2026年高三数学秋季开学学情自测卷02(天津专用)

**基本信息** 2026年高三开学数学学情自测卷，通过9选择（45分）、6填空（30分）、5解答（75分）的结构，覆盖集合、函数、几何等核心知识，以基础巩固-能力提升-创新应用梯度设计，适配开学学情诊断，突出数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|集合、逻辑、统计、函数图像、立体几何|第3题散点图比较相关系数，考查数据意识；第9题双曲线与抛物线综合，体现创新应用| |填空题|6/30|复数、二项式定理、解三角形、概率、向量|第14题正三角形动态向量问题，融合几何直观与运算能力| |解答题|5/75|解三角形、立体几何、椭圆、数列、导数|第17题立体几何证明与体积计算，考查空间观念；第20题导数零点问题，需逻辑推理与创新思维，契合高考命题趋势|

■■■■ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 ! 标记 5. 正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][BJ[C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][CI[D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10 妇 12 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．__________ _________ 14．____________________ 15.__________ _________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．已知实数满足，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．数列的前n项和，且，，则（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 9．双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．复数（其中为虚数单位），则的模为________． 11．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 13．将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 14．已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 15．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 17．（15分）如图，四边形为正方形，平面，，，点在线段上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若三棱锥的体积为4，求的长． 18．（15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 19．（15分）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 20．（16分）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季高三开学学情自测卷 : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 o 第一部分（选择题共45分） : 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 : 1.E知跳合40B=-2<则U=《) A.{x0<x≤1} B.{x-1<x<2} C.{x0<x<1} D.{x-1<x<0} : 2. 设p:0<x<1,0<y<1,q:-1<x-y<1,则P是q的()条件 O A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D,既不充分也不必要 : 3.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是() 25 25 20 20 20 20 … 15 15 15 10 10 : 10 5 J 5 J 0510152025 0510152025 0510152025 0510152025 相关系数r 相关系数r2 相关系数r3 相关系数r4 O A.5>r3>5>r4B.5>5>rA>5 C.r4>5>片>5 D.5>n>53>5 : 4.已知函数y=f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能为() : : A.f(x)=- B.f(x)=- "+ex 试题第1页（共4页） ©学科网·学易金卷做概德：就限家是鲁普 C.f(r)=x e*+ex D.f(x)=-x e*+ex 5.己知m,n是两条直线，&，B是两个平面，下列命题正确的是() A.若m/1a,n/1a,mcB,ncB,则a//B B.若mca,ncB,a/B,则m/1n C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B D.若a⊥B,m⊥B,n⊥m,则n⊥a 6.已知实数a,b,c满足a=0.5°，b=0.5,c=lna,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 7.已知a>0,b>0,则+0+h的最小值为() a 4b2 A.4V2 B.2V2 C.4 D.2 0 8.数列{a}的前n项和S,且Sn=2a。-1,bn=log,an,则∑h,=（) i=2 A.52 B.53 C.54 D.55 9.双曲线G:。若-1《a>6>0)的左焦点为，点5在撒物线c:了=2m(0≥0)的准线上 过点E作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为M,延长FM交抛物线C,于点N,NF=2MN,则双曲线C 的离心率为() A.5+1 B.V5+1 C.5 D.V5-1 2 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 0.复数2十27（其中为虚数单位），则2的模为 1 10 山.在(-儿2+x的展开式中，常数项为 (用数字作答) 12.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-V3c)cosB=V3 bcos C,则tanB= 13.将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为 1 3'且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为一：在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红 球放入甲盒的概率为一 14.己知△ABC是边长为2的正三角形，D、E分别为线段BC、DC的中点，F为线段AE上任意一点， 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁普 若BF=BA+uBC,则32+4H= 一：若BM=)BF,则BM.DM的最小值为 15.若存在实数a,对任意的x∈(0，n]都有xx-d+x-4≤0恒成立，则实数n的取值范围是 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=7,b=8,c0sB= 1 (1)求A的值： (2)求AABC的面积： (3)求sin(A+2B)的值. 17.(15分)如图，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面ABCD,CF‖AE,AB=AE=4,点M在线段BE 上，BM=3ME,N为AB中点. E M D (1)求证：DF/平面ABE (2)求平面BCM与平面CMW夹角的余弦值； (3)若三棱锥F-BCM的体积为4，求CF的长. 8.5分)已知椭圆。+a>b>0的离心率为，且椭圆的短轴长为2，，乃分别为圆 右焦点，A,B分别为椭圆的左，右顶点，设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C,直线 试题第3页（共4页） PA的斜率为k. (1)求椭圆的方程： (2)若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求k的值； 19.(15分)己知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a,=b=1,a=b,a2+a=b, (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： :: 年 米 河 ②设6.a)0-列数列e,}的前n项和为1，求证：无<1-2”t (bn-I)）an1 Γ21-1 游 「bn1 医示不超过的录大整数，4求》 i= S E斑 20.(16分)已知aeR,函数f(x)=lnx+ax2. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： 世 (2)若存在b∈R,使得f(x)=-bx有三个不同的零点x,x2,x, (i)求a的取值范围： (i)若x,x2,成等差数列，求证：x>e. 试题第4页（共4页) 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．已知实数满足，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．数列的前n项和，且，，则（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 9．双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．复数（其中为虚数单位），则的模为________． 11．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 13．将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 14．已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 15．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 17．（15分）如图，四边形为正方形，平面，，，点在线段上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若三棱锥的体积为4，求的长． 18．（15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 19．（15分）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 20．（16分）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合， ， 则. 2．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 3．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 因为定义域为，不符合题意，故排除B选项； 因为， 所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项； 因为，故不符合题意，故排除D选项； 因为，， 所以定义域为，为奇函数，且， 故的解析式可能为，A符合题意. 5．已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】对A：若，，，，此时与可能平行，可能相交，故A错误； 对B：若，，，则与可能平行，可能异面，故B错误； 对C：若，，，则，故C正确； 对D：若，，，则可能在内，也可能与相交或平行，故D错误. 6．已知实数满足，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2.故选：D. 8．数列的前n项和，且，，则（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【解析】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 9．双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线左焦点，抛物线准线，由在准线上得， 即，过作渐近线的垂线，垂足，垂线方程为， 与渐近线联立，解得，所以， 由知为中点， 故，代入抛物线得， 化简得，设，则方程化为， 解得，由于双曲线离心率，故，所以. 因为，因此. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．复数（其中为虚数单位），则的模为________． 【答案】 【解析】， 所以． 11．在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】的常数项为 . 12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 【答案】 【解析】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 13．将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 【答案】； 【解析】每个小球有3种放法，总放法共种， 三个小球放入不同盒子，相当于对三个盒子全排列，共种符合条件的放法， 因此所求概率为； 设事件：至少两个小球放入甲盒；事件：红球放入甲盒， 至少两个小球放入甲盒，分恰好2个、恰好3个放入甲盒两种情况：； 红球放入甲盒，且至少两个小球放入甲盒，说明剩余黄、蓝两球至少一个放入甲盒：； 因此条件概率. 14．已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 【答案】3； 【解析】在边长为2的正中，由、分别为线段、的中点，得， 由为线段上任意一点，得，， 因此，而，向量不共线， 则，所以； 由，得，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 15．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【解析】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 由正弦定理，可得， 由，则，故； （2）， 则； （3）， ， 则. 17．（15分）如图，四边形为正方形，平面，，，点在线段上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若三棱锥的体积为4，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为，，，， 平面，平面，推出平面平面. 又因为平面，所以平面. （2）建立以为原点的直角坐标系. 得出各点坐标，，，，，. 设，，， 因为，解出，，那么. ，，得出平面法向量. ，，得出平面法向量. . （3）作交于点. 因为平面，，所以平面， 又因为平面，推出. 由题意得，为正方形，进而. 因为，，并且,所以平面. ，，易得. ，那么. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，即， 又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线方程为， 则由，可得， ∴，∴， ∴，令，∴， ∴， ∴， 由题意可知，，解得. 19．（15分）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由， 得，解得或（舍去）； 故，； （2）由（1）知，，，则 所以 则； （3）因为， 所以， ， ， 所以. 则①， 则②， 由①②得： ， 所以. 20．（16分）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 【答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）当时，，所以， 则，所以切点为， 则曲线在处的切线方程为，即． （2）（i）由，，即，故， 因为有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，， 则有两个不同的变号零点， 令，，则， 令，得， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足，即， 此时存在实数，使得有3个不同的正根， 故的取值范围为； （ⅱ）若存在，使得有三个不同的零点， 即为方程的根， 即， 两式相加得， 因为成等差数列，所以， 则，即， 故，即， 又，故， 即，则， 下面推导对数平均不等式，， 只需证， 令，只需证， 令，则， 故在上单调递增， 又，故，证毕， 而，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由（i）知，， 故，证毕． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 2 3 5 6 7 B A B A D D C A 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 2 10.2 .6 5 12. 3 3 25 13.9:7 14.3；-26 15.(0,1+v5] 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(14分) 【答案】0写：@6g:g)-555 98 由正弦定理a nsinB,可得sinA=6sinB=2×43V3 、b X 872 由B∈ 3 2)sin C=sin(-4-B)=sin(4+B)=sin dcos B+sin Bcos3 则SAABC 2absinC= 2*7x8x3V 2=63: 14 1 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 91 2-2B-1-2(-1 V3.47 8v3 1 55V3 sin(4+2B)=sin Acos2B+sin 2Bcos 4 249 49 98 17.(15分) 【答案】0)见解析；(Q2:(8)2 【解析】(1)因为AE1/CF,AB/ICD,AEOAB=A,CFOCD=C, AE,ABC平面AEB,CF,CDc平面CFD,推出平面ABEI1平面CFD. 又因为DFC平面CFD,所以DFII平面ABE (2)建立以A为原点的直角坐标系A-BDE ZA D 得出各点坐标A0,0),B(4,0,0）,C(4,4,0),D(0,4,0),E(0,0,4),N(2,0,0) 设M(x,0,z),BM=(x-4,0,z),ME=(-x,0,4-z), 因为BM=3ME,解出x=1,z=3,那么M(1,0,3) BC=(0,4,0),BM=(-3,0,3),得出平面BCM法向量%=(L,0,1) CM=(-3,4,3),CN=(-2,4,0),得出平面CMN法向量%=(6，-3,2). ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 历四 cos B= n西 (3)作MG⊥AB交AB于点G. ZA E M F D BL 因为AE⊥平面ABCD,CF‖AE,所以CF⊥平面ABCD, 又因为GBc平面ABCD,推出CF⊥GB 由题意得，ABCD为正方形，进而GB⊥CB, 因为CF⊥GB,GB⊥CB,并且CFCB=C,所以GB⊥平面BCF. o-GiSo=4,G6=3,易得So=4 Sa=2BCCF=4,郑么CF=2 18.(15分) 【容奖】0香+-1，四盟 4 【解析】(1)因为椭圆的短轴长为2，所以2b=2,即b2=1, 又e2=c2=d2-b2 a29 a=1- _3,2=1,所以a2=4 所以椭圆的方程为4+y=1, (2)设PC直线方程为y=k(x+2),(k>0). 3 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x+2) 4+少2=1，可得， 则由x (4k2+1）x2+16k2x+16k2-4=0 16k2-4,-8k2+2 B （-2)x= 4k2+1,.x= 42+1 4k .=42+1,令x=2?六P(2,4) ·aoc=号x2x 1 4k 4k 2 4k2+14k2+1 2-8k2） 32K3 4k2+14k2+1: 4k32k 由题意可知Sac=Soc’ 2+1+·解得k=2 19.(15分) 【答案】(1)an=2,b.=n;(2)证明见解析；(3)6+(2n-3)2. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为9(q>0),等差数列{bn}的公差为d, 由4=b=l,4=b,4+a=b。, gs、1 4 得∫q=1+3d，解得d=1或1（舍去）； 9+g2=1+5d 1g=29=-2 故a,=2"-1,bn=1+1xn-1)=n: (2)由(1)知，an=2,b=n,则a=2” (色.-1)a1(n-102” nn+l 所以c.(an-1(a2-可2-2-2”-2可 12.23 nn+l 则7，<12-2-12-…+2”-121 +…+ 1-h+1 2-1 的因为-卧合] ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以4[，引-[引2a-, d[2[-[引2a-0 所以dm-2+dm1+dn=(n-1)2m+(n-1)2m+n2”=(2n-1)-2" 则2d=1x2+3x22+5x2+…+2n-)20. 则22d=1k2+x2+5x2++2-2r+2a-小-2@. 由①-②得： 克4=2+2x2+2×2++2×2-2m-02"=2+80-2）-2m-小2m6-2m--2 1-2 所以2d=6+(2n-32 i=l 20.(16分) 【答案】03x-y-2=0:☒a02): (ⅱ)证明见解析 【解析】（少当a=1时，=hx+,所以f)=+2x, 则f⑩=1，f0=3,所以切点为，)， 则曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-1=3(x-),即3x-y-2=0 Inx (2)(①)由f9)=-br,x>0,即1nx+a2=-bx,故x +ax=-b, 因为f)=-bx有三个不同的零点x,,西’故x 故nx+x=b有3个不同的正根， 令8)=h+a,xe0,tw 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则g)气+a有两个不同的变号零点， 令h(x)=1-lnx ，x∈(0，+o),则hi=3+2nx 令i=3+2nx-0,得x= x3 令h(x)>0,得x>e2,令h(x)<0,得0<x<e2, 故-1在e 3 上单调递减，在e2,+o 上单调递增， 故要想8(x)= 1h+口有两个不同的度号零点，得满足2记<a<0,即0<a<这， 此时存在实数b’ 使得十=b有3个不同的正根 1) 故。的取值范围为020： (ⅱ)若存在b∈R,使得f(x)=-br有三个不同的零点，x2,x, 即，，为方程lnx+a2+br=0,x>0的根， nx+ax+bx =0,Inx+ax;+bx3=0 两式相加得ln(:)+a(x+)=-b(x+5), 因为，x2,成等差数列，所以2x=+, 则4x=(x+x)}=x+2xx+x号，即4x-2x=+, 故lh(xx)+a(4x号-2x6)=-2bx,即lh(xx)-2acx=-2bx-4a, x+bx=0,)-2ax=-2(-Inx2 -ax?)-4ax =2Inx-2ax, In()-Inxi=2a, 即1n()2h5=2a(x-),则-号 lhm-lhn、_2 下面推导对数平均不等式， -,0<m<n, m-n m+n 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 只需证nm<2(m-n) 2m-1 n n m+n m+1 分=1e0,,只需证h<2- t+1, 1e@0,则90=200-->0， 令90=nt-2-)」 t(t+1)2tt+)2 故9)在t∈(0，)上单调递增， 又q0)sg0=0,故n1<20-D 1+1，证毕， 而4号=x+2x6+x号≥4x6,又x≠，故等号取不到， 所以4号>4x6,即号>x5, 所以2a=()上n些、2 g>x+由①如，a0) 故5>55>>e,证毕 22a 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！