1.4.3空间向量的应用：空间距离问题（知识清单）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦空间向量在立体几何距离问题中的应用，系统梳理点到直线、点到平面、异面直线的距离及存在性问题。前承空间向量坐标运算与法向量知识，通过向量投影或模长转化距离计算，构建几何问题代数化的学习支架。 知识链路按“概念-规律-题型-探究”逻辑展开，配直观图示与公式推导，例题涵盖正方体、三棱台等几何体。习题分层设计，从基础计算到存在性探究，培养用数学思维推理空间关系，用向量语言表达距离本质，提升直观想象与运算素养。

第一章 空间向量与立体几何 第06讲 空间向量的应用：空间距离问题 用空间向量方法求距离 1.点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2.点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 注意：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 3.异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 题型一：空间向量求点到直线的距离 规律与方法： 点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝ 1.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】点到直线距离的向量求法 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 2.（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 3.（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 题型二：空间向量求点到平面的距离 规律与方法： 点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 1.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、求点面距离、锥体体积的有关计算、棱柱及其有关计算 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以，则点到平面的距离. 2.（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、证明面面平行 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 3.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．    (1)证明： 平面； (2)若，求点到平面的距离． 【解题思路】（1）取线段的中点，连接，记，连接，证明，，从而可证得平面 平面，再根据面面平行的性质即可得证； （2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【解答过程】（1）取线段的中点，连接，记，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 由题意可知四边形是矩形，则是的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 因为平面，且，所以平面 平面， 因为平面，所以 平面； （2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 故点到平面的距离．    题型三：空间向量求异面直线的距离 规律与方法： 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 1.（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 2.（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】求异面直线的距离、异面直线距离的向量求法 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 3.（2026·福建福州·模拟预测）如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． (1)若P是CD的中点，求证：平面； (2)定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； (3)若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：连接， 平面， 为直线与平面所成的角， ， ，， 在长方体中，以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，，， 当P是CD的中点时，，，，， ，， ，， ，平面， 平面； （2）解：，，， 设， ，， ， 取，得， 异面直线与的距离为：； （3）设，，， 点H在直线上，则， ， ，，， 因为， ， ， ，， 设平面MNP的法向量为， 由，得，令得：， 设平面的法向量为， ，， 由，得，令得：， 设平面MNP与平面的夹角为， ， ，N，P分别为棱上异于D点的动点， 由得：， 当时，， 当时，令，则， ， 平面MNP与平面所成夹角余弦值的取值范围为 题型四：空间向量：与距离相关的存在性问题 规律与方法： 1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在． 2.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)法一：证明：∵，平面，平面， ∴平面. 同理：平面. ∵，平面，平面， ∴平面平面. 又∵平面， ∴平面. 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图）， 则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量. 又因为， ∴，即. ∴. 又∵因为直线平面， ∴平面. (2)存在，点为线段上靠近的三等分点. 由（1）可得：，，，，， ∴，，，， 假设存在这样的点，且满足：， ∴. ∴. 设平面的法向量为，则 ，即. 假设，则，，∴ 设点到平面的距离为， ∴. 在△中，，. . ∴. ∴. ∵， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 2.（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成线面角的大小； (3)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明：取中点，连接，，，， 因为是棱的中点，易得四边形为平行四边形， 则平面即为平面， 因为，为的中点， 所以， 因为，，，所以， 所以，又为的中点， 所以， 因为，，平面， 所以平面，即平面． （2）由（1）知平面，则点在平面内的投影为，则即为所求线面角， 因为在中，，，所以， 所以， 所以直线与平面所成线面角为． （3）由（1）知平面，因为平面，且平面， 故平面平面，平面平面， 过点作于点，则平面，过点作于点，则平面， 因为，，，则， 所以，所以， 方法一（空间向量法）：设，则， 在中， 所以，， 又，所以点与点重合， 以为原点，分别以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以． 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以， 则有， 所以平面与平面的夹角为． 方法二（几何法）：过点作，连接， 因为平面，所以，则平面， 所以，则即为所求二面角， 在中，，，则， 在中，，，则， 由可得， 所以，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 3.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因，， ，则，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，故可取， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则. 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，则，假设线段上存在一点，满足， 代入坐标，可得，则， 由（2）已得平面的法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 即在线段上存在一点H在线段靠近E或F的四等分点处，使得点H到平面的距离为. 课后作业： 1.（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 2.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 3.（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】本题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量方法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 4.（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 5.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 6.（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】异面直线距离的向量求法、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 7.（多选 2025·陕西·三模）在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（    ） A．存在，满足 B．存在，使与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为定值 D．四面体的体积为定值 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题、锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，，，由关系证明，由此可得，令，求，判断A，令与所成角的余弦值为，求判断B，取的不同位置，说明点到平面的距离不相等判断C，结合锥体体积公式求四面体的体积判断D. 【详解】以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，． 因为点在上，故可设点的坐标为； 点在上，设点的坐标为，． 所以，． 因为，所以，得， 因此，点坐标为，其中． 若，则，故， 又，， 所以， 所以，即存在，满足，A正确； 因为，， 所以， 若与所成角的余弦值为，则， 化简可得，所以， 所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确； 设平面的法向量为， 则，又，， 所以，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以点到平面的距离为， 当或时，， 当时，，故不为定值，C错误； 四面体，即三棱锥的底面的面积为定值， 又平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故三棱锥的体积恒为定值，故D正确． 故选：ABD． 8.（多选 25-26高二下·广西河池·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使平面 C．若，则点到直线的距离为 D．若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】判断正方体的截面形状、点到直线距离的向量求法、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项. 【详解】因为，又因为点在线段上运动， 且在正方体中，平面， 所以动点到平面的距离不变， 故不变，A选项正确； 当点与点重合时，因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面, 所以，同理可证明， 因为，平面，所以平面， 因此存在点，使平面，B 选项错误； 以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在的投影， 所以点到直线的距离，C选项正确； 连接交于点，过点作，分别交于点， 连接和， 在正方体中，所以， 因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以四边形的周长为，D选项正确. 9.（多选 25-26高一下·浙江温州·期末）如图，正方体的棱长为2，点为的中点，动点，满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，则平面截该正方体的截面可能是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.38 【知识点】空间位置关系的向量证明、判断正方体的截面形状、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，取并用空间位置关系的向量证明判断A；按分类并确定截面判断B；按分类并确定截面判断C；利用空间距离的向量法求出最小值判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，即. 对于A，当时，点，则，而， 点直线，则，又平面，平面， 因此平面，即直线与平面可能平行，A正确； 对于B，当时，，点是线段中点， 若，则点与点重合，点不能确定平面，不符合题意， 若，则，而点，于是直线， 平面即平面，当时，线段与线段延长线交于点A， 此时平面截该正方体的截面是，B正确； 对于C，当时，点与点重合， 若，则点与点重合，平面截该正方体的截面为； 若时，则点与点重合，平面截该正方体的截面为四边形， 若，则过顶点的平面与正方形、正方形、正方形 中的两个有交线（若交线为正方体的某条棱，则取共该棱的两个正方形中的一个）， 与正方形无交线，因此平面截该正方体的截面不可能为五边形，C错误； 对于D，由，得，， 则， 则， ， ，于是不是钝角三角形， 则点到线段距离的最小值等于点到直线的距离， 而，，由， 得， 令，， 当且仅当，即时取等号，因此，D正确. 10.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 11.（26-27高三上·湖南·开学考试）在正三棱锥中，为棱的中点，四点，，，在球的球面上，，，，在球的球面上，若，则点到平面距离的平方为_________． 【答案】8或 【难度】0.42 【知识点】点到平面距离的向量求法、正棱锥及其有关计算 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用坐标法求坐标，建立方程求出即可得解. 【详解】记为中心，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 记， 由球心到球面的距离为半径可得， ， 解得， 又， 解得， 因为，所以 即，所以， 解得或. 于是所求距离的平方或 12.（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【难度】0.42 【知识点】点到平面距离的向量求法、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 13.（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 【答案】(1)如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【难度】0.71 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、求点面距离、求直线与平面的距离、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【详解】（1）略 （2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 14.（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成线面角的大小； (3)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明：取中点，连接，，，， 因为是棱的中点，易得四边形为平行四边形， 则平面即为平面， 因为，为的中点， 所以， 因为，，，所以， 所以，又为的中点， 所以， 因为，，平面， 所以平面，即平面． （2）由（1）知平面，则点在平面内的投影为，则即为所求线面角， 因为在中，，，所以， 所以， 所以直线与平面所成线面角为． （3）由（1）知平面，因为平面，且平面， 故平面平面，平面平面， 过点作于点，则平面，过点作于点，则平面， 因为，，，则， 所以，所以， 方法一（空间向量法）：设，则， 在中， 所以，， 又，所以点与点重合， 以为原点，分别以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以． 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以， 则有， 所以平面与平面的夹角为． 方法二（几何法）：过点作，连接， 因为平面，所以，则平面， 所以，则即为所求二面角， 在中，，，则， 在中，，，则， 由可得， 所以，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 15.（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，，，． 因为，， 所以， 所以，即． （2）三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当三棱锥的体积最大时，，此时， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的法向量为，则 因为，，所以 令，则，，所以． 设直线和平面所成的角为，则． 因为，， 所以，解得或（舍去），     所以． 16.（25-26高二下·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：； (2)若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明： 因为，，． 所以，故， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面, 所以． （2）因为，，所以，又，， 所以，如图建系直角坐标系． 所以，，，，， （i）因为，所以点的坐标为， 所以，， 则直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离，解得． （ii）已知平面的一个法向量为， ， 设平面的一个法向量为， 由，即，取． 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17.（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】求异面直线的距离、异面直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 18.（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； (3)假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 第06讲 空间向量的应用：空间距离问题 用空间向量方法求距离 1.点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2.点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 注意：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 3.异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 题型一：空间向量求点到直线的距离 规律与方法： 点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝ 1.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求直线与直线间的距离. 题型二：空间向量求点到平面的距离 规律与方法： 点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 1.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点． (1)证明： 平面； (2)若，求点到平面的距离． 题型三：空间向量求异面直线的距离 规律与方法： 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 1.（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．A C． D． 3.（2026·福建福州·模拟预测）如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． (1)若P是CD的中点，求证：平面； (2)定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； (3)若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 题型四：空间向量：与距离相关的存在性问题 规律与方法： 1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在． 2.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 2.（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成线面角的大小； (3)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 3.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 课后作业： 1.（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 4.（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 7.（多选 2025·陕西·三模）在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（    ） A．存在，满足 B．存在，使与所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为定值 D．四面体的体积为定值 8.（多选 25-26高二下·广西河池·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使平面 C．若，则点到直线的距离为 D．若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 9.（多选 25-26高一下·浙江温州·期末）如图，正方体的棱长为2，点为的中点，动点，满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，则平面截该正方体的截面可能是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 10.（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 11.（26-27高三上·湖南·开学考试）在正三棱锥中，为棱的中点，四点，，，在球的球面上，，，，在球的球面上，若，则点到平面距离的平方为_________． 12.（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    13.（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 14.（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成线面角的大小； (3)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 15.（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 16.（25-26高二下·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：； (2)若， （i）设，点到直线的距离为3，求的值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 17.（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 18.（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $