精品解析：第二十七届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级

**基本信息** 小学五年级竞赛卷，20道填空题融合生活情境与几何、数论知识，训练抽象思维与空间观念，适配竞赛选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|盈亏问题（分气球）、立方体体积（零件重量）、互质数（最小公倍数）、图形面积（三角形AEF）|结合生活情境（水果店苹果重量）、推理与创新（三个立方体数字之和取值）、几何直观（阴影面积计算）|

第二十七届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学五年级 一、填空题。 1. （1）（ ）。 （2）（ ）。 （3）（ ）。 （4）（ ）。 【答案】 ①. 2021 ②. 13 ③. 2044242 ④. 【解析】 【分析】（1）可通过积不变的规律将式子变形，2.021×430转化为20.21×43，202.1×2.8转化为20.21×28，这样使各项有相同的因数20.21，再利用乘法分配律进行简便计算。 （2）先将等式左边进行化简，每个括号里都是公差为2的等差数列，先求出项数，项数＝（末项－首项）÷公差＋1，然后去括号，再两两重新组合，总共有项数个组合，每一个组合算出来是1，算出左边的总和，相当于右边的积。已知质因数有7和11，求另外一个因数。 （3）观察式子规律，发现每两项可以利用乘法分配律进行化简，然后对化简后的式子进行提取公因数2，剩下的刚好是一个公差为2的等差数列，再利用求和公式进行计算。等差数列项数＝（末项－首项）÷公差＋1，和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）观察式子，关键在于对原式中的每一项进行变形，将其拆分成一个整数与一个分数的和的形式，分母利用平方差公式，，然后分别对整数部分和分数部分进行计算，整数部分的项数可以参照分母中前一个因数，它们成公差为2的等差数列，项数＝（末项－首项）÷公差＋1，最后分数部分利用裂项相消进行简便计算。 【详解】（1） （2） 项数： 左边 即 空白部分： （3） （4） 2. “六一”儿童节快到了，学校向每个班级分发气球布置教室。如果每个班分20个气球，则多了130个；如果每个班分25个气球，则多了15个。一共有（ ）个气球。 【答案】590 【解析】 【分析】用第一次分配多的气球数量减去第二次分配多的气球数量，可得两次分配的总差额；用第二次每个班分的气球数量减去第一次每个班分的气球数量，可得每班分配的差额；因为两次分配的总差额是由于每班多分了5个气球造成的，所以用总差额除以每班分配的差额，即可得到班级数量；用班级数量乘每个班分的气球数量再加上多的气球数量，即可得气球的总数量。 【详解】130－15＝115（个） 25－20＝5（个） 115÷5＝23（个） 23×20＋130 ＝460＋130 ＝590（个） 3. 水果店运来橘子300千克，运来的葡萄比橘子多50千克，运来苹果的重量比葡萄的2倍少50千克，运来的苹果比橘子多（ ）千克。 【答案】350 【解析】 【分析】按照题目给出的顺序一步步算出每种水果的重量就可以了。 先根据橘子重量算出葡萄重量，再用葡萄重量算出苹果重量，最后用苹果重量减去橘子重量，就能求出多出的重量，全程使用基础的加减、乘法计算。 【详解】（300＋50）×2－50－300 ＝350×2－50－300 ＝700－50－300 ＝350（千克） 4. 有个零件形状如下图，如果这个实心零件是由铁制造的，1立方厘米铁的重量是7.8克，这个零件重（ ）克。 【答案】3276 【解析】 【分析】这个不规则图形的体积可以用完整的长方体减小的，也可以用底面积×高。但是要分清楚哪个是“底面积”，哪个是“高”，把正放着的“L”型的正面看作底面积，底面积就是（12×10－6×6）平方厘米，高是5厘米。 算出体积后，再用算得的立方厘米数乘每立方厘米的质量即可。 【详解】（12×10－6×6）×5 ＝（120－36）×5 ＝84×5 ＝420（立方厘米） 420×7.8＝3276（克） 5. 有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有（ ）种不同的取值。 【答案】16 【解析】 【分析】由题可知，每个立方体的六个面分别标有1~6，且1~6是连续的自然数，任意三个数字的和，也恰好是连续的自然数，由此求出三个数的和的最大值、最小值，按从小到大排列，有多少数字就有多少种不同的取值。 【详解】1＋1＋1＝3 6＋6＋6＝18 18－3＝15 15＋1＝16（种） 6. 电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，每天最少播放一集，该电视剧最多可以连续播放（ ）天。 【答案】7 【解析】 【分析】要让播放天数最多，就要让每天播放的集数尽可能少，且每天的集数互不相等（每天至少1集）。可以从1开始累加连续自然数进行试算，找到和不超过30的最大项数，再对剩余部分进行调整。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（比30集少2集） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（比30集多6集） 因为剧集有30集，所以可以安排第7天播放9集，这样每天播放的集数为：1、2、3、4、5、6、9，加起来正好30集。 因此该连续剧最多可以连续播放7天。 7. 的分子加上6后，要使分数的大小不变，分母应乘上（ ）。 【答案】4 【解析】 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 的分子加上6得8，相当于分子2乘4，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分母也要乘4，据此解答。 【详解】分子相当于乘： （2＋6）÷2 ＝8÷2 ＝4 的分子加上6后，要使分数的大小不变，分母应乘上4。 8. 数a和数b是互为质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍． 【答案】ab 【解析】 【详解】略 9. 在一道减法算式中，被减数、减数、差三个数的和为400，差是减数的1.5倍，那么差是（ ）。 【答案】120 【解析】 【分析】在减法算式里：被减数－减数＝差，已知被减数、减数、差三个数的和，差是减数的1.5倍，可以设被减数和减数两个未知数，建立两个等式关系，求出减数的值，进而求出差的值。 【详解】设被减数为a，减数为b，则差＝1.5b 三个数的和为400，即 a＋b＋1.5b＝400 根据减法算式：被减数－减数＝差，即 a－b＝1.5b a＝1.5b＋b，代入a＋b＋1.5b＝400可得 （1.5b＋b）＋b＋1.5b＝400 整理可得 5b＝400 b＝80 差为1.5b＝1.5×80＝120 10. 先把体积是8立方米的正方体木块，平均切成棱长是1分米的小正方体木块。再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体，这个长方体的长是（ ）米。 【答案】800 【解析】 【分析】物体切割和拼接后总体积不会改变。 先统一长度单位，算出大正方体能切成多少个小正方体；再反用长方体体积公式，用总体积除以宽和高，就能算出长方体的长，最后再把单位换算成米。 【详解】1分米＝0.1米；8立方米＝8000立方分米； 小正方体总个数为8000÷（1×1×1）＝8000（个）； 长方体的长为： 8000÷1÷1＝8000（分米） 8000分米＝800米。 11. 某校学生参加活动，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚好有一辆客车空车。已知45座客车租金1100元，60座客车租金1500元。两种车可以同时租用。租金最少是（ ）元。 【答案】5900 【解析】 【分析】根据题意，先计算两次分配的总人数差，再计算每辆车的座位差，用总人数差÷每辆车的座位差计算出车辆数，再算出总人数。 租金问题，先算每种车的单价，优先选便宜的，再调整。 【详解】租45座车：每车坐45人，多15人 租60座车：同样数量的车，少用1辆，相当于如果按原数量租，会空出60个座位 两次分配的总人数差： 15＋60＝75（人） 每辆车的座位差：60－45＝15（个）。 车辆数：75÷15＝5（辆） 总人数：45×5＋15＝240（人） 45座车单价：1100÷45≈24.4（元/人） 60座车单价： 1500÷60＝25（元/人） 因为45座车单价更便宜，所以优先租45座车，但要尽量坐满，避免空座浪费。 全租45座需要6辆，费用：6×1100＝6600（元），此时空余30个座位； 减少1辆45座，租4辆45座客车，可坐180人，剩余60人，刚好租1辆60座客车； 此时费用： 4×1100＋1×1500 ＝4400＋1500 ＝5900（元） 因此租金最少是5900元。 12. 如下图：在四边形中，，，平行四边形的面积是512平方厘米，四边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】256 【解析】 【分析】从题图中可以看出，三角形ABF与三角形ABD的高相等，由于AD＝3AF，则三角形ABD的面积是三角形ABF面积的3倍；同理可得三角形ABD的面积是三角形BDE面积的3倍。 由此可以推出，三角形ABF的面积等于三角形BDE的面积。 从这两个三角形中同时减去三角形BOE，则剩下的图形面积相等，即四边形AEOF与三角形BOD的面积相等。因为三角形BOD的面积是平行四边形BODC面积的一半，所以四边形AEOF的面积也是平行四边形BODC面积的一半。据此计算即可。 【详解】根据分析有： 三角形BOD的面积：512÷2＝256（平方厘米） 因此四边形AEOF的面积为256平方厘米。 13. 如下图，三角形ABC的面积是720平方厘米，BC＝2CD，AD的长是AE长的3倍，BE＝4BF。那么三角形AEF的面积是（ ）平方厘米。 【答案】90 【解析】 【分析】我们已知的两个条件是边上的比，根据等高模型，高相等时，三角形面积的比就等于底边长度的比，根据边的比＝面积的比进行反复转换，一层一层将大三角形的面积往下计算到小三角形。 根据BD∶CD＝1∶1，△ABC与△ABD等高，将S△ABC转化为S△ABD；同理，根据AE∶ED＝1∶2，将S△ABD转化为S△ABE；最后根据BF∶EF＝1∶3，将S△ABE转化为S△AFE。 【详解】S△AFE＝××S△ABC ＝S△ABC ＝×720 ＝90（平方厘米）。 14. 如下图，已知三角形的面积是12平方分米，为的中点，，、，交于点，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】100 【解析】 【分析】连接AO，由题可知，D为AB的中点，则三角形AOD的面积与三角形BOD的面积相等，已知2CE＝5AE，可知三角形AEB面积和三角形EBC面积的比，同样可以得到三角形AOE的面积和三角形EOC的面积比，由此可以得到三角形ABO的面积和三角形CBO的面积比，三角形AOD的面积与三角形BOD的面积相等，三角形BDC的面积可求出，则可以得到三角形BDO的面积。 【详解】 连接AO 因为D是中点 S△ADO＝S△BDO 因为2CE＝5AE ＝ ＝ ＝ 因为＝ 所以＝ 因为S△ADO＝S△BDO 所以＝＝ 所以＝ 因为D是中点 所以S△ADC＝S△BDC S△ABC＝12（平方分米） S△BDC＝12÷2＝6（平方分米） 1＋5＝6 6÷6＝1（平方分米） 1平方分米＝100平方厘米 【点睛】利用边长比的关系可以求出边长对应的三角形面积的比，将所求三角形面积转化成已知面积的三角形内，利用面积的比，求出单个三角形的面积。 15. 如下图，直角三角形中，厘米，厘米，以三角形的三边为边长向外作出三个正方形，连接正方形的几个顶点，构成如下图形，则图中阴影部分的面积为（ ）平方厘米。 【答案】96 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长度，用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积； 作辅助线，构造全等三角形，各个阴影部分的面积进行等量替换，最后求和。 【详解】延长DA、GC，相交于O点；过I作DO的垂直线，相交于N点；过H作IN的垂直线，相交于M点；CO的延长线与HM相交于P点。 根据勾股定理可知AB2＋BC2＝AC2，已知AC＝10厘米，BC＝8厘米 AB2＋82＝102，计算可得AB＝6（厘米） 设△ABC的面积为S S＝（AB×BC）÷2 ＝6×8÷2 ＝24（平方厘米） 已知ABED是正方形，所以DA和EB平行，D、A、O在同一直线上，E、B、C在同一直线上，所以AO和BC平行，已知角ABC是直角，所以ABCO是长方形，△ABC与△AOC全等，角AOC也是直角，即AO与CO垂直； 又因为IN与AO垂直，HM与IN垂直，所以∠MNO＝∠NOP＝∠PMN＝90° 四边形的内角和为360°，可得 ∠OPM＝360°－∠MNO－∠NOP－∠PMN ＝360°－90°－90°－90°＝90° ∠BAC＋∠CAO＝90° ∠OAI＋∠CAO＝90° 所以∠BAC＝∠NAI， 因为AC＝AI，∠ABC＝∠ANI＝90°， 所以△ABC与△ANI全等； 同理可得△ABC与△CPH全等； △CPH与△HMI全等 即正方形ACHI中的四个直角三角形与△ABC全等，这五个三角形的面积都相等 AB＝AN＝IM＝PH＝CO 在△DNI中，DA＝AB（同为正方形ABED的边） 所以DA＝AN，即A为DN的中点，所以 同理可得 △ABC和△EBF中，AB＝BE，BC＝BF，∠ABC＝∠EBF＝90° 所以这两个三角形全等，面积相等，即 阴影部分的面积 ＝ ＝24＋24＋24＋24 ＝96（平方厘米） 16. 如图所示，在中，厘米，则（ ）厘米。 【答案】15 【解析】 【分析】连接EF，可以发现，以EC和BC为底，三角形CEF与三角形BCF的高相等，而，因此BC＝BE＋EC＝4EC，所以：三角形EBF的面积＝3×三角形CEF的面积，三角形BCF的面积＝4×三角形CEF的面积； 观察图，还可以发现,以AD和ED为底，三角形BDA与三角形BDE的高相等，三角形ADF与三角形EDF的高相等，而，因此AD＝ED，所以：三角形BDA的面积＝三角形BDE面积；三角形ADF的面积＝三角形EDF面积； 三角形ABF的面积＝三角形BDA的面积＋三角形ADF的面积，三角形EBF的面积＝三角形BDE面积＋三角形EDF面积，所以：三角形ABF的面积＝三角形EBF的面积＝3×三角形CEF的面积； 可以得到三角形ABF与三角形BCF的面积比。而这两个三角形的高一样，因此可以由面积比得到线段AF与CF的比，据此求出AF的长度即可。 【详解】根据分析，可得， 三角形ABF的面积：三角形BCF的面积＝3∶4 因此AF∶CF＝3∶4 因为AC总长度是35，分成7份，则每份是：35÷7＝5（厘米） 所以AF＝5×3＝15（厘米） 17. 有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是2021平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】3854 【解析】 【分析】我们先把正面和上面的面积和转换为长、宽、高表示的等式分解2021，缩小长宽高的取值范围，用范围内取值验证是否符合条件即可。 【详解】设长为a，宽为b，高为c，三个数均为质数 正面面积＝a×c 上面面积＝a×b 面积之和为： a×b＋a×c＝a×（b＋c）＝2021 2021分解质因数： 2021＝43×47 因为a是质数，a只能是43或47 若a＝43，则b＋c＝47，47为奇数，b、c当中必定有一个为2，另外一个就是47－2＝45，45为合数，与条件矛盾（三个数均为质数） 若a＝47，则b＋c＝43，43为奇数，b、c当中必定有一个为2，另外一个就是43－2＝41，三个数均为质数，符合条件 所以长方体的长、宽、高取值为47、2、41 长方体的体积＝长×宽×高＝47×2×41＝3854（立方厘米） 18. 从320到640的自然数中，因数个数是奇数的，有（ ）个。 【答案】8 【解析】 【分析】探究因数个数规律问题，只有完全平方数的因数个数才是奇数。因为但凡来一个普通的数，因数都是成对出现的，完全平方数中间的那一“对”因数相同，所以只能算作一个因数，这才导致它的因数个数是奇数。 先找出这个区间里最小的完全平方数和最大的完全平方数，再数出中间一共有多少个这样的数。确定数字范围，再依次判断平方数的大小，数出一共有多少。 【详解】先找大于等于320的最小平方数： 17×17＝289，小于320；18×18＝324，大于320； 再找小于等于640的最大平方数： 25×25＝625，小于640；26×26＝676，大于640； 所以符合条件的完全平方数是18~25， 符合条件的数的个数：25－18＋1＝8（个）。 19. 一个多位数1234567891011121314…20202021除以9，商的个位数字是（ ）。 【答案】5 【解析】 【分析】一个数能被9整除的数的特征：一个数各位上数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。先根据一个数与其各位数字之和模9同余的规律，将拼接而成的大数除以9的余数，转化为1到2021的总和除以9的余数，算出余数。再结合大数个位数字得到另一组同余条件，联立推出该数除以90余51，最后对式子拆分计算，便可确定商的个位数字。 【详解】该多位数由1到2021依次拼接而成，记为N。要求N除以9的商的个位数字。 首先，N除以9的余数等于各位数字之和除以9的余数。而各位数字之和等于1到2021每个数的各位数字之和，由于每个数与其各位数字之和模9同余，因此N mod 9等于1到2021的和模9。 计算1＋2＋…＋2021＝2021×2022÷2＝2021×1011，其模9为：2021≡5，1011≡3，乘积≡15≡6，故N mod 9＝6。 其次，N的个位数字是2021的个位1，即N mod 10＝1。 由N mod 9＝6和N mod 10＝1，可唯一确定N mod 90。满足条件的数为51（因为51≡1 mod 10，51≡6 mod 9），即N≡51（mod 90）。 51除以9得5余6，所以N＝9（10k＋5）＋6，即商为10k＋5，其个位数字为5。 因此，商的个位数字是5。 【点睛】本题关键在于利用数与数字和模9同余的性质，把复杂拼接大数的数字和计算，转化为连续自然数求和，否则容易陷入分段统计数字和的繁琐计算中。 另外需结合除以9、除以10两组同余条件联立推理，对同余知识的综合运用要求较高。 20. 一个五位数恰好等于它各位数字和的1323倍，则这个五位数是（ ）。 【答案】23814 【解析】 【分析】因为1323是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数。由于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值。 【详解】如果数字和为9，那么这个五位数为9×1323＝11907，然而11907各位数字之和不为9，所以此时不成立； 如果数字和为18，那么这个五位数为18×1323＝23814，23814各位数字之和为18，所以此时成立； 如果数字和为27，那么这个五位数为27×1323＝35721，然而35721各位数字之和不为27，所以此时不成立； 如果数字和为36，那么这个五位数为36×1323＝47628，然而47628各位数字之和不为36，所以此时不成立； 如果数字和为45，那么这个五位数为45×1323＝59535，然而59535各位数字之和不为45，所以此时不成立； 综上可知，这个五位数为23814。 【点睛】本题属于数论中典型的数＝各位数字和×固定倍数类问题，核心考察9的整除特征与范围枚举法的结合应用。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学五年级 一、填空题。 1. （1）（ ）。 （2）（ ）。 （3）（ ）。 （4）（ ）。 2. “六一”儿童节快到了，学校向每个班级分发气球布置教室。如果每个班分20个气球，则多了130个；如果每个班分25个气球，则多了15个。一共有（ ）个气球。 3. 水果店运来橘子300千克，运来的葡萄比橘子多50千克，运来苹果的重量比葡萄的2倍少50千克，运来的苹果比橘子多（ ）千克。 4. 有个零件形状如下图，如果这个实心零件是由铁制造的，1立方厘米铁的重量是7.8克，这个零件重（ ）克。 5. 有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有（ ）种不同的取值。 6. 电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，每天最少播放一集，该电视剧最多可以连续播放（ ）天。 7. 的分子加上6后，要使分数的大小不变，分母应乘上（ ）。 8. 数a和数b是互为质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（ ）倍． 9. 在一道减法算式中，被减数、减数、差三个数的和为400，差是减数的1.5倍，那么差是（ ）。 10. 先把体积是8立方米的正方体木块，平均切成棱长是1分米的小正方体木块。再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体，这个长方体的长是（ ）米。 11. 某校学生参加活动，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚好有一辆客车空车。已知45座客车租金1100元，60座客车租金1500元。两种车可以同时租用。租金最少是（ ）元。 12. 如下图：在四边形中，，，平行四边形的面积是512平方厘米，四边形的面积是（ ）平方厘米。 13. 如下图，三角形ABC的面积是720平方厘米，BC＝2CD，AD的长是AE长的3倍，BE＝4BF。那么三角形AEF的面积是（ ）平方厘米。 14. 如下图，已知三角形的面积是12平方分米，为的中点，，、，交于点，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 15. 如下图，直角三角形中，厘米，厘米，以三角形的三边为边长向外作出三个正方形，连接正方形的几个顶点，构成如下图形，则图中阴影部分的面积为（ ）平方厘米。 16. 如图所示，在中，厘米，则（ ）厘米。 17. 有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是2021平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 18. 从320到640的自然数中，因数个数是奇数的，有（ ）个。 19. 一个多位数1234567891011121314…20202021除以9，商的个位数字是（ ）。 20. 一个五位数恰好等于它各位数字和的1323倍，则这个五位数是（ ）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $