精品解析：第三十届YMO青少年数学思维研学交流活动五年级复选试卷

第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学五年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：2×3×5×7×11×13×17÷（30033−3）＝（ ）。 【答案】17 【解析】 【分析】先算出括号内的减法，观察除号前相乘部分的前六项乘积和括号内结果的关系。 【详解】括号内：30033−3＝30030 前六项：2×3×5×7×11×13＝30030 所以：30030×17÷30030＝17 2. 计算：（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】这是等比数列求和。观察分母：5，10，20，40，…，1280，每次乘2，是公比为的等比数列。分子都是1。常用方法是将原式设为S，然后乘公比错位相减。 【详解】设 3. 计算：（ ）。 【答案】100 【解析】 【分析】先将0.25、0.625、转化为分数形式，再利用乘法分配律运算，提取公因式，最后进行计算。 【详解】原式 4. 计算：＝（ ）。 【答案】## 【解析】 【分析】观察算式中分子和分母的各项，可通过找规律提取公因数，约分计算 整理分子： 分子的每一项都能提取出公因子，； 整理分母： 分母的每一项都能提取出公因子，； 约分计算： 分子分母相同的部分可以约去，进而得出最简结果。 【详解】   ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以＝。 5. 计算：＝（ ）。 【答案】2008 【解析】 【分析】可以拆分为2008个1，2007个，2006个，⋯，1个的和。然后通过提取公因式等方法进行化简计算。 【详解】原式 （共2008个1相加） 6. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果20人舀水，3小时舀完；如果10人舀水，8小时舀完。如果要求2小时舀完，要安排（ ）人舀水。 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意，设1人1小时舀水量为1份，在一定时间内舀水量包含两类：原有积水＋新进水量。 先求出20人3小时舀水量及10人8小时舀水量的差，用舀水量之差除以时间之差，求出每小时的进水量，然后求出船内原有的水量。 再计算两小时，船内总共的水量。除以2，即可求出需要安排多少人舀水。 【详解】依据分析： 两次舀水量差：10人8小时舀水量－20人3小时舀水量 两次舀水时间差：（小时） 每小时进水量： 原有水量： 2小时进水量： 2小时船内的总水量： 2小时舀完所需人数：（人） 7. 在1、2、3、…、2022这些数中，末位数为8的所有数之和为（ ）。 【答案】204626 【解析】 【分析】将末位数为8的所有数提取出来，成为一个新数列：8，18，28，38，…，2018，这个数列是以8为首项，2018为末项，公差为10的等差数列，项数为（2018－8）÷10＋1＝202，所以用等差数列求和公式“（首项＋末项）×项数÷2＝和”即可求出末位数为8的所有数之和。 【详解】8＋18＋28＋38＋…＋2018 ＝（8＋2018）×202÷2 ＝2026×101 ＝204626 答：末位数为8的所有数之和为204626。 故答案为：204626 8. 一片均匀生长的草地，第1天农夫只有一头牛，若此后每天增加一头牛，28天恰好可将草吃完；若每天增加两头牛，16天恰好可将草吃完。若每天增加三头牛，第________天时草将被吃完。 【答案】12 【解析】 【分析】本题属于牛吃草问题，假设每头牛每天吃的草量为1份。若每天增加一头牛，先求出这种情况下的总的吃草量为：1＋2＋ ……＋28 ＝ 406（份） ；若每天增加两头牛，则这种情况下的总的吃草量为：1 ＋ 3 ＋ …… ＋（16×2－1）＝256（份） 。据此即可求出每天生长出来的草量为：（406－256）÷（28－16）＝12.5（份），原来的草量为：256－16×12.5＝56（份）。最后再求若每天增加三头牛，这56份草可以被吃几天。 【详解】假设每头牛每天吃的草量为1份。 每天增加一头牛吃草量为：1＋2＋……＋28 ＝（1＋28）×28÷2 ＝29×14 ＝ 406（份） 每天增加两头牛吃草量为：1＋3＋……＋（16×2－1） ＝（1＋31）×16÷2 ＝32×6 ＝256（份） 每天生长出来的草量为：（406－256）÷（28－16） ＝150÷12 ＝12.5（份） 原来的草量为：256－16×12.5 ＝256－200 ＝56（份） 设n天后剩余草量为：56＋12.5n－[1＋4＋……＋（3n－2）] ＝56＋12.5n－（1＋3n－2）×n÷2 ＝ ＝ 当n＝10时，剩余草量为：，26＞0，还可以继续吃； 当n＝11时，剩余草量为：，6.5＞0，还可以继续吃； 当n＝12时，剩余草量为：，因此草不够吃； 综上，若每天增加三头牛，第12天时草将被吃完。 9. 9！至少再乘（ ）以后，就能变成一个完全立方数。 【答案】44100 【解析】 【分析】首先，（9的阶乘）表示，对它分解质因数可得： 。 完全立方数要求所有质因数的次数都是3的倍数。计算每个质因数需要补充的次数，即需要补充几的次方，最后把需要补充的几的次方表示的数值相乘即可。 【详解】2的指数是7，最近的3的倍数是9，，需要补， 3的指数是4，最近的3的倍数是6，，需要补， 5的指数是1，最近的3的倍数是3，，需要补， 7的指数是1，最近的3的倍数是3，，需要补， ， 所以需要乘的数为： 44100。 10. 已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2805的倍数。那么三位数（ ）。 【答案】765 【解析】 【分析】，所以六位数能被5整除，那么，然后进一步推断即可。 【详解】 所以能被3、5、11、17、7、13整除，约去公因数11，得能被整除。由于7和13与3、5、17互质，故必须能被整除。 255的三位数的倍数有255、510、765，要满足题干中A、B、C是互不相同的非零数字， 所以。 11. 将正整数按如图方式排列，若用有序数对（n，m）表示第n排第m个数，则（12，7）表示的数为（ ）。 【答案】73 【解析】 【分析】观察排列规律可得：第排有个数，所有数是从1开始连续排列的正整数。 要找第12排第7个数，先计算前11排一共有多少个数，运用公式：。 【详解】  即前11排最后一个数是66，那么第12排第7个数就是。 【点睛】先计算前11排一共有多少个数，运用公式：。 12. 有9个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡。这堆砝码总重量最少为（ ）克。 【答案】511 【解析】 【分析】由题意可知“无论怎样放都不能使天平平衡”，我们可以从最小的整数开始，依次选择砝码的重量，使得任意两个或多个砝码的组合重量都不相等。 【详解】最小的整数是1，所以第一个砝码的重量为1g。为了使第二个砝码的重量与第一个砝码的重量组合后不相等，第二个砝码的重量应为2g。同理，第三个砝码的重量应为4g，第四个砝码的重量应为8g，以此类推。根据上述分析，9个砝码的重量分别为1g、2g、4g、8g、16g、32g，64g，128g，256g，将这些砝码的重量相加得到总重量为（克） 13. 用2024！除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了（ ）次275。 【答案】201 【解析】 【分析】这道题本质上是求2024！中含有质因数275的个数。275分解质因数为52×11，所以2024！每包含一对52×11，就能被一个275整除。需要分别统计2024！中质因数5和11的个数。含有52，所以5的个数除以2得到52的份数。11的个数单独算。能被275整除的次数由较少的那份决定，也就是看质因数5的个数÷2与质因数11的个数谁小，就取哪个。用短除法的思路累加即可。 【详解】 （个） （个） 5可提供的次数为：（次） 11可提供的次数为：（次） 由于11的个数限制。能除以275的次数为201次。 14. 如图，梯形的面积为320平方厘米，上底与下底的比为3∶5，那么阴影部分的面积为（ ）平方厘米。 【答案】125 【解析】 【分析】如下图所示：高相等时，三角形与梯形的面积比等于底的比。因为梯形上底与下底的比为3：5，所以三角形ABC的面积与梯形ABCD的面积比为5：（3＋5），即三角形ABC的面积占梯形ABCD的面积的，根据梯形面积是320平方厘米，可知三角形ABC的面积为：（平方厘米）。因为梯形上底和下底平行，三角形ADE和三角形BCE形状相同，大小不同，也就是我们所说的“按比放大或缩小”，所以两个三角形对应边的比是相等的，故三角形ADE的边CE与三角形BCE的边AE的比就等于梯形下底BC与上底AD的比。又阴影部分三角形与三角形ABE的高相等，它们的底CE与底AE的比是5：3，所以阴影部分面积占三角形ABC面积的，根据三角形ABC的面积可求出阴影部分的面积。 【详解】320×＝320×＝200（平方厘米） 200×＝200×＝125（平方厘米） 15. 已知ABCDEF是一个面积为150平方厘米的正六边形，BP∶PC＝DQ∶QE＝FR∶RA＝3∶2，那么三角形RPQ的面积是（ ）平方厘米。 【答案】57 【解析】 【分析】正六边形可以平均分成6个完全相同的正三角形，已知正六边形总面积为150平方厘米，因此可求每个大正三角形的面积； 根据边长比，利用对称性质和面积计算可得：正六边形被分成3个相同的边部四边形（如四边形ABPR）和中间三角形PRQ； 【详解】（平方厘米） 每个边部四边形面积为31平方厘米 （平方厘米） （平方厘米） 因此三角形的面积为57平方厘米。 【点睛】利用对称性质和面积计算可得：正六边形被分成3个相同的边部四边形和中间三角形。 16. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为47，三角形ADO的面积为20，三角形CDO的面积为71，那么三角形AED的面积是（ ）。 【答案】79 【解析】 【分析】我们利用三角形中线平分三角形面积的性质推导： 已知E是BC中点，因此： ​，；​ 四边形的总面积： ​​ 计算​：  ​​ 求​： 。​ 【详解】因为E是BC中点， 所以​，​ 所以四边形的总面积： ​​ 又因为 ， 所以​​ 所以 17. 如图，正方形ABCD的面积为2022平方厘米，六边形OPQRST的面积为1233平方厘米，如果EA＝ED＝FB＝FC，那么，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】970 【解析】 【分析】计算两个三角形面积和： 已知，，说明在的中垂线上，在的中垂线上。设正方形边长为，面积。 的面积​，的面积​，其中，且到的距离加上到的距离​恰好等于正方形边长，因此： 平方厘米。 计算重叠面积： 正方形内，面积可分为六边形和两个三角形与正方形重叠的部分，因此： 重叠面积。 计算阴影面积： 两个三角形的总面积 ＝ 阴影面积 ＋ 正方形内的重叠面积。 【详解】根据分析可知：  （平方厘米） （平方厘米） 因此： （平方厘米） 18. 已知七位数能被792整除，则等于（ ）。 【答案】664 【解析】 【分析】分解792：，且8、9、11两两互质，因此七位数只需分别被8、9、11整除即可。 根据被8整除的特征求：一个数末三位能被8整除，这个数就能被8整除； 根据被9整除的特征得关系：各位数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 根据被11整除的特征求、：11的整除特征为：奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，这个数就能被11整除。 【详解】分解792：，且8、9、11两两互质，因此七位数只需分别被8、9、11整除即可。 本题末三位是，是0~9的一位数，计算得，刚好能被8整除，因此。 各位和为，因此是9的倍数27或36，结合、是0~9的一位数，得： 或 。 根据被11整除的特征，奇数位数字和与偶数位数字和的差为： （1＋＋7＋）（4＋＋8） ＝（1＋＋7＋4）（4＋＋8） ＝（12＋）（12＋） ＝12＋12 ＝ 再结合、的范围，差只能为0，即。 计算得结果：若，则是偶数，排除； 那么，得，即。 因此 。 【点睛】分解792：，且8、9、11两两互质，因此七位数只需分别被8、9、11整除； 一个数末三位能被8整除，这个数就能被8整除； 各位数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，这个数就能被11整除。 19. 将一个棱长为整数厘米的长方体的各表面都涂满蓝色。然后将该长方体恰好分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，若其中任何一面都没有涂色的小正方体有29个，则原来的长方体的体积为（ ）立方厘米。 【答案】279 【解析】 【分析】需先明确无涂色小正方体数量与长方体长宽高的关系，再分解29的因数得到长宽高，最后计算体积。 【详解】长方体表面涂色后，无涂色的小正方体位于内部，其数量等于长方体长、宽、高分别减去2后的乘积。设长方体的长、宽、高分别为，则无涂色小正方体数量为。 由题意可知 因为29是质数，其正因数只有1和29 所以分解方程式为 由 可得： 解得： 长方体体积为： 20. 从1至9的9个自然数，它们的最小公倍数是A。由1至9这9个数字，可以组成若干个数字各不相同的九位数，这些九位数的最大公因数是B。A除以B的商是（ ）。 【答案】280 【解析】 【分析】求最小公倍数A：对1~9分解质因数，取各质因数的最高次幂计算最小公倍数； 求九位数的最大公因数B：1~9的数字和为，这些九位数数字和45是9的倍数，因此任意由这9个数字组成的九位数都能被9整除。 【详解】根据分析可知： 任取两个不同的九位数（如和），二者的差为9，因此它们的最大公因数不超过9，可得所有九位数的最大公因数。 【点睛】难点：任取两个不同的九位数（如和），二者的差为9，因此它们的最大公因数不超过9。 21. 从1，2，3，4，…，2021，2022中选取出n个数，使得这n个数任意两个数不互质，则n的最大值是（ ）。 【答案】1011 【解析】 【分析】选出的数中任意两个不互质，即任意两个数都有大于1的公约数。 要让选出的数最多，最优选择是让所有数共享同一个最小的质因数（质因数越小，它在1~2022中的倍数越多）。 计算最多的数量：最小的质数是2，1~2022中所有偶数都是2的倍数，最多的数量＝总数量2，，任意两个偶数都有公约数2，满足条件； 【详解】根据分析可知：（个），的最大值是1011。 22. 轮船从A城到B城需行4天，而从B城到A城需行6天。从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需（ ）天。 【答案】24 【解析】 【分析】这是流水行船问题，我们把A城到B城的总路程看作单位“1”： 轮船从A到B是顺流航行，顺流速度 ＝ 船速＋水流速度，可得顺流速度＝总路程单位“1”天数（4天）； 轮船从B到A是逆流航行，逆流速度 ＝ 船速水流速度，可得逆流速度＝总路程单位“1”天数（6天）； 用顺流速度减逆流速度，可得水流速度，再除以2，求出水流速度； 漂到B城需要的时间＝总路程单位“1”无动力木筏漂流速度， 因为无动力木筏漂流速度＝水流速度，所以漂到B城需要的时间＝总路程单位“1”水流速度。 【详解】 （天） 所以它漂到B城需24天。 23. 已知正整数n＝abc＜10000，其中a，b，c为质数，且2a＋3b＝c，4a＋c＋1＝4b，那么n＝（ ）。 【答案】1118 【解析】 【分析】已知两个等式：，把第一个式子代入第二个式子，得、与的关系；根据质数条件试值 都是质数，且。 【详解】根据分析可得：  ， 整理得：，再把，代入，整理得：； 根据质数条件试值 都是质数，且，从小到大试质数： （质数）：（质数），（质数）， 乘积，符合要求。 （质数）：，不是质数，排除。 （质数）：乘积，超出范围，排除。 所以符合所有条件的。 24. 一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了12小时。已知顺水每小时比逆水每小时多行8千米，又知前6小时比后6小时多行40千米。那么，甲、乙两港相距（ ）千米。 【答案】140 【解析】 【分析】求顺水走完全程的时间： 因为顺水速度比逆水快，所以顺水走完全程的时间一定小于6小时（总时间12小时，逆水全程时间大于6小时）。前6小时比后6小时多走的40千米，全部是顺水比逆水每小时多走的路程累加， 因此顺水全程时间＝前6小时比后6小时多走的40千米顺水比逆水每小时多走的路程8千米； 逆水全程时间＝一共用的12小时顺水全程时间； 求逆水速度： 顺水5小时比逆水5小时一共多走：（千米），这段多出来的路程，正好是逆水多走（小时）的路程，因此逆水速度＝ 顺水5小时比逆水5小时一共多走的路程逆水多走的时间； 算两港距离： 全程距离 ＝ 逆水速度×逆水全程时间 ； 【详解】（时） （时） （千米） （时） （千米/时）  （千米） 那么，甲、乙两港相距140千米。 【点睛】突破口：顺水全程时间＝前6小时比后6小时多走的40千米顺水比逆水每小时多走的路程8千米。 25. 甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走25千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，两人都必须能回到出发点。其中一人最远可以深入沙漠（ ）千米。 【答案】400 【解析】 【分析】题目的要求是要其中一人走得更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案： 由线段图可知，两人先从A地走到C地，乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续向前走到B地然后返回A地。乙的食物和水分成：他自己用去的两个部分（A到C，C回A），还有把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，并且这三部分是相等的。即从A到C用去了24÷3＝8（天），那么甲总共用去了24＋8＝32（天）的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2＝16天，每天走25千米，所以A，B两地相距25×16＝400（千米）。 【详解】24÷3＝8（天） 24＋8＝32（天） 32÷2＝16（天） 25×16＝400（千米） 【点睛】这道题的解题思路是通过合理分配两人携带的食物和水，让其中一人尽可能深入沙漠，同时确保两人都能安全返回出发点。关键在于确定两人如何协作消耗食物，使得深入者能在不耗尽资源的情况下走得最远。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学五年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：2×3×5×7×11×13×17÷（30033−3）＝（ ）。 2. 计算：（ ）。 3. 计算：（ ）。 4. 计算：＝（ ）。 5. 计算：＝（ ）。 6. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果20人舀水，3小时舀完；如果10人舀水，8小时舀完。如果要求2小时舀完，要安排（ ）人舀水。 7. 在1、2、3、…、2022这些数中，末位数为8的所有数之和为（ ）。 8. 一片均匀生长的草地，第1天农夫只有一头牛，若此后每天增加一头牛，28天恰好可将草吃完；若每天增加两头牛，16天恰好可将草吃完。若每天增加三头牛，第________天时草将被吃完。 9. 9！至少再乘（ ）以后，就能变成一个完全立方数。 10. 已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2805的倍数。那么三位数（ ）。 11. 将正整数按如图方式排列，若用有序数对（n，m）表示第n排第m个数，则（12，7）表示的数为（ ）。 12. 有9个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡。这堆砝码总重量最少为（ ）克。 13. 用2024！除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了（ ）次275。 14. 如图，梯形的面积为320平方厘米，上底与下底的比为3∶5，那么阴影部分的面积为（ ）平方厘米。 15. 已知ABCDEF是一个面积为150平方厘米的正六边形，BP∶PC＝DQ∶QE＝FR∶RA＝3∶2，那么三角形RPQ的面积是（ ）平方厘米。 16. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为47，三角形ADO的面积为20，三角形CDO的面积为71，那么三角形AED的面积是（ ）。 17. 如图，正方形ABCD的面积为2022平方厘米，六边形OPQRST的面积为1233平方厘米，如果EA＝ED＝FB＝FC，那么，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 18. 已知七位数能被792整除，则等于（ ）。 19. 将一个棱长为整数厘米的长方体的各表面都涂满蓝色。然后将该长方体恰好分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，若其中任何一面都没有涂色的小正方体有29个，则原来的长方体的体积为（ ）立方厘米。 20. 从1至9的9个自然数，它们的最小公倍数是A。由1至9这9个数字，可以组成若干个数字各不相同的九位数，这些九位数的最大公因数是B。A除以B的商是（ ）。 21. 从1，2，3，4，…，2021，2022中选取出n个数，使得这n个数任意两个数不互质，则n的最大值是（ ）。 22. 轮船从A城到B城需行4天，而从B城到A城需行6天。从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需（ ）天。 23. 已知正整数n＝abc＜10000，其中a，b，c为质数，且2a＋3b＝c，4a＋c＋1＝4b，那么n＝（ ）。 24. 一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了12小时。已知顺水每小时比逆水每小时多行8千米，又知前6小时比后6小时多行40千米。那么，甲、乙两港相距（ ）千米。 25. 甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走25千米。已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，不准将部分食物存放于途中，两人都必须能回到出发点。其中一人最远可以深入沙漠（ ）千米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $