精品解析：2026届天津市耀华中学高三开学考数学试卷（含答案）

高三年级数学学科训练 一､单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知，是实数，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题：“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数在处存在导数为，则（ ） A B. C. D. 10. 若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 12. 已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 若集合至多有一个元素，则实数的取值集合是______. 14. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________. 15. 已知幂函数经过点，则的值是_______． 16. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______. 17. 曲线在点处的切线方程为__________． 18. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 三､解答题：本题共2小题，共22分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若面积为，求c． 20. 已知函数，导函数记为为自然对数的底数，约为. （1）判断函数的零点个数； （2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学学科训练 一､单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合，且，可得或，解得，再根据集合中元素的互异性确定的值即可. 【详解】由集合，且， 可得或， 解得或， 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意， 即. 故选：D 2. 已知，是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用均值不等式，可证明，充分性成立，当可说明必要性不成立 【详解】若，则 由均值不等式，，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 当，此时，但，故必要性不成立 故“”是“”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题 3. 命题：“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定可直接确定结果. 【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为：存在，. 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，， ，， ， . 故选：D. 5. 已知，，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C 6. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得所以或. 故选：D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案. 【详解】函数的定义域为且，排除A项； ∵，∴是奇函数，排除C项； 再取特殊值当时，，排除D项. 故选：B. 【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档题. 9. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数定义即可求目标式的值. 【详解】由，则. 故选：C 10. 若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则满足 等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解. 【详解】设，则恒成立，即， 因为，所以在上单调递增， 且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， ， 令，得． 故选：D． 11. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 12. 已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件将方程解的个数等价转化成两个函数与图象交点个数，再借助导数即可推理作答. 【详解】作出函数与的图象，如图，当时，两个函数图象至多有两个公共点， 而方程在上恰有3个不等实数根，则， 当时，方程在上只有一个实根， 方程在上恰有3个不等实数根，等价于方程在上恰有2个不等实数根， 即函数在上恰有2个零点， ，，当时，，则在上单调递增，在上最多一个零点， 于是有，当时，，当时，，即有在上递减，在上递增， 因此，，且在上的两个零点分别在区间与内 从而有，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 若集合至多有一个元素，则实数的取值集合是______. 【答案】或 【解析】 【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解的性质求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，此时方程至多有一个解，即集合至多有一个元素； ∴，或，即实数的取值集合是或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查了已知集合元素的个数求参数问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. 14. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，列不等式组，即可求出a的范围. 【详解】要使函数在R上单调递增， 只需，解得：. 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 15. 已知幂函数经过点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 16. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，所以，由以斜边为直径的半圆面积为可求得，再由基本不等式即可求得的最大值，即可求得弧长之和的最大值. 【详解】设，，所以，即， 因为以斜边为直径的半圆面积为，所以，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以以，为直径的两个半圆的弧长之和为， 即以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为. 故答案为：. 17. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 18. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程即可. 【详解】由题意，则， 所以， 令，则，所以， 由可得，解得或， 由可得，解得， 所以，或， 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 又因为， 综上所述，函数的零点有个. 故答案：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可. 三､解答题：本题共2小题，共22分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 20. 已知函数，的导函数记为为自然对数的底数，约为. （1）判断函数的零点个数； （2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明： ①； ②. 【答案】（1）1 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据函数的单调性可得其极值，进一步可得函数零点个数； （2）①由（1）可知，函数有唯一零点，且，利用导数研究的极值点所在区间，即可得出结论： ②要证，即证，构造函数，根据函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 令，当时，可令，且 此时，易知时，， 所以当时，，， 又，则，所以在区间上无零点， 又， ， ，使得， 即在区间上有一个零点， 所以函数的零点个数为1个. 【小问2详解】 ①由（1）可知，函数有唯一零点，且， 下面判断函数的极值点情况， ， 令，则， 当时，， 所以在区间上单调递增， 当时，在上单调递增， . 设，对称轴为， 在上单调递增， ， 在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增. ， 令，则， 令，解得. ，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， ， 又， 设，对称轴为， 在上单调递增， ，即， 使得，即， 且当时，，当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数存在唯一的极值点，且. 综上，. ②，要证， 即证， 令， 下证在区间上单调递增，即证恒成立， ， ，所以， 令， 则在区间上单调递增， ， 令， 则区间上单调递增，且， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当时，恒成立， 区间上单调递增， ， ，原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $