第五单元 圆（易错思维训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦圆的单元复习，通过易错思维训练整合基础与创新应用，适配小学数学圆单元巩固提升，涵盖圆心角计算、组合图形面积等核心知识点，融入文化传承与生活实践情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|圆心角（日晷）、正方形内最大圆面积|结合古代计时仪器，体现文化传承，强化几何直观| |填空题|8|长方形剪圆数量、环形跑道起跑线|设置扫地机器人清扫路线，培养空间观念| |解答题|7|莱洛三角形周长、披萨面积比较|以“科创节”机器人轨道为情境，发展推理意识与模型意识|

第五单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 2．在一个周长是20厘米的正方形内画一个最大的圆，面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．19.625 C．15.7 D．31.4 3．在一张长12cm、宽8cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆规两脚尖间的距离应为（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 4．如下图，已知平行四边形ABCD的面积是150平方分米，则阴影部分的面积是（    ）平方分米。 A．150 B．75π C． D． 5．一个电动玩具，它由一个的长方形底盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（笑脸图）组成（如图），小圆盘（笑脸图）沿着长方形底盘内壁，从点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来的位置。请你计算一下，小圆盘（笑脸图）第一次转回到原来的位置共转了（    ）圈。 A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图，在长方形中，长是24厘米，大圆面积是（    ）cm2。 A． B． C． D． 7．将一张边长为2dm的正方形纸，按如图的方法对折四次，剪一刀，展开后得到近似的圆，这个圆的面积约为（    ）dm2。 A．π B．4 C．2π D．4π 8．如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 二、填空题 9．在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有______户居民是“开心户”。 10．在长16cm，宽10cm的长方形铁皮上剪半径是2cm的圆，最多可以剪（ ）个。 11．小芳同学在学完圆的知识之后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图是由5个完全相同的半圆组合而成，圆规两脚间的距离是（ ）mm。（单位：mm） 12．如图，线段是圆的一条直径，A、B两点以不同的速度同时在圆上反方向移动，在C点第一次相遇，然后它们以原速继续移动，在D点第二次相遇。若弧的长度为90m，弧的长度为70m，则这个圆的周长是（ ）m。 13．小红和小丽参加了校运动会中的200米赛跑，跑道是长400米的环形跑道，小红是第一道，小丽是第二道，每条跑道宽是1.25米，小丽的起跑线要比小红往前提（ ）米。（π取3.14）。 14．园内有一块边长为3米的正方形草坪，在两个对角的顶点处安装自动洒水器，洒水半径是3米，每个洒水器能覆盖的草坪面积是（ ）平方米，两个洒水器都能洒到的草坪面积是（ ）平方米。（π取3.14） 15．一个底面是圆形的扫地机器人，底面的半径是2dm，它沿着长方体茶几边缘清扫一周（如图所示）。圆心走过路线的长度是（ ）dm，它扫过的面积是（ ）dm2。 16．将4个圆如图方式安排，已知圆A直径为12cm，圆B直径为10cm，圆C直径为8cm，圆D直径为6cm，请问图中所有灰色部分面积与所有黑色部分面积的差为（ ）cm2。 三、计算题 17．按要求计算。 求阴影部分的面积。     18．已知正方形ABCD的边长是8厘米，而正方形DEFN的边长未知，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 四、作图题 19．按要求在方格纸上画图（方格纸上每格长1厘米）。 （1）画一个长方形ABCD，宽是3厘米，长比宽多。（每个小正方形边长1cm） （2）在长方形里画一个最大的圆，使圆和长方形组成的图形是轴对称图形。（注意：请保留作图痕迹。） 五、解答题 20．已知三角形ABC，AB是直径，C是圆上任意点。 聪聪发现一个规律，不管C在圆上的哪个位置（除A、B点外），∠ACB一定是一个（    ）（选填A．锐角，B．直角，C．钝角）。请你解释理由（可以试着连接OC）。 21．如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 22．国际标准田径跑道，直道长85.39米，两端的弯道呈半圆形，直径是73米，跑道宽1.22米。如果全程不变道，跑1圈，第6道起跑线应在第1道起跑线前多少米？ 23．东东订餐一个12寸的披萨（1寸长约3厘米），价格100元。付钱后，店家说：“12寸的没货了，给你换成两个6寸的吧。”东东想了想后，说：“12寸换成两个6寸的披萨，你应该要找回我50元。”你能判断出谁对吗？用你喜欢的方法解释说明。 24．“围树座椅”作为一种巧妙融合于自然景观的公共设施，兼具了美观与实用价值。下图是公园门口设置的“围树座椅”，椅面宽为40厘米。这种“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ （1）解决这个问题要看图分析，先根据题中信息填空。 （2）这种“围树座椅”环形椅面的面积约是多少平方米？（得数保留整数） 25．12月某小学迎来“科创节”，科学小组设计制作出机器人。 如图，环形轨道由两个圆组成，它们只有一个公共点C，大圆直径AC为80厘米，小圆直径BC为48厘米。甲、乙两个小机器人同时从C点出发，都按照每秒4厘米的速度沿顺时针方向滑行，甲机器人沿大圆圆周滑行，乙机器人沿小圆圆周滑行。（取3） （1）当乙机器人第一次回到C点时，滑行了多远？ （2）当乙机器人第一次回到C点时，甲机器人是否已经经过了A点？ （3）现在小朋友改变甲机器人的速度为原来的2倍，乙机器人的速度不变，甲、乙两机器人重新同时从C点出发，各自沿着圆周顺时针不间断地反复滑行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，那么此时甲机器人至少滑行了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 26．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊的三角形。它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作的圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 （1）根据以上描述，请你以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。 （2）如果三角形ABC的边长是3厘米，请计算这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ （3）莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度，因此，一个莱洛三角形无论怎么滚动都会始终保持在一组平行线内运动（如图）。若将第（2）问中的莱洛三角形的顶点A与等边三角形DEF的顶点D重合，且，DE＝6.28厘米，将等边三角形ABC所画的莱洛三角形沿等边三角形DEF的边作无滑动的滚动。当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】周角为，圆盘被平均分成12个大小相等的扇形，求每个扇形对应的圆心角度数用除法计算。 【解答】 2．在一个周长是20厘米的正方形内画一个最大的圆，面积是（    ）平方厘米。 A．7.85 B．19.625 C．15.7 D．31.4 【答案】B 【分析】由题意可知：先用正方形的周长除以4求出正方形的边长，这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长，用直径除以2求出半径，再利用圆的面积计算公式：，代入数据即可解决问题。 【解答】圆的半径：20÷4÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 所以，最大圆的面积是19.625平方厘米。 故答案为：B 【点睛】抓住正方形内最大圆的特点，得出这个圆的直径是解决此类问题的关键。 3．在一张长12cm、宽8cm的长方形纸上画一个最大的圆，圆规两脚尖间的距离应为（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据题意可知：所画的最大的圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径，根据圆的直径等于半径的2倍，解答即可。 【解答】圆规两脚尖间距离即圆规画出圆的半径：（厘米） 圆规两脚尖间的距离应为4厘米。 故答案为：A 4．如下图，已知平行四边形ABCD的面积是150平方分米，则阴影部分的面积是（    ）平方分米。 A．150 B．75π C． D． 【答案】D 【分析】确定平行四边形的底和高与圆半径（r）的关系：因为平行四边形的底等于圆的直径2r，高等于圆的半径r，所以根据平行四边形面积公式，可得到半径平方的数值；阴影部分的面积：是其所在圆的面积的，用圆的面积公式：×，可求得阴影部分的面积。 【解答】求半径的平方： 解： （平方分米） 求阴影部分的面积： （平方分米） 所以求得阴影部分的面积是平方分米。 5．一个电动玩具，它由一个的长方形底盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（笑脸图）组成（如图），小圆盘（笑脸图）沿着长方形底盘内壁，从点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来的位置。请你计算一下，小圆盘（笑脸图）第一次转回到原来的位置共转了（    ）圈。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】小圆盘在长方形内壁滚动，圆心的轨迹也是一个长方形。这个长方形的长和宽比原长方形各小一个圆的半径的两倍（即直径）。圆心轨迹长方形的长＝原长－直径，宽＝原宽－直径。小圆盘转一圈的距离等于圆的周长。总共转的圈数＝圆心轨迹长方形的周长÷圆的周长。 【解答】1×2＝2（厘米） 14.56－2＝12.56（厘米）；8.28－2＝6.28（厘米） 轨迹周长：（12.56＋6.28）×2 ＝18.84×2 ＝37.68（厘米） 2×3.14×1＝6.28（厘米）；37.68÷6.28＝6（圈） 6．如图，在长方形中，长是24厘米，大圆面积是（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图片可知，3个小圆的直径等于1个大圆的直径，AB长度是4个小圆的直径，用AB的长度除以4再乘3，即可得到大圆的直径，根据圆的半径是直径的一半，用大圆的直径除以2，即可得到大圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr²，将大圆的半径代入公式计算，即可得出大圆的面积。 【解答】大圆的直径：24÷4×3 ＝6×3 ＝18（厘米） 大圆半径：18÷2＝9（厘米） 大圆的面积：S＝π×9² ＝81π（平方厘米） 大圆的面积是81π平方厘米 故答案为：C 【点睛】本题考查圆的面积公式计算以及图形中圆与长方形边长的数量关系分析。 7．将一张边长为2dm的正方形纸，按如图的方法对折四次，剪一刀，展开后得到近似的圆，这个圆的面积约为（    ）dm2。 A．π B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【分析】正方形边长为2dm，对折四次后剪一刀得到的近似圆，其半径约等于正方形边长的一半，即2÷2＝1dm，然后根据圆的面积公式计算即可。 【解答】2÷2＝1（dm） π×12 ＝π×1 ＝π（dm2） 所以这个圆的面积是πdm2。 故答案为：A 【点睛】本题关键在于确定圆的半径，对折四次后剪一刀得到的近似圆，其半径约等于正方形边长的一半；再根据圆的面积公式求出圆的面积。 8．如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 【答案】B 【分析】先假设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，根据15分钟内相遇7次，接近相遇8次；再根据如果A的速度每分钟增加6米，15分钟内相遇9次，接近相遇10次；建立等量关系式，然后进一步确定直径的取值范围解答即可。 【解答】解：设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，则： 7πd≤15v＜8πd……① 9πd≤15（v＋6）＜10πd……② ②﹣①得：πd＜15×6＜3πd 即πd＜90＜3πd 则 9.55414＜d＜28.6624 d精确至0.01米，所以9.55＜d＜28.66 即圆形轨道直径最多是28.66米。 故答案选：B 二、填空题 9．在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有______户居民是“开心户”。 【答案】4 【分析】构造情况如下图．若为“开心户”，则到点距离最短的5个居民分散在以为圆心，为半径的圆上。所以圆的圆周上有个点，并且圆A的内部不能再有多余的点。此时圆上其他的点都不是开心户，若需要新增加一个“开心户”，则需要尽可能多利用圆上已有的点，即若希望使为“开心户”，则最多可以利用个点，即点和圆、圆的交点和，所以在圆上再取两个点，则也是“开心户”；此时距离点距离最短的有个点，所以在圆的圆周上再增加一个点即可使居民成为“开心户”。同理，距离点距离最短的有个点，在圆D的圆周上再新增加一个点也可使居民成为“开心户”，此时“开心户”数量最多为户。 【解答】在广阔的平原上，分散居住着十户居民（可以把居民看作平面上的远离的点）。若距离某一户居民距离最短的其他居民同时有五户，则称这户居民为“开心户”，则所有的十户居民中，最多有4户居民是“开心户”。 10．在长16cm，宽10cm的长方形铁皮上剪半径是2cm的圆，最多可以剪（ ）个。 【答案】8 【分析】这道题的关键是理解在长方形铁皮上剪圆时必须以圆的直径为单位长度，即长方形的长里面能剪几个圆的直径，宽里面能剪几个圆的直径，最后把这两个数相乘即可得到圆的个数。题目中已知圆的半径为2cm，通过直径等于半径乘2求出圆的直径。再利用“求一个数里面有几个另一个数用除法”，求出长和宽里面各有几个直径。据此解答。 【解答】根据分析： （个） （个）……2（cm） （个） 所以，最多可以剪8个圆。 【点睛】解答这道题的关键是利用长和宽除以直径来计算圆的个数，因为圆和圆之间有空隙，所以不能使用长方形面积除以圆的面积来计算。 11．小芳同学在学完圆的知识之后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图是由5个完全相同的半圆组合而成，圆规两脚间的距离是（ ）mm。（单位：mm） 【答案】18 【分析】观察图形可知，上半部分是三个直径与两个12毫米的和，下半部分是两个直径与两个22毫米一个16毫米的和，可设：圆的直径为x毫米。列方程：3x＋12×2＝2x＋22×2＋16，解方程，求出直径，再除以2，就是这个圆规两脚之间的距离。 【解答】解：设圆的直径为x毫米。 3x＋12×2＝2x＋22×2＋16 3x＋24＝2x＋44＋16 3x＋24＝2x＋60 3x＋24－2x＝2x＋60－2x x＋24＝60 x＋24－24＝60－24 x＝36 36÷2＝18（mm） 所以圆规两脚间的距离是18mm。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据题意找出相关的量，列方程，解方程。 12．如图，线段是圆的一条直径，A、B两点以不同的速度同时在圆上反方向移动，在C点第一次相遇，然后它们以原速继续移动，在D点第二次相遇。若弧的长度为90m，弧的长度为70m，则这个圆的周长是（ ）m。 【答案】400 【分析】第一次相遇：A点和B点合走半圆，A点走弧长AC＝90m；第二次相遇，A点和B点合走了一个圆的周长，也就是2个半圆，A点和B点从开始到第二次相遇共走了3个半圆的长度；所以A点到D点，走了3个AC的长度，用AC×3，求出A点到D点路程； A点到D点的路程＝半圆＋BD的长度，即半圆＋70m，用AC×3－70m，求出半圆，再乘2，即可求出圆的周长。 【解答】（90×3－70）×2 ＝（270－70）×2 ＝200×2 ＝400（m） 13．小红和小丽参加了校运动会中的200米赛跑，跑道是长400米的环形跑道，小红是第一道，小丽是第二道，每条跑道宽是1.25米，小丽的起跑线要比小红往前提（ ）米。（π取3.14）。 【答案】3.925 【分析】因为跑道由直道和弯道组成，直道长度相同，所以起跑线提前的距离实质是弯道的周长差。 因为一处弯道就是圆周长的一半，所以需先确定弯道对应的圆的半径差，跑道宽就是半径差。 根据圆的周长公式C＝2πr，在400米的跑道上进行200米跑，只有一处弯道，所以相邻两道的起跑线相差：π×跑道宽度。 【解答】3.14×1.25＝3.925（米） 即小丽的起跑线要比小红往前提3.925米。 【点睛】起跑线提前的距离实质是两道弯道的周长差，由此即可计算。 14．园内有一块边长为3米的正方形草坪，在两个对角的顶点处安装自动洒水器，洒水半径是3米，每个洒水器能覆盖的草坪面积是（ ）平方米，两个洒水器都能洒到的草坪面积是（ ）平方米。（π取3.14） 【答案】7.065 5.13 【分析】如图①所示，阴影部分就是每个洒水器能覆盖的草坪面积，每个洒水器能覆盖的草坪面积等于半径是3米的圆面积的；如图②所示，两个洒水器都能洒到的草坪面积等于半径为3米的圆面积的与底和高都是3米的三角形面积的差的2倍。根据圆的面积＝，三角形的面积＝底×高÷2解答即可。                                                 ② 【解答】3.14×× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方米） （3.14××－3×3÷2）×2 ＝（3.14×9×－9÷2）×2 ＝（28.26×－4.5）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 所以每个洒水器能覆盖的草坪面积是7.065平方米，两个洒水器都能洒到的草坪面积是5.13平方米。 15．一个底面是圆形的扫地机器人，底面的半径是2dm，它沿着长方体茶几边缘清扫一周（如图所示）。圆心走过路线的长度是（ ）dm，它扫过的面积是（ ）dm2。 【答案】72.56 290.24 【分析】（1）观察图形可知，圆形扫地机器人沿着长方体茶几边缘走一周，圆心走过的四个转角处都是半径为2dm的圆，合起来刚好是一个完整的圆；所以圆心走过的路线＝圆的周长＋长方形的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，长方形的周长公式C＝2（a＋b），代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，圆形扫地机器人扫过的四个转角处都是半径为（2＋2）dm的圆，合起来刚好是一个完整的圆；所以圆形机器人扫过的面积＝圆的面积＋上下两个长方形的面积＋左右两个长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【解答】（1）圆的周长：2×3.14×2＝12.56（dm） 长方形的周长： （18＋12）×2 ＝30×2 ＝60（dm） 圆心走过路线的长度是：12.56＋60＝72.56（dm） （2）圆的面积： 3.14×（2＋2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 上下两个长方形的面积： 18×（2×2）×2 ＝18×4×2 ＝144（dm2） 左右两个长方形的面积： 12×（2×2）×2 ＝12×4×2 ＝96（dm2） 它扫过的面积是： 50.24＋144＋96＝290.24（dm2） 16．将4个圆如图方式安排，已知圆A直径为12cm，圆B直径为10cm，圆C直径为8cm，圆D直径为6cm，请问图中所有灰色部分面积与所有黑色部分面积的差为（ ）cm2。 【答案】56.52 【分析】圆的半径＝直径÷2，圆的面积＝πr2（r为半径）。观察图形，发现所有灰色部分面积－所有黑色部分面积＝（圆A的面积＋圆C的面积）－（圆B的面积＋圆D的面积）。 【解答】设圆A、B、C、D的面积为、、、； 圆A与圆B重叠部分的面积为，圆B与圆C重叠部分的面积为，圆C与圆D重叠部分的面积为。 圆A灰色部分的面积＝； 圆C灰色部分的面积＝； 圆B黑色部分的面积＝； 圆D黑色部分的面积＝。 所有灰色部分面积－所有黑色部分面积 （cm2） （cm2） （cm2） （cm2） （cm2） 三、计算题 17．按要求计算。 求阴影部分的面积。     【答案】16.82cm2 【分析】根据题图，阴影部分的面积＝大圆的面积＋小圆的面积－长方形的面积；圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽。 【解答】根据题图，大圆的半径为6cm，小圆的半径为4cm，长方形的长、宽分别为6cm、4cm。 阴影部分的面积： （cm2） 18．已知正方形ABCD的边长是8厘米，而正方形DEFN的边长未知，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】连接两个正方形的对角线AC和DF，如图： AC与DF平行，△ACD的底是AC，高是h2，三角形ACF的底是AC，高是h1，根据平行线间的距离处处相等可得：h1＝h2，即△ACF与△ACD等底等高，则两个三角形的面积相等，所以阴影部分的面积＝弓形AC的面积＋△ACF的面积＝弓形AC的面积＋△ACD的面积＝扇形DAC的面积，即半径为8厘米的圆的面积的，将半径代入公式：求出圆的面积再乘即可。 【解答】 连接AC、DF，分别做出△ACF和△ACD的高， ×3.14×82 ＝×3.14×64 ＝50.24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是50.24平方厘米。 四、作图题 19．按要求在方格纸上画图（方格纸上每格长1厘米）。 （1）画一个长方形ABCD，宽是3厘米，长比宽多。（每个小正方形边长1cm） （2）在长方形里画一个最大的圆，使圆和长方形组成的图形是轴对称图形。（注意：请保留作图痕迹。） 【答案】（1）（2）画图如下： 【分析】（1）根据题意，“宽是厘米，长比宽多”可知把宽看作单位“1”，相当于长是宽的。求一个数的几分之几是多少用乘法，据此先求出长方形的长，画图即可。 （2）在长方形里画一个最大的圆，应该是以长方形的宽为直径。题目要求是轴对称图形（图形沿着一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形），作图时圆要放于长方形的中间位置。 【解答】（1）长： （厘米） （1）（2）画图略。 五、解答题 20．已知三角形ABC，AB是直径，C是圆上任意点。 聪聪发现一个规律，不管C在圆上的哪个位置（除A、B点外），∠ACB一定是一个（    ）（选填A．锐角，B．直角，C．钝角）。请你解释理由（可以试着连接OC）。 【答案】B；理由： 连接OC，如图： OA＝OB＝OC，则△AOC和△BOC是等腰三角形。 ∠CAO＝∠ACO；∠CBOc＝∠BCO； 由∠CAO＝∠ACO；∠CBO＝∠BCO；可得∠CAO＋∠CBO＝∠AOC＋∠BOC＝∠ACB。 代入∠CAO＋∠CBO＋∠ACB＝180°，得2∠ACB＝180°，即∠ACB＝90°，所以∠ACB一定是直角。 【分析】 连接OC，如图：，OA、OB、OC都是圆的半径，则OA＝OB＝OC，推导出△AOC和△BOC是等腰三角形，再根据等腰三角形的特征，两个底角相等，进而推导出∠A＋∠B与∠ACO＋∠BCO之间的关系，进而确定∠ACB度数，判断角ACB，进而解答。 【解答】∠ACB一定是直角。理由略 21．如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 【答案】600秒 【分析】路程特征分析：两个小圆的直径和等于大圆直径，因此乙沿“”字形跑一圈的总路程，和甲沿大圆跑一圈的路程相等，都是米。相遇逻辑判断：两人同时同地同向出发，乙速度更快，每一次相遇，乙都会比甲正好多跑1整圈的长度。对应关系推导：第三次相遇时，乙累计比甲多跑的总路程就是圈的长度，即（米）。时间计算：用总路程差除以两人的速度差，就能得到从出发到第三次相遇的总时间。 【解答】设大圆的直径为， 根据圆的周长公式， 大圆的周长为（米）， 从图中“8”字形的结构可以看出，两个小圆的直径分别为和， 满足， 乙跑完整一圈“8”字形的总路程，是两个小圆的周长之和：， 因此乙跑一圈的总路程和甲跑大圆一圈的路程完全相等，都是400米， 两人同时从A点出发，乙速度比甲快，每次相遇时，乙都会比甲多跑整整1圈（400米）， 第三次相遇时，乙一共比甲多跑了：（米）， 两人的速度差是：（米/秒）， 追及所需的总时间：（秒）。 答：两人第三次相遇的时间是出发后600秒。 22．国际标准田径跑道，直道长85.39米，两端的弯道呈半圆形，直径是73米，跑道宽1.22米。如果全程不变道，跑1圈，第6道起跑线应在第1道起跑线前多少米？ 【答案】38.308米 【分析】环形跑道上比赛，外道路程比内道路程长，差距主要体现在弯道部分，第6道与第1道间隔6－1＝5个跑道宽度，每个跑道宽1.22米，跑1圈，第6道比第1道多跑π×1.22×2×（6－1）米，这个多跑的距离就是第6道起跑线应在第1道起跑线前的米数，据此即可解答。 【解答】3.14×1.22×2×（6－1） ＝3.8308×2×5 ＝38.308（米） 答：第6道起跑线应在第1道起跑线前38.308米。 【点睛】明确外道比内道路程长是由于外道半圆直径比内道半圆直径长造成的是解答本题的关键。 23．东东订餐一个12寸的披萨（1寸长约3厘米），价格100元。付钱后，店家说：“12寸的没货了，给你换成两个6寸的吧。”东东想了想后，说：“12寸换成两个6寸的披萨，你应该要找回我50元。”你能判断出谁对吗？用你喜欢的方法解释说明。 【答案】 东东对，店家应找回50元。 【分析】我们可以用圆的面积公式来计算寸披萨和两个寸披萨的大小，判断谁对。 【解答】12寸披萨的直径为12寸，半径为（寸），面积为（平方寸） 6寸披萨的直径为6寸，半径为（寸），面积为（平方寸） 两个6寸披萨的总面积为（平方寸） 即两个6寸披萨的总面积是12寸披萨面积的一半。 价格按面积比例计算，12寸披萨价格为100元，则两个6寸披萨价值为（元）。东东付100元，得到价值50元的披萨，因此店家应找回（元）。故东东的说法正确。 答：东东的说法正确。因为两个6寸披萨的总面积是12寸披萨面积的一半，因此店家应找回元。 24．“围树座椅”作为一种巧妙融合于自然景观的公共设施，兼具了美观与实用价值。下图是公园门口设置的“围树座椅”，椅面宽为40厘米。这种“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ （1）解决这个问题要看图分析，先根据题中信息填空。 （2）这种“围树座椅”环形椅面的面积约是多少平方米？（得数保留整数） 【答案】（1）40；160 （2）2平方米 【分析】（1）题目中椅面宽为40厘米，即环宽为40厘米。据图可知，内圆直径为80厘米，外圆直径＝内圆直径＋环宽×2。 （2）圆环面积＝外圆面积－内圆面积。即： ，先利用半径＝直径÷2，求出外圆半径和内圆半径，再利用圆环面积公式求出椅面面积，最后根据1平方米＝10000平方厘米，将结果的单位换算成平方米，并用“四舍五入”法取整。 【解答】（1）椅面宽为40厘米。 （厘米） 所以，外圆直径为160厘米。 （2）外圆半径：（厘米） 内圆半径：（厘米） （平方厘米） 15072平方厘米 ＝15072÷10000 ＝1.5072（平方米） ≈2（平方米） 答：这种“围树座椅”环形椅面的面积约是2平方米。 【点睛】解答这道题的重点是确定外圆和内圆的半径，关键是利用内圆直径和环宽确定外圆的直径。 25．12月某小学迎来“科创节”，科学小组设计制作出机器人。 如图，环形轨道由两个圆组成，它们只有一个公共点C，大圆直径AC为80厘米，小圆直径BC为48厘米。甲、乙两个小机器人同时从C点出发，都按照每秒4厘米的速度沿顺时针方向滑行，甲机器人沿大圆圆周滑行，乙机器人沿小圆圆周滑行。（取3） （1）当乙机器人第一次回到C点时，滑行了多远？ （2）当乙机器人第一次回到C点时，甲机器人是否已经经过了A点？ （3）现在小朋友改变甲机器人的速度为原来的2倍，乙机器人的速度不变，甲、乙两机器人重新同时从C点出发，各自沿着圆周顺时针不间断地反复滑行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，那么此时甲机器人至少滑行了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 【答案】（1）144厘米 （2）经过了A点 （3）会相遇；6圈 【分析】（1）当乙机器人第一次回到C点时，它滑行的距离等于小圆的周长，小圆直径BC为48厘米，利用“”求出小圆的周长； （2）两个机器人的速度相同，当甲机器人到达A点时，它滑行的距离等于大圆周长的一半，利用“”求出此时甲机器人滑行的距离，最后和乙机器人滑行的距离相比较； （3）先根据“”求出大圆周长和小圆周长，再求出甲机器人的速度，最后根据“时间＝路程÷速度”求出甲机器人和乙机器人滑行一圈分别需要的时间，当它们滑行的经过时间是各自滑行一圈需要时间的公倍数时两个机器人在C点相遇，求此时甲机器人至少滑行了几圈，需要先求出它们各自滑行一圈需要时间的最小公倍数，甲机器人滑行的圈数＝总时间÷甲机器人滑行一圈需要的时间，据此解答。 【解答】（1）3×48＝144（厘米） 答：滑行了144厘米。 （2）3×48＝144（厘米） 3×80÷2 ＝240÷2 ＝120（厘米） 因为144厘米＞120厘米，所以甲机器人已经经过了A点。 答：甲机器人已经经过了A点。 （3）甲机器人滑行一圈需要的时间：3×80÷（4×2） ＝3×80÷8 ＝240÷8 ＝30（秒） 乙机器人滑行一圈需要的时间：3×48÷4 ＝144÷4 ＝36（秒） 30和36的最小公倍数：2×3×5×6＝180 经过180秒它们会在C点相遇。 180÷30＝6（圈） 答：它们会在C点相遇，相遇时甲机器人至少滑行了6圈。 【点睛】本题主要考查圆的周长的应用和用最小公倍数解决实际问题，掌握圆的周长计算公式并准确求出两个机器人滑行经过时间的最小公倍数是解答题目的关键。 26．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊的三角形。它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作的圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 （1）根据以上描述，请你以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，画出一个莱洛三角形。 （2）如果三角形ABC的边长是3厘米，请计算这个莱洛三角形的周长是多少厘米？ （3）莱洛三角形的特点是在任何方向上都有相同的宽度，因此，一个莱洛三角形无论怎么滚动都会始终保持在一组平行线内运动（如图）。若将第（2）问中的莱洛三角形的顶点A与等边三角形DEF的顶点D重合，且，DE＝6.28厘米，将等边三角形ABC所画的莱洛三角形沿等边三角形DEF的边作无滑动的滚动。当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是多少平方厘米？ 【答案】（1） （2）9.42厘米 （3）84.78平方厘米 【分析】（1）根据描述，分别以A、B、C三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，画出三条圆弧。 （2）莱洛三角形的周长等于三条圆弧的长度之和，每个圆的对应的圆心角是等边三角形的其中的一个内角，三角形的内角和是180°，等边三角形的内角相等，则每一个内角是60°。则每条圆弧是整个圆的＝＝，则每条圆弧的长度＝2πr×（π取3.14），最后再乘3即可。 （3）莱洛三角形沿等边三角形DEF无滑动滚动，扫过的区域由3个长方形和3个扇形组成。根据长方形面积＝长×宽，求出1个长方形的面积；根据扇形面积＝×πr2，求出1个扇形的面积；将两部分面积相加再乘3，即为总扫过面积。 【解答】（1）画图略 （2）2×3.14×3××3 ＝18.84××3 ＝9.42（厘米） 答：这个莱洛三角形的周长是9.42厘米。 （3）6.28×3＝18.84（平方厘米） ×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝9.42（平方厘米） （18.84＋9.42）×3 ＝28.26×3 ＝84.78（平方厘米） 答：这个图形在运动的过程中所扫过的区域面积是84.78平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $