第1章 空间向量与立体几何概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“空间向量与立体几何”单元内容，涵盖空间向量的概念、运算、基本定理、坐标系及坐标表示，以及用向量研究立体几何位置关系、距离与夹角等核心范畴，搭建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单采用表格化分类呈现知识体系，按章节划分概念、定义及相关概念，如“共线向量”关联“平行向量、平行或重合”，体现知识完整性与条理性。特别设计“相关概念”列强化知识联系，“三步曲”明确应用步骤，培养数学思维与数学语言表达能力，助力学生高效自主复习，辅助教师精准教学。

第1章 空间向量与立体几何清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 空间向量及其运算 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，记作 或 。 向量、大小、方向、有向线段 空间向量的模 空间向量的大小称为向量的模（或长度），记作 。 模、长度、大小 零向量 模为 0 的向量叫做零向量，记作 ，零向量的方向任意。 零向量、方向任意 单位向量 模为 1 的向量叫做单位向量。 单位向量、模为1 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量。 相等向量、方向相同、模相等 相反向量 与向量 模相等、方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 。 相反向量、模相等、方向相反 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量，叫做共线向量或平行向量，记作 。 共线向量、平行向量、平行或重合 空间向量的加法 求两个空间向量和的运算叫做空间向量的加法，满足三角形法则和平行四边形法则。 加法、三角形法则、平行四边形法则 空间向量的减法 ，几何意义为连接两向量终点，方向指向被减向量。 减法、相反向量、几何意义 空间向量的数乘 实数 与向量 的积是一个向量，记作 ；其模为 ，方向当 时与 相同，当 时与 相反。 数乘、实数、模、方向 空间向量数乘的运算律 ；；。 数乘、运算律、结合律、分配律 共线向量定理 对空间任意两个向量 、（）， 的充要条件是存在实数 ，使 。 共线、定理、充要条件、数乘 空间向量的数量积 已知两个非零向量 、，则 叫做 、 的数量积，记作 。 数量积、内积、夹角、投影 向量数量积的性质 ；；。 垂直、模、夹角、数量积 向量数量积的运算律 ；；。 数量积、交换律、分配律、结合律 1.2 空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 。 不共面、唯一表示、有序实数组 基底 空间不共面的三个向量 、、 叫做空间的一个基底，记作 。 基底、不共面、基向量 基向量 基底中的三个向量 、、 都叫做基向量。 基向量、基底 单位正交基底 如果一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示。 单位正交基底、两两垂直、单位向量 空间向量的正交分解 由空间向量基本定理，对空间中的任意向量 ，均可分解为 （其中 、、 两两垂直）；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 正交分解、单位正交基底、分向量 1.3.1 空间直角坐标系 空间直角坐标系 在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以 为原点，分别以 、、 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴，此时就建立了一个空间直角坐标系 。 坐标轴、坐标平面、原点、单位正交基底 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴正方向，食指指向 轴正方向，如果中指指向 轴正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系；本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。 右手定则、x轴、y轴、z轴 空间点的坐标 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，向量 可唯一表示为 ；有序实数组 叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标。 位置向量、横坐标、纵坐标、竖坐标 空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 ；有序实数组 叫做向量 的坐标，记作 。 单位正交基底、坐标分解、位置向量 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 空间向量线性运算的坐标表示 设 ，，则 ，，（）。 加法、减法、数乘、坐标 空间向量数量积的坐标表示 设 ，，则 。 数量积、坐标、垂直 空间向量共线的坐标条件 设 ，，当 时，，，（）。 共线、数乘、坐标成比例 空间向量垂直的坐标条件 设 ，，当 ， 时，。 数量积、零、坐标、垂直 空间向量的模长公式 设 ，则 。 模、数量积、坐标 空间向量的坐标与有向线段端点的关系 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 位置向量、坐标差、有向线段 空间两点间的距离公式 设 ， 是空间中任意两点，则。 距离、坐标、模 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 空间点的位置向量 取定空间一点 ，则空间中任意一点 可以用向量 来表示；向量 称为点 的位置向量。 位置向量、原点 空间直线的向量表示 设点 在直线 上， 是直线 的方向向量，则点 在直线 上的充要条件是存在实数 ，使得 ，即 。 方向向量、参数方程、共线 空间平面的向量表示 空间一点 位于平面 内的充要条件是存在实数 ，，使得 （或 ）；空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。 共面向量、参数、不共线 平面的法向量 若直线 平面 ，取直线 的方向向量 ，则称 为平面 的法向量；给定一点 和一个向量 ，过点 且以 为法向量的平面完全确定，可表示为。 垂直、方向向量、平面方程 空间两条直线平行的向量条件 设 、 分别是直线 、 的方向向量，则 ，使得 。 方向向量、共线 直线与平面平行的向量条件 设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，且，则 。 方向向量、法向量、垂直 两个平面平行的向量条件 设 、 分别是平面 、 的法向量，则 ，使得 。 法向量、共线 空间两条直线垂直的向量条件 设 、 分别是直线 、 的方向向量，则 。 方向向量、数量积 直线与平面垂直的向量条件 设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 ，使得 。 方向向量、法向量、平行 两个平面垂直的向量条件 设 、 分别是平面 、 的法向量，则 。 法向量、二面角、数量积 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 点到直线的距离 设点 到直线 的距离为 ， 为直线 上一点， 为直线 的单位方向向量，则 投影向量、单位方向向量、勾股定理 点到平面的距离 设 是平面 的法向量， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，则点 到平面 的距离 法向量、投影、距离 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1) 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；(3) 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。 向量法、坐标法、转化 异面直线所成的角 设异面直线 、 所成的角为 ，其方向向量分别为 、，则（ 取锐角或直角）。 方向向量、夹角、余弦 直线与平面所成的角 设直线 与平面 所成的角为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 方向向量、法向量、线面角 两个平面的夹角 平面 与平面 的夹角是它们相交形成的四个二面角中不大于 的角；若 、 分别为 、 的法向量，则 法向量、二面角、平面夹角 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $