 策略　按从乙袋取出的 球中红球个数分类，确定甲袋组成后再求 。 乙袋 球中取 球： 红（概率 ）、 红 白（）、 白（），对应甲袋变为 红、 红 白、 红 白。 ，B 对；，A 错。 服从两点分布，，C 对；，D 错。 答　选 BC。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第9题 3. 某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 甲同学在第一轮答对试题的概率为 B. 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C. 甲同学经过三轮答题，只答对一道试题概率为 D. 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 策略　先用全概率求第一轮答对概率，再逐项验证。 记选 类为事件 ，则 ，；，。 A：，对。 B：，，故 ，错。 C：，对。 D：答对个数服从 ，，对。 答　选 ACD。 　　【填空题】 四、状态转移与递推 ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第5题 1. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（ ） A. B. C. D. 策略　按"状态 、状态 "两步转移率递推。 设 、 为初始状态 的粒子经 秒处于状态 、状态 的概率。状态 以 保持不变、 升级；状态 以 保持不变、 升级。 ，，且 ，。 ，；，；，。 故 秒后仍处于状态 和状态 的比例为 ，约 。 答　选 C。 　　【多选题】 ★★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第11题 2. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 策略　写出 的一阶递推式，再逐项判断。 由题意 ，且 。 A：，对。 B：消费 元即两次抽奖，中奖概率为 ，错。 C：不动点为 ，即 。由 、，且偶数项递减、奇数项递增均趋于 ，故 的最大值为 ，对。 D： 关于 单调递减，故 越大 越小，对。 答　选 ACD。 　　【填空题】 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第14题 3. 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. 策略　把"未连续出现两次向后"的计数转化为递推数列。 设 为长度 且不含连续两次向后的运动序列数，则 （末尾向前可接任意合法串，末尾向后则倒数第二位必须向前），且 ，。 故 （），。 。 由 、 得 ，故原式 。 答　。 ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第14题 4. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 策略　无上限时 服从参数 的首次变化型分布，截断只使其期望略减。 无" 次"限制时，，此时 。 限制 次后， 把 的概率归入 ，相当于把超出部分"截短"，故 。 显然 ，故 ，使 成立的最小正整数 。 答　。 ★★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第14题 5. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 策略　按第 1 次取出球的颜色分两类，写出 的分布列。 初始 白 黑。第 1 次取白（概率 ）后袋中为 白 黑；第 1 次取黑（概率 ）后袋中为 白 黑。 ；；。 。 答　。 ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第14题 6. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 策略　先求单轮答对概率，再对"未出现连续两轮答错"建立二阶递推。 单轮答对概率 ，答错概率 。 记 为前 轮未出现连续两轮答错的概率，构造 （ 轮合法且第 轮答对）、（ 轮合法且第 轮答错），则 ，，故 ，其中 ，。 特征方程 的根为 与 ，代入初值得 。 于是 ，前两项相消，余下 。 故 。 答　。 　　【解答题】 ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第17题 7. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为. （1）求与； （2）求； （3）当时，求随机变量的数学期望. (1) 策略　 服从超几何分布。 ，故 ，。 (2) 策略　按 的取值分类，注意摸到红球则红球数减 ，摸到白球则加 。 ，。 由 时摸白（必发生）或 时摸红（概率 ）产生。 。 (3) 策略　在 下先定 的分布，再求条件期望。 时袋中 红 白：摸红（）得 ，摸白（）得 。 时袋中 红 白，第二次必摸白，； 时袋中 红 白， 的概率为 ， 的概率为 。 。 答　(1) 、；(2) ；(3) 。 ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第17题 8. 甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． （1）若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； （2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． (1) 策略　甲第 次射击获胜要求前两轮双方均未命中。 。 (2) 策略　用等比级数写出一方获胜概率，再比较。 乙先射击时，乙在第 轮命中即获胜，故 ；甲获胜要求乙先失一枪、甲再命中，。 由 得 ，即 。 因 时 ，而 时取 充分接近 即会使不等式反向，故 的最小值为 。 答　(1) ；(2) 。 ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第17题 9. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． (1) 策略　对 1 号乘客所选座位分类讨论。 1 号乘客等可能选 号座位（各 ）。若他选 号，则其余乘客各就各位，4 号乘客坐 4 号；若选 号，则 4 号乘客必不能坐 4 号。 若选 号：2 号乘客从 中等可能选，选 时 4 号乘客坐 4 号；选 时 3 号乘客从 中等可能选，其中选 时 4 号乘客坐 4 号；选 时不成。故此时概率为 。 若选 号：2 号坐 2 号，3 号乘客从 中等可能选，选 时 4 号乘客坐 4 号，故概率为 。 。 (2) 策略　用期望的线性性，逐个求每位乘客坐到自己座位的概率。 1 号坐 1 号的概率为 ；2 号坐 2 号即 1 号未选 号，概率为 ； 3 号坐 3 号即 3 号座位未被前两人占用：； 4 号坐 4 号的概率由 (1) 得 。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第17题 10. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. (1)(i) 策略　按第 1 局胜者分类，用"三人各参与两局"反推需要的胜负。 若甲胜第 局（概率 ），第 局为甲与丙（丙先手），第 局为第 局胜者与乙。要求甲不再参与第 局，须丙胜第 局（概率 ），此时甲、乙、丙各参与两局。贡献 。 若乙胜第 局（概率 ），第 局为乙与丙（丙先手），第 局为第 局胜者与甲。此时甲、乙均恰好参与两局当且仅当丙胜第 局（概率 ）。贡献 。 故所求概率为 。 (1)(ii) 策略　比较第 局与第 局的参赛组合。 第 局参赛者为第 局胜者 与丙，第 局为第 局胜者 与第 局败者 ，第 局为第 局胜者 与第 局轮空者（即第 局败者 ）。 第 局与第 局参赛者完全相同当且仅当 ，即 在第 局取胜（第 局由 先手， 胜率 ），故概率为 。 (2) 策略　写出前 局中甲参赛次数的期望，再解不等式。 甲必参与第 局。记 为甲参与第 局的概率：；；。 故甲参与的平均次数为 。 由 得 ，即 ，亦即 。 解得 ，故 。结合 得 。 答　(1)(i) ；(ii) ；(2) 。 ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第17题 11. 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． (1) 策略　甲、乙两餐厅构成完备事件组，用全概率公式。 。 (2) 策略　 服从二项分布，由方差大于 列不等式求 。 ，，得 ，故 的最小值为 。 (3) 策略　比较服务费与期望赔付额。 未准时送达的概率为 ，每单期望净支出为 元。 因 ，期望亏损不超过 元，故他愿意购买"准时保"。 答　(1) ；(2) ；(3) 愿意购买，期望亏损为 元。 五、计数与排列组合建模 ★★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第5题 1. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 策略　先数"相邻两数奇偶性不同"的排列，再数其中 、 相邻的排列。 是奇数， 是偶数。相邻奇偶性不同要求奇偶交替，只有"奇偶奇偶奇偶"与"偶奇偶奇偶奇"两种模式，每种 种，共 种。 在"奇偶奇偶奇偶"模式中，设 在第 个奇数位（位置 ）、 在第 个偶数位（位置 ），相邻即 ，解得 或 ，共有 五组；每组其余数字有 种排法，故 种。 "偶奇偶奇偶奇"模式同理有 种，合计 种。所求概率为 。 答　选 C。 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第17题 2. 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人同在组的概率； （2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率； （3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． (1) 策略　平均分组属古典概型：先定 组即定全部分组。 人分成 、 两组各 人，分法数为 ；甲、乙同在 组需再从其余 人中选 人入 组，有 种，故概率为 。 (2) 策略　用对立事件：三天都不担任组长。 甲所在组共 人，某天甲被选为组长的概率为 ，三天都不担任的概率为 ，故至少担任一次的概率为 。 (3) 策略　每组两天内"至少担任一次"的人数为 或 ，两组独立求分布。 每组连续两天各选一名组长：两天为同一人（只有 人担任过）的概率为 ，两天为不同人（ 人担任过）的概率为 。 两组相互独立，故 可取值 ：，，。 。 答　(1) ；(2) ；(3) ，，，。 ★★★　佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第11题 3. 从分别写有的张卡片中不放回随机抽取次，每次取张卡片，记第次取出卡片的数字为，定义为满足，的不同情况数，则（ ） A. B. C. D. （） 策略　 是" 位且各位 "的选排列数，逐项用容斥或反例检验。 A： 时只需 ，共 种，对。 B：； 由 种排列去掉 的 种与 的 种、补回兼有的 种，得 ； 是 个元素的错排，共 种。故 ，对。 C：取 ，，则 ，而 ，，错。 D：由容斥 ，取 得 ，而 ，错。 答　选 AB。 　　【填空题】 ★★★　湘潭市2026届高三二模 · 第14题 4. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 策略　三条链给出顺序关系，用"插空 + 线性延拓"计数。 约束为 与 ，而 、 无约束。 先排 与 ： 的相对次序固定， 必为最大，只需从 个位置中选 个安放 （先后固定），共 种。 再插入 个无约束元素 、：在 个位置中选 个并排序，共 种。 故填数方法共 种。 答　。 　　【解答题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第13题 5. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答） 策略　把 4 秒位移分解为四个方向的步数，用排列计数。 以舞台中心为原点，起点为 ，需 4 秒后到达 ，即总位移为 。 设向东、向西、向南、向北的步数分别为 ，则 ，，，得 ，，。 当 时路径数为 ；当 时路径数为 。 故共有 条路径。 答　。 ★★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第14题 6. 有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． 策略　 是 上的置换，" 轮后复原"即 ，按轮换型计数。 当且仅当 的每个轮换长度都整除 。 允许的轮换型及个数： 共 个； 共 个； 共 个； 共 个； 共 个； 共 个。 排除 型（轮换长 不整除 ）。故符合条件的函数共 个。 答　。 ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第11题 7. 某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（    ） A. B. C. D. 第II卷 策略　把最大值、最小值事件转化为"全部数据落在某区间"的概率。 A：、 都等于第一个数，，A 对。 B：，B 对。 C：，C 错。 D：，D 对。 答　选 ABD。 　　【填空题】 六、分布列的建立与期望 ★★　池州市普通高中2026届高三下学期教学质量统一监测 · 第7题 1. 现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 策略　把"黑球全在白球左侧"化归为白球位置的分组计数。 白球在第 号抽屉时，左侧 个抽屉中取 个放黑球，有 种，且 。 总情况数 ，故 ，，。 。 答　选 A。 　　【多选题】 ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第14题 2. 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______. 策略　用指示变量把"非空盒个数"写成三个 变量之和。 设 表示第 个盒子非空，则 。 。 （分布列核对：，，，期望同为 。） 答　。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第14题 3. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 策略　按数字 、、 出现次数分类， 为三者中的最大值，且 。 每次抽到 的概率为 ，抽到 、 各为 ，三者之和为 ，故 。 ：某数字出现 次，。 ：分 与 两型。 型概率为 ； 型为 。故 。 ： 出现 次时 ； 或 出现 次时 。故 。 。 答　。 ★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第14题 4. 某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 策略　每轮从 个球的非空子集中等可能取一个，先列出各子集得分，再按两轮得分和为 分类。 个非空子集的得分为：，，，，，，。 故每轮得 分的概率依次为 。 两轮合计 分的情形为 ：。 答　。 ★★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第14题 5. 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 策略　 即两个黄球所在位置的最大值，位置组合等可能。 个位置中等可能放 个黄球： 时另一黄球在 号中，。 。 答　。 ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第16题 6. 某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： (1) 策略　"只在非负半轴"即五个前缀和均非负，按终点分类数路径。 终点 （ 为向右步数）， 步后 即 次向右、 次向左。 由反射法，终点为 的非负路径数分别为 、、，共 条，其中 的 条。故 。 (2) 策略　由频数加权求样本平均数，再令 与之相等求 。 ①。 ② 步后 ，故 。令 ，得 ，保留两位小数为 。 答　(1) ；(2)① ；② 。 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第17题 7. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. (1) 策略　乙每题答对概率为 ，用二项分布算至少两题答对。 。 (2) 策略　设 分别表示 是否答对，则 ，逐种情形求和。 ，，， ，， ，。 。 (3) 策略　写清乙的得分 的分布，再求条件概率。 取 ，概率依次为 。 "乙获胜"即 ：。 其中甲总分不低于 分的情形：。 所求条件概率为 。 答　(1) ；(2) 分布列如 、、、、、、，；(3) 。 ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第17题 8. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. (1) 策略　按该题正确选项个数分类。 。 (2) 策略　 取 ，分别对应"选错""正确项 个且选中""正确项 个且选中"。 ，，。 。 (3) 策略　写出 后作差比较。 得 分即选中的 个恰为正确选项：；得 分即正确项 个且选中其中 个：。 。 ，结合 得当且仅当 时成立。 答　(1) ；(2) ，，，；(3) 证毕。 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第17题 9. 已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． (1) 策略　由位置对称性，各位置为黄球的概率相同。 个球随机排列，任一位置是黄球的概率均为 ，故第二次取出黄球的概率为 。 (2) 策略　"黄球最先被取完"等价于序列中首次出现黄球之前已出现红球与黑球。 ，：红球 个、黑球 个。记 ，，。 故所求概率为 。 (3) 策略　 个黄球所在位置构成等可能的 元子集，用组合恒等式求和。 。由 得 。 答　(1) ；(2) ；(3) 证毕。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第16题 10. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； （2）若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ (1) 策略　把"成绩为 分"分成甲被淘汰与乙三次全失两类。 甲三次全失的概率为 ；进入第二阶段后乙三次全失的概率为 ，该情形概率为 。 ，所求条件概率为 。 (2) 策略　分别写出"甲先"与"乙先"的期望并作差。 甲先：；乙先：。 。由 且 知该式为正。 故应让甲参加第一阶段的比赛，比赛成绩的期望更好。 答　(1) ；(2) 由甲参加第一阶段比赛更好。 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第17题 11. 某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. （1）求比赛结束后甲得3分的概率； （2）已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. (1) 策略　答对 题得 分，得 分即答对 题。 。 (2) 策略　先写甲的得分分布，再算"甲获胜"与"甲获胜且乙得 分"。 甲得分 的分布：，，，。 。 乙得 分即答对 题，概率为 ；甲高于 分只能取 分，故 。 由条件概率 得 ，整理得 ，即 。 因 ，取 的正根 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第16题 12. 甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． （1）若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； （2）设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. (1)(i) 策略　甲已胜两局，乙需先于甲取得两胜时先取得四胜。 乙连胜四局：；或五局中乙胜四局且唯一的甲胜局在前四局：。故 。 (1)(ii) 策略　打满七局即第 局中甲恰胜 局。 。 (2) 策略　写出 与 的概率并解不等式。 ：甲在第 局取得第 胜（前 局甲胜 局）为 ；乙在第 局取得第 胜为 。故 。 ：前 局甲胜 局、乙胜 局，第 局任意一方取胜，。 由 得 ，即 ，，解得 或 。 故 的取值范围为 。 答　(1)(i) ；(ii) ；(2) 。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第17题 13. 先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. （1）写出取值的集合； （2）比较取最小值和最大值时的概率值的大小； （3）在的条件下，求取得最大值的概率. (1) 策略　绝对值之和可化为最大与最小之差的两倍。 不妨设 ，则 ，故 取值的集合为 。 (2) 策略　分别求 与 的概率。 。 即最大为 、最小为 ，情况数为 ，。 因 ，故取最大值时的概率更大。 (3) 策略　在 的条件下作条件概率。 。 答　(1) ；(2) ，最大值时概率更大；(3) 。 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第16题 14. 甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响. （1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率； （2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望. (1) 策略　三局中用二项分布求甲至少胜两局。 。 (2) 策略　按结束时的局数分类： 局为一方连胜， 局为一方前三局胜两局， 局为前四局 。 ；；。 。 答　(1) ；(2) ，，，。 ★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第15题 15. 甲、乙两人参加某高校入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. (1) 策略　先求各自通过面试的概率（两次都答错的补事件）。 甲通过概率为 ，乙通过概率为 。 恰有一人通过：。 (2) 策略　每人答题次数只有 、 两种， 为两者之和。 甲答题次数 ：，；乙答题次数 ：。 ，，。 。 答　(1) ；(2) ，，，。 七、期望的性质与模型识别 ★★　恩施州2026届高三第二次质量监测 · 第9题 1. 设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（ ） A. 样本估计总体时，总体的均值一定为 B. 反应了取值的平均水平 C. D. 若服从分布，则 策略　逐项检查期望的性质与统计含义。 A：用样本估计总体时，总体均值是客观定值， 只是估计值，不一定相等，错。 B： 是 取值的加权平均，反映取值的平均水平，对。 C：，故 ，对。 D： 分布中 ，对。 答　选 BCD。 ★★★　芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控 · 第17题 2. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. (1) 策略　按编号除以 的余数分类计数。 个组合中和为 的倍数：两数同余 的 （ 个）与一数余 、一数余 的 个，共 个，。 (2) 策略　记第 次是否换人由 表示（），各 独立且取值 的概率为 ；第 次为乙当且仅当 为奇数。 ，，。 故 ；逐一列出前 次的身份可得 ，，，。 (3) 策略　第一次是乙，第 次是乙当且仅当 为偶数。 奇偶性满足 ，故第 次是乙的概率为 。 答　(1) ；(2) ，，，，；(3) 。 八、图表信息提取与估计 ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第9题 1. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这200名参赛者得分中位数为64 C. 得分在内的频率为 D. 得分在内的共有80人 策略　由频率和为 求 ，再逐项计算中位数、频率与人数。 ，得 ，A 对。 中位数：前两组频率 ，第三组 ，设中位数为 ，则 ，得 ，B 错。 的频率为 ，C 对； 的频率为 ，人数为 ，D 对。 答　选 ACD。 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第9题 2. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C. 估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D. 当该小区的月用电标准定在时，该小区大约的居民用户用电量不受影响 策略　先由频率和为 定出 ，再逐项判断各统计量。 各矩形高依次为 ，，，，，，由 解得 ，A 错。 各区间频率依次为 ，，，，，。 下四分位数：累计频率在 内达到 ，故为 （），B 对。 的频率为 ，约为一半，C 对。 处的累计频率为 ，即约 ，D 对。 答　选 BCD。 ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第15题 3. 为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表． 成绩区间 [160，170） [170，180） [180，190） [190，200） [200，210） [210，220] 频率 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.10 （1）计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与． (1) 策略　众数取最高频率区间的中点，平均数用各组中点加权。 频率最高的区间为 ，众数约为 ； 平均数约为 。 (2) 策略　先按分层抽样确定各等级抽取人数，再用超几何分布。 A、B、C 三等级人数分别为 、、，共 人。按比例抽取 人：A 等 人，B 等 人，C 等 人。 从 人中抽 人， 为其中来自 A 等级的人数：，，。 。 答　(1) 众数约为 ，平均数约为 ；(2) ，，，。 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第17题 4. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. (1) 策略　由直方图求各区间频率与人数，优秀为 。 各区间频率依次为 ，对应人数 ，故优秀人数为 。 (2) 策略　分层抽样确定各段人数后按超几何分布。 分数不低于 分共 人，按比例抽 人，即 取 人、 取 人、 取 人。 从 人中抽 人， 为来自 的人数：，，，。 (3) 策略　，用相邻两项比值判断最大值位置。 优秀概率为 ，，。 当 时该比值大于 ，当 时小于 ，故 在 处最大。 答　(1) 人；(2) 分布列如上，；(3) 。 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第17题 5. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. (1) 策略　用各区间中点值加权求平均等待时间。 （分钟）。 (2)(i) 策略　由 直接作条件概率。 ，证毕。 (2)(ii) 策略　由无记忆性知剩余等待时间仍服从同一指数分布，再按费用求期望。 由 (i) 知 的分布与 相同（仍为参数 的指数分布），故 ，。 交通费用均值 （元）。 答　(1) 分钟；(2)(i) 证毕；(ii) 元。 九、数字特征与线性变换 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第5题 1. 已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 20 策略　两组数据前三个数相同且后两数之和相同（），故平均数相同，只需比较平方和。 设 的平方和为 。错看数据的方差为 ，正确数据的方差为 ，两者均值同为 。 两式相减得 ，故 。 答　选 C。 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第5题 2. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 策略　逐项计算两数组的极差、方差、 分位数与平均数。 ：，极差 ；：，极差 ，故 A 错； 更集中，方差不同，B 错。 分位数： 中 非整数，取第 个为 ； 中 为整数，取第 、 个的平均数 ，故 C 错。 平均数： 为 ， 为 ，相同，D 对。 答　选 D。 　　【多选题】 ★★　苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第9题 3. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 策略　由 百分位数定出 ，再逐个计算统计量。 非整数，取第 个数据为 百分位数，故第 个数据为 ，得 ，数据为 。 A：极差 ，对。B：中位数为 ，对。 C：剔除 后为 ，平均数为 ，与原平均数 相同，不是变小，错。 D：原方差 ，剔除后方差 ，方差变大，错。 答　选 AB。 ★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第9题 4. 已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（ ） A. 中位数为3且平均数为5 B. 平均数为4且众数为4 C. 平均数为4且方差为3.2 D. 中位数为5且方差不小于7.2 策略　按各选项的条件尝试构造或证明不可能。 A：取 ，中位数为 、平均数为 ，且含 ，可能，A 对。 B：取 ，平均数为 、众数为 ，且含 ，可能，B 对。 C：平均数 即和为 ；方差 即 ，而单个 已贡献 ，其余数据只能是 ，此时和为 ，矛盾，不可能，C 错。 D：取 ，中位数为 ，平均数 ，，方差 ，可能，D 对。 答　选 ABD。 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第9题 5. 已知一组数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a，b，c，d，e．设（，2，…，9），记新数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为A，B，C，D，E，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 策略　线性变换 对各统计量的影响。 平均数、中位数、众数都随数据整体线性变换：，，（不是 ）。 极差只受倍数影响：；标准差同样只受倍数影响：。 故 且 ， 且 。 答　选 AC。 ★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第9题 6. 已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（ ） A. B. C. D. 策略　线性变换 对各统计量的影响，注意方差只乘倍数平方。 ，（不减 ），，。 故 A、C、D 正确，B 错误。 答　选 ACD。 ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第9题 7. 下列说法正确的是（ ） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 策略　逐项检验：分位数规则、独立性判定、线性变换下的数字特征、相关系数的含义。 A： 为整数，第 百分位数为 ，A 错。 B：，故 ，相互独立，B 对。 C： 的平均数为 ，极差为 ，中位数为 ，C 对。 D：线性相关程度越强， 越接近 ，而 可能接近 ，D 错。 答　选 BC。 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第9题 8. 有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的极差等于原数据的极差 B. 新数据的平均数等于 C. 新数据的方差大于原数据的方差 D. 新数据的中位数等于 策略　注意 不是同一个线性变换，逐个统计量分析。 A：极差为 ，比原极差大 ，A 错。 B：，B 对。 C：，新方差 。因 递增、 递增，交叉项 ，故新方差大于原方差，C 对。 D： 递增且 递增，故 仍递增，中位数为 ，D 对。 答　选 BCD。 ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第13题 9. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 策略　把 看成关于 的二次函数。 ，其图象开口向上，最小值在 处取得。 由 得 。 答　。 　　【解答题】 十、百分位数与结论辨析 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第7题 1. 将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　按教材分位数规则： 为整数时取第 个与第 个数据的平均数。 为整数，故 分位数为第 、 个数据的平均数，即 ，得 。 由 得 ，，于是 。 函数 在 上递减，，，故取值范围为 。 答　选 C。 ★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第9题 2. 下列说法正确是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 策略　逐项检验正态分布对称性、独立性下的加法公式、方差变换与 的含义。 A： 关于 对称， 与 关于 对称，故 ，A 对。 B：、 独立时 ，一般不等于 ，B 错。 C：数据 的方差为 ，C 对。 D： 越接近 ，残差平方和越小，回归拟合效果越好，D 对。 答　选 ACD。 ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第10题 3. 下列结论正确有（ ） A. 若数据，，…，方差为9，则数据，，…，的方差为4 B. 若一组数据3，6，，，1260%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C. 若，，，则 D. 在的展开式中，项的系数为3 策略　逐项检验方差变换、分位数、独立性与二项展开式系数。 A：数据 的方差应为 ，A 错。 B：数据 中 为整数， 分位数为 ，故 ， 的值可能为 ，，B 对。 C：由 知 、 相互独立，故 ，C 对。 D： 中取 的次数 与取 的次数 满足 且 ，得 或 ，故系数为 ，D 对。 答　选 BCD。 十一、正态分布 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第7题 1. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 策略　把四个概率化为标准正态分布函数值比较。 ，。，，。 A：，A 错；B：，B 错。 又 ，，。 C：，C 错；D：，D 对。 答　选 D。 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第6题 2. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 策略　利用正态曲线的对称性定位 。 且 ，故 ， 与 关于 对称，得 。 于是 。 答　选 D。 ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第10题 3. 已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（ ）．（注：若，则，） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 策略　，利用关于 的对称性分析两个函数。 A：，A 对。 B：，B 错。 C：，由 关于 对称（ 与 同分布）得 ，故图象关于直线 对称，C 对。 D：，由对称性 ，即 ，故图象关于点 对称而非 ，D 错。 答　选 AC。 ★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第12题 4. 已知随机变量，若，则______． 策略　利用正态曲线关于 的对称性。 与 关于 对称，故 ，于是 。 答　。 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第12题 5. 已知随机变量，且，则___________ 策略　由对称性列方程。 说明 与 关于 对称，故 ，得 。 答　。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第12题 6. 若随机变量，且，则________ 策略　先判断两数是否关于 对称。 ，故 与 关于 对称，有 。 于是 。 答　。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第16题 7. 某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20 （1）已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； （2）已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． (1) 策略　用两组数据的加权平均估计 ，再判断区间与 的关系。 样本平均误差为 ，故 。 又 ，则 ，区间 即 ，故 。 估计特等品件数为 （件）。 (2) 策略　 服从二项分布。 ：，即 ，，，，。 。 答　(1) 件；(2) 分布列如上，。 十二、回归分析与独立性检验 ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第9题 1. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线过点 C. D. 当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 策略　由表中数据求两个均值与回归系数，再逐项判断。 ，。 A： 随 增大而增大，，A 对。 B：回归直线必过 ，B 错。 C：，，故 ，C 对。 D： 时 ，D 对。 答　选 ACD。 ★★　随州市2026届高三六校联考（一模） · 第14题 2. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.得到数据如下表： 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 53 65 71 76 85 根据上表可得经验回归方程中的，则经验回归方程中___________；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为__________min. 策略　回归直线过样本中心点，先求中心点再求 。 ，。 由 ，得经验回归方程 。 当 时，（）。 答　；。 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第15题 3. 为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 （1）根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； （2）求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． (1) 策略　直接套相关系数公式，注意约去根式中的近似值。 ，说明温差与百粒发芽数呈高度正相关。 (2) 策略　先求回归系数，再用样本中心点求截距并作预测。 ，。 ，，故 。 当 时，（粒）。 答　(1) ，高度正相关；(2) ，约 粒。 ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第15题 4. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． (1) 策略　用参考数据求回归系数与截距。 ，。，。 故 ；当 时，（亿元）。 (2) 策略　三天抽取属独立重复试验，用二项分布。 ：，，，。 。 答　(1) ，估计为 亿元；(2) 分布列如上，。 ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第16题 5. 某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； （3）该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． (1) 策略　由行、列合计逐格补齐。 由高频组合计得 ；由总人数得 ，故 ；列合计 ，（检验 ）。 (2) 策略　代入 公式并与临界值比较。 。 因 ，故依据 的独立性检验，认为体育锻炼频次与体质达标有关联。 (3) 策略　分层抽样后按超几何分布求"至多 人来自高频组"。 体质不达标共 人，其中高频 人、低频 人，按 抽取 人，即高频 人、低频 人。 从 人中抽 人，至多 人来自高频组：。 答　(1) ，，，，；(2) ，有关联；(3) 。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第16题 6. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 15 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： (1) 策略　用样本中心点与参考数据算相关系数。 ，。，，。 ，说明 与 高度正相关。 (2) 策略　求回归方程后作预测。 ，，故 ；当 时 （万）。 (3) 策略　以 与 计算概率，与 比较。 ，而由对称性 ，故 。 因 ，故该月日参与人数超过 万的天数预计不少于 天。 答　(1) ，高度正相关；(2) ，约 万；(3) 不少于 天。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $