29.2.3 圆周角（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以分层设计为核心，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及中考拓展，构建从概念辨析到综合应用的知识路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|圆周角概念、定理及推理基础应用|以选择、填空为主，如概念辨析题巩固抽象能力，简单计算题培养运算能力| |B组|定理综合应用与简单证明|包含作图题（如尺规作图）和几何证明，发展空间观念与推理意识| |C组|复杂情境与多知识点融合|结合圆内接四边形、动态问题，如最值问题提升创新意识与应用能力| |拓展|中考真题适配|选取各地中考题，如直径与圆周角综合题，对接测评需求|

分层作业 29.2.3 圆周角 目 录 A组 巩固过关 题型01圆周角的概念辨析 题型02圆周角定理的应用 题型03同弧或等弧所对的圆周角 题型04半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型05圆周角定理及推理在作图中的应用 题型06 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型07圆内接四边形性质的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 圆周角的概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 3．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理的应用题型02 4．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 同弧或等弧所对的圆周角题型03 8．（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 9．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 10．（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 【答案】/30度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型04 11．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 13．（2026·山西晋中·二模）如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．由圆周角定理得，由为的中点，得，进而得到，即可求出． 【详解】如图，连接． 为的直径， ，即． 为的中点， ， ， ． 14．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 以对角线为直径作， ， ， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形 【分析】证明，可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据直径所对圆周角为直角，可得四边形为矩形． 【详解】略 圆周角定理及推理在作图中的应用题型05 15．（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，D是边上一点． (1)尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点为点，再以的长为半径画圆，与交于点即可； （2）先得到，再通过等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：为的直径， ．直径所对的圆周角为 ，， ． 为等腰直角三角形． ， ． 17．（2026·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在竖直网格线上，点在水平网格线上，以为直径的半圆经过，两点． （I）若，，则点到的距离为________； （II）与竖直网格线相交于点，点在半圆上，满足，连接，在线段上取一点，使线段最短．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 取与点水平与圆相交的点为，连接，连接,交竖直网格线为点,连接，根据网格取的中点，延长，使得,连接交为点，点满足最短． 【分析】（I）根据直径所对的圆周角为，进而根据勾股定理即可求解； （II）由（I）可知，即可知,可得，根据网格可知，进而可知,可得,由平行线的性质可知 【详解】解：（I）连接, ∵圆的直径为， ∴ ∴ ∴点到的距离为； （II）略 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型06 18．（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 19．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 【答案】 二 圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 20．《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 【答案】圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，理解“圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点到中点的距离等于， “矩”的顶点的运动路线是以线段的中点为圆心，的长为半径的圆， 这种方法的道理：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 21．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 圆内接四边形性质的应用题型07 22．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 23．（2026·重庆·二模）如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出所对的圆周角，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ． 24．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 25．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 26．（2026·广东深圳·二模）如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得，利用是的直径，可得，进而求出，最后利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 28．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 29．（2026·北京西城·三模）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 30．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 31．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，再以为直径作圆，交的角平分线于点D，则即为所求；点到边、的距离均相等，则点D在的角平分线上，，则点D在以为直径的圆上． 【详解】解：如图所示，即为所求． 33．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 34．（2026·黑龙江·一模）如图，在中，于点，点在边上，与交于点于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，交于点H，则，由等腰得出，，，从而有，得到点B，C，D，F四点共圆，因此，从而是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，又，因此，．设，，根据，求得，再在中由勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：过点D作，交于点H，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点B，C，D，F四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， 解得， ∴． 35．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 36．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)如图，点P即为所求： (3)如图，弦即为所求： 【分析】（1）连接与格线的交点O，即可； （2）取格点Q，连接交交圆于点P，即为所求点； （3）连接交格线于点F，连接并延长交圆于点E，连接，则． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 37．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 【答案】 【分析】根据题意可证得，则 ，从而可以确定在以的直径的圆上运动，取的中点，连接，则当 共线时，的值最小，据此可求得，进一步即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则在以的直径的圆上运动， 如图，以的直径画，连接，与圆交于点，延长交于，连接并延长，交于点， 当共线时，长度最小，此时即为所求， ，， ∴， 又∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．（2026·山东青岛·一模）如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】/54度 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 39．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆，勾股定理，圆周角定理，取的中点O，连接，根据勾股定理得出，得出为定值，说明点E到的距离最大时，的面积最大，证明A、B、C、E四点共圆，过点O作于点N，延长交圆O于点E，此时点E到的距离最大，的面积最大，求出最大值即可． 【详解】取的中点O，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ， ∴， 根据勾股定理得：， ∵为定值， ∴点E到的距离最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∴A、B、C、E四点共圆， ∵， ∴是圆的直径，的中点O为圆心， 过点O作于点N，延长交圆O于点E， 此时点E到的距离最大，的面积最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积最大值为：． 故答案为：． 40．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1)是等边三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 41．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射门点到球门的张角大小时，张角越大，进球的成功率越高．已知在如图示的网格中（每个小正方形的边长均为），点均在格点上，球员带球沿方向进攻，建立平面直角坐标系．回答下列问题： (1)在三点中，到球门张角相等的两个点是______． (2)在线段上，进球成功率最高的点的坐标为______． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）连接，得出四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案； （2）根据（1）中各角的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接． 由网格可知，， 四点共圆，且直径为． 同弧所对的圆周角相等， ． ∴和到球门的张角相等． 故答案为：和． （2）解：四点共圆，同弧所对的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角， ∴在线段上，射门点在处时张角最大，即进球的成功率最高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、四点共圆的判定与性质，解题关键是根据题意得出四点共圆． 42．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】(1)如图，图中点即为所求的圆心， ， (2)如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 【详解】（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 43．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，且都在上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的上，作点M使，点M在格点上且不与点B重合； (2)在图②的上，作点N使，点N在格点上； (3)在图③的上，作点D使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取格点M，使得即可． （2）取格点N，构造内接四边形即可求解． （3）利用网格找出线段的垂直平分线即可找到点D． 【详解】（1）解：如下图：点M即为所求： （2）解：如下图：点N即为所求： （3）在图③的上，作点D使． 如下图，点D即为所求： 44．请阅读下列材料，完成相应的任务： 克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______； 上述证明过程中的“依据1”为______； “依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3) 【分析】（1）利用逆命题的意义，矩形的性质，勾股定理，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，矩形的性质及勾股定理解答即可； （3）利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质分别求得四边形的边长，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形． 证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； 依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）解：如图，作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． ， ， ． ． ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：勾股定理； （3）解：为直径， ， ，， ，． 的角平分线交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新结论是解题的关键． 45．如图，把放置在菱形中，使得顶点，，分别在线段，，上，已知，，，且． （1）求的大小； （2）若，求的值； （3）若的三个顶点，，分别在线段，，上运动，请直接写出长的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为12，最小值为6． 【详解】解：（1）如解图，过点作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，∴． （2）如解图，作于点，于点． ∵为菱形的对角线， ∴∠DAC=∠BAC，，， 在和中，，， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． （3）的最大值为12，最小值为6． 如解图②，当点在右边时， ∵，， ∴， ∴点，，，四点共圆， ∴当是圆的直径时，最大， ∵，∴时，最大， ∴当，点在的右侧时，有最大值，点在左侧时，最小， 设与交于点， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 同理， ∴的最大值为12，的最小值为6． 46．（2026·广东深圳·三模）定义：在中，是的对角线，点是边上一点，分别连接，若满足，则称点为的“共轭连接点”．现有4张全等的直角三角形纸片，每一张都形如图a，其中，． (1)①将2张纸片拼成如图1的，当共轭连接点在上时，则______； ②将2张纸片拼成如图2的，当共轭连接点P在上时，则______； (2)将4张纸片拼成如图3的，当共轭连接点在上时，求的长； (3)将4张纸片拼成如图4的： ①用圆规和无刻度的直尺作出所有的共轭连接点（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆内接四边形对角互补）； ②请直接写出______． 【答案】(1)①；② (2) (3)①作射线，在射线上取点E，使，连接， 作线段的垂直平分线交于点F， 以点F为圆心，以线段的长为半径画圆， 交边于两点，即为所求． ②或． 【分析】（1）①由，得，得，所以在中，．②图2中，由，，得，得四点共圆，由，得，得是等边三角形，即得． （2）由，，，可知点P在以点C为圆心，以的长为半径的上，得，由，即得． （3）①作点C关于的对称点E，使，连接，作线段的垂直平分线交于点F，以点F为圆心，以线段的长为半径画圆，交边于两点，即为所求．理由：由圆内接四边形性质得，由对称性，即得，即为所求．②连接，设，根据勾股定理，在中,写出值，在中,写出值的表达式，即可得到中,值的表达式，在中,运用勾股定理即可求出x值，即可求出的值；由对称性可求出的值． 【详解】（1）解：中，，，， ∴，， ∴． ①如图1，根据题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴中，． ②如图2，根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图3，根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵，且点、在的同侧， ∴点在以点为圆心，以的长为半径的上， ∴， ∵， ∴． （3）解：①作射线，在射线上取点E，使，连接， 作线段的垂直平分线交于点F， 以点F为圆心，以线段的长为半径画圆，交边于两点， 即为所求． 理由：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求． ②根据题意可得，， ∴， 连接， 设， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 解得， 又∵点在中点的左侧靠近点， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理，由对称性质得． 综上，或． 47．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 48．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 49．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 试卷第2页，共47页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.2.3 圆周角 目 录 A组 巩固过关 题型01圆周角的概念辨析 题型02圆周角定理的应用 题型03同弧或等弧所对的圆周角 题型04半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型05圆周角定理及推理在作图中的应用 题型06 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型07圆内接四边形性质的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 圆周角的概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    圆周角定理的应用题型02 4．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 同弧或等弧所对的圆周角题型03 8．（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 10．（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型04 11．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 13．（2026·山西晋中·二模）如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 圆周角定理及推理在作图中的应用题型05 15．（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，D是边上一点． (1)尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 17．（2026·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，在竖直网格线上，点在水平网格线上，以为直径的半圆经过，两点． （I）若，，则点到的距离为________； （II）与竖直网格线相交于点，点在半圆上，满足，连接，在线段上取一点，使线段最短．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型06 18．（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 19．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 20．《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 21．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 圆内接四边形性质的应用题型07 22．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·重庆·二模）如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 25．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·广东深圳·二模）如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为4，则弦长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 28．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·北京西城·三模）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 30．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 31．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 32．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 33．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 34．（2026·黑龙江·一模）如图，在中，于点，点在边上，与交于点于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 35．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 37．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 38．（2026·山东青岛·一模）如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 39．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 40．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1)是等边三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 41．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射门点到球门的张角大小时，张角越大，进球的成功率越高．已知在如图示的网格中（每个小正方形的边长均为），点均在格点上，球员带球沿方向进攻，建立平面直角坐标系．回答下列问题： (1)在三点中，到球门张角相等的两个点是______． (2)在线段上，进球成功率最高的点的坐标为______． 42．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 43．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，且都在上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的上，作点M使，点M在格点上且不与点B重合； (2)在图②的上，作点N使，点N在格点上； (3)在图③的上，作点D使． 44．请阅读下列材料，完成相应的任务： 克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______； 上述证明过程中的“依据1”为______； “依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 45．如图，把放置在菱形中，使得顶点，，分别在线段，，上，已知，，，且． （1）求的大小； （2）若，求的值； （3）若的三个顶点，，分别在线段，，上运动，请直接写出长的最大值和最小值． 46．（2026·广东深圳·三模）定义：在中，是的对角线，点是边上一点，分别连接，若满足，则称点为的“共轭连接点”．现有4张全等的直角三角形纸片，每一张都形如图a，其中，． (1)①将2张纸片拼成如图1的，当共轭连接点在上时，则______； ②将2张纸片拼成如图2的，当共轭连接点P在上时，则______； (2)将4张纸片拼成如图3的，当共轭连接点在上时，求的长； (3)将4张纸片拼成如图4的： ①用圆规和无刻度的直尺作出所有的共轭连接点（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆内接四边形对角互补）； ②请直接写出______． 47．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 48．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 49．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 试卷第2页，共47页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $