统计与概率：利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦全概率与贝叶斯公式的专项突破，通过分层典例构建"问题情境-公式应用-变式迁移"的逻辑链，强化概率推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用全概率公式求概率|6例+6变式|多阶段/多原因事件概率（如取球、天气、比赛晋级）|基于样本空间划分，通过"原因→结果"的概率叠加，培养推理意识| |利用贝叶斯公式求概率|4例+4变式|已知结果反推原因概率（如产品来源、检测结果溯源）|全概率公式的逆用，通过"结果→原因"的概率修正，发展模型观念|

2027届高三数学一轮复习专项训练 统计与概率：利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率专项训练 考点目录 利用全概率公式求概率 利用贝叶斯公式求概率 考点一 利用全概率公式求概率 例1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解. 【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则，，， 所以， 则. 例2．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 【答案】B 【详解】设事件：今天晴天；：明天晴天，：明天阴天； ：后天晴天，：后天阴天. 已知，，，，. 由全概率公式得， . 例3．（2026·云南·模拟预测）记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据全概率、条件概率、和事件的概率计算公式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 例4．（2026·海南海口·模拟预测）甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 【答案】 【详解】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，则为“从甲袋中取出的球为白球”， 由题意得， 若发生，则此时乙袋中有2个红球，2个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 若发生，则此时乙袋中有1个红球，3个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 所以. 例5．（2026·四川自贡·模拟预测）在一个游戏中，玩家选择战士、法师、猎人的概率分别为、、，战士、法师、猎人触发“宝藏事件”的概率分别为、、．现在随机选择一名玩家，则该玩家触发宝藏事件的概率为______． 【答案】0.26 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设玩家选择战士、法师、猎人分别为事件、、， 随机选择一名玩家触发宝藏事件为事件， 则由全概率公式得： . 例6．（2026·陕西西安·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率乘法公式及条件概率公式求解即可. （2）根据概率乘法公式及加法公式求解即可. （3）根据概率乘法公式、条件概率公式及加法公式求解即可. 【详解】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为. 变式1．（2026·重庆江北·模拟预测）有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用全概率公式，分从甲袋取出红球、白球两类互斥情形，分别计算对应条件下从乙袋取出红球的概率，求和得到总概率. 【详解】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，事件为“从甲袋中取出的球为白球”，事件为“从乙袋中取出的球为红球”. 显然与为互斥事件，且为样本空间的完备事件组. ，； 若发生，乙袋变为3个红球、3个白球，共6个球，故； 若发生，乙袋变为2个红球、4个白球，共6个球，故； 由全概率公式得： . 变式2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率为，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为，不上场的情况下甲队获胜的概率为，则A队员每局上场的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设A队员每局上场的概率为p，则不上场的概率为，由全概率公式可知，解得. 故选：B. 变式3．（2026·山西忻州·模拟预测·多选）有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C．在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D．在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 【答案】ABC 【详解】设抽到甲硬币为事件甲，设抽到乙硬币为事件乙， 抽到甲硬币且的概率：， 抽到甲硬币且的概率：， ， 抽到乙硬币且的概率：， 抽到乙硬币且的概率：， . 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确. 对于D，在事件发生后，取得甲硬币的概率：， 在事件发生后，取得乙硬币的概率：，在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为，D错误. 变式4．（2026·广东深圳·模拟预测）长时间玩游戏可能影响视力，据调查，某中学学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩游戏超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩游戏不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为：______． 【答案】0.4/ 【分析】根据条件概率及全概率公式求解即可． 【详解】设事件A：“学生近视”，事件B：“学生每天玩游戏超过1小时”， 则：“学生每天玩游戏不超过1小时”， 由题意知，，，， 由全概率公式：， 代入数据：． 变式5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算求解即可. 【详解】记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件， 事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格， 事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥）， 由题意可知，， 所以， ，， ， 所以， 所以第二次检验后整体不合格的概率为. 变式6．（2026·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. (1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； (2)求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望. （2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解. 【详解】（1）第一轮答题后甲的总分X可取， ，，，     X的分布列为 . （2）记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1； 所以 解得 ，      所以甲在这次竞赛中获胜的概率. 考点二 利用贝叶斯公式求概率 例1．（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 例2．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 例3．（25-26高三上·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 例4．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某校为了解初一学生的体能素质，随机抽取了名学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)①求的值； ②估算这名学生跳绳次数的中位数（精确到）； (2)规定跳绳次数不低于次为“优秀”.现从样本中利用分层抽样的方法抽取人进行复测.已知优秀组的复测通过率为，非优秀组的复测通过率为.若有个人通过复测，试求这个人来自优秀组的概率.（每个学生参与复测的成绩互不影响） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值； ②设中位数为，分析可知，利用中位数的定义可得出关于的等式，即可解得实数的值； （2）记事件表示某一个人通过复测，事件表示这个人是优秀组的，事件表示这个人是非优秀组的，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】（1）①根据题图中信息知：，可得； ②数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为， 设这名学生跳绳次数的中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得. （2）由题图知，优秀率是， 则按分层抽样抽出的个学生中，有个优秀，个人非优秀. 记事件表示某一个人通过复测，事件表示这个人是优秀组的，事件表示这个人是非优秀组的. 由题意可得，，则， 故. 则， 所以若有个人通过复测，则这个人来自优秀组的概率是. 变式1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 变式2．（25-26高二下·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，利用全概率公式求出的值，再结合条件概率公式求出的值. 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品， 则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 变式3．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【答案】 【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”． 由题意可得：，，，，，． 根据全概率公式可得：， 即， 则他能晋级的概率为． 根据贝叶斯公式可得：， 则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为． 变式4．（25-26高三上·甘肃白银·期中）在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. (1)分别求接收信号为和的概率； (2)已知接收信号为，求发送信号是的概率. (3)现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 【答案】(1)0.39；0.61 (2) (3)0.01555 【分析】（1）先定义事件，再梳理条件概率，最后套用全概率公式可得结果； （2）根据结果，反推原因，可使用贝叶斯公式算出条件概率； （3）用二项分布计算每种情况的条件概率，再用全概率公式计算总错误可得结果. 【详解】（1）设“发送的信号为”，“接收的信号为”，则“发送的信号为”，“接收的信号为”. 由题意得，，， ，，， 则， ； （2）； （3）错判发送， 错判发送， 判错 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 统计与概率：利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率专项训练 考点目录 利用全概率公式求概率 利用贝叶斯公式求概率 考点一 利用全概率公式求概率 例1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 例3．（2026·云南·模拟预测）记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·海南海口·模拟预测）甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 例5．（2026·四川自贡·模拟预测）在一个游戏中，玩家选择战士、法师、猎人的概率分别为、、，战士、法师、猎人触发“宝藏事件”的概率分别为、、．现在随机选择一名玩家，则该玩家触发宝藏事件的概率为______． 例6．（2026·陕西西安·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 变式1．（2026·重庆江北·模拟预测）有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）甲、乙两队篮球比赛中，甲队每局获胜的概率为，甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为，不上场的情况下甲队获胜的概率为，则A队员每局上场的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山西忻州·模拟预测·多选）有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C．在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D．在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 变式4．（2026·广东深圳·模拟预测）长时间玩游戏可能影响视力，据调查，某中学学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩游戏超过1小时，这些人的近视率约为．现从每天玩游戏不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为：______． 变式5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 变式6．（2026·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. (1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； (2)求甲在这次竞赛中获胜的概率. 考点二 利用贝叶斯公式求概率 例1．（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 例4．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某校为了解初一学生的体能素质，随机抽取了名学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)①求的值； ②估算这名学生跳绳次数的中位数（精确到）； (2)规定跳绳次数不低于次为“优秀”.现从样本中利用分层抽样的方法抽取人进行复测.已知优秀组的复测通过率为，非优秀组的复测通过率为.若有个人通过复测，试求这个人来自优秀组的概率.（每个学生参与复测的成绩互不影响） 变式1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 变式4．（25-26高三上·甘肃白银·期中）在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. (1)分别求接收信号为和的概率； (2)已知接收信号为，求发送信号是的概率. (3)现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $