1.2空间向量基本定理（知识清单）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦空间向量基本定理及正交分解，从基底的定义与条件出发，明确基向量的特性，延伸至单位正交基底与向量正交分解，构建从概念到应用的学习支架。 知识链路按“概念辨析—向量表示—参数求解—证明与计算”递进，题型含选择、填空、解答，结合规律方法与地区真题。通过数学思维的逻辑推理（基底条件判断）和数学语言的规范表达（向量分解步骤），培养空间观念与应用能力。

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型一： 空间向量基底概念 规律与方法 1.几类特殊的空间向量：0向量、单位向量、共线向量的定义。 2.线性运算： （1）选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. （2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 即：； 1.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可. 【详解】选项 A： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 故不成立， 所以能构成基底，故A正确； 选项 B： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故B错误； 选项 C： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以，解得：（唯一解），因此向量组线性无关， 所以，，不共面， 所以能构成基底，故C正确； 选项 D： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故①正确； ②由，根据共面向量定理知四点不共面，故②错误； ③由，则向量与向量，共面，则不能构成空间的一个基底，故③错误； ④由于为空间的一个基底，则不共面， 设， 则无解，所以不共面， 所以能构成空间的一个基底，故④正确. 故选：C. 题型二：用空间基底表示向量 规律与方法 用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等 向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量． 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 2.（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 3.（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 题型三： 利用空间基本向量求参数 规律与方法 1. 空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3.利用空间向量基本定理。 1.（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 2.（26-27高三·全国·一轮复习）已知是空间的一个基底，，，若，则（      ） A．0 B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以存在实数，使得， 所以， 因为是空间的一个基底，所以，解得，所以. 3.在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 题型四： 正交分解 规律与方法 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1.设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【思路】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标. 【解答】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 2.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 3.已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝ ，z＝ ． 【解题思路】化简得到，对比系数得到答案. 【解答过程】根据题意知：，. 故； 故答案为：；. 题型五： 利用空间基本向量证明平行垂直 规律与方法 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2.若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 1.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可. 【解答过程】（1）由题知， ∴， 即， ∴共面. （2）由（1）知，共面且基线过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 2．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，作，，证明是的高，由判断；对于C，由点A，P在平面上的投影分别为点，判断；对于D，由空间向量的线性运算判断. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，故A正确； 作于点，则平面，又平面，则， 作于点，又平面，则平面， 又平面，则，所以是的高，因 ， 因为点是棱上的动点，则垂足也在动，则点到的距离也在变，即长度变， 虽然的长不变，但在变，而，则的面积不是定值，故B错误； 因为点A，P在平面上的投影分别为点，，所以向量在平面上的投影向量为，故C正确； 因为为的中点，且，所以，故D正确. 故选：ACD 题型六： 利用空间基本向量求夹角或距离 规律与方法 1．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 2．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 1.（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 2.（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 3．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 课后作业： 1.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 2.（25-26高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】利用向量三角形法则和平行四边形法则表示出来即可. 【详解】在平行六面体中， 连接，如图所示：    因为点为的中点，， 所以 ， 故选：A. 3.（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 4.（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 5.（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量基本定理及其应用、基本不等式求和的最小值、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 6.（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 8.（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据空间中四点共面的条件判断出P点所在的平面，进而转化为C点到该平面的距离问题可得. 【详解】如图：    取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 9.（多选 25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量共面求参数、判定空间向量共面 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确； 对于B，若，则是钝角或是，错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确； 对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 10.（多选 25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【知识点】空间向量基本定理及其应用、求投影向量、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 11.（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 12．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 13．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 14.已知是空间的一组基，且，，，． （1）能否构成空间的一组基？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． （2）判断，，，四点是否共面． 【解题思路】（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使， 即，列出关于的方程组，方程组无解则不共面，由已知把都用表示，代入即得； （2）假设，，，四点共面，则存在实数，，，使，且，但（1）中结论不满足，从而得不共面． 【解答过程】（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使， 即， 所以，方程组无解，所以向量，，不共面， 因此可以构成空间的一组基． 令，，， 由，得， 所以 ． （2）假设，，，四点共面，则存在实数，，，使，且． 由（1）知，但，故，，，四点不共面． 15.（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 16.已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答. （2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答. 【解答过程】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. 试卷第2页，共3页 30 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2.基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型一： 空间向量基底概念 规律与方法 1.几类特殊的空间向量：0向量、单位向量、共线向量的定义。 2.线性运算： （1）选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. （2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 即：； 1.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：用空间基底表示向量 规律与方法 用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等 向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量． 1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型三： 利用空间基本向量求参数 规律与方法 1. 空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3.利用空间向量基本定理。 1.（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）   A．1 B．2 C． D． 2.（26-27高三·全国·一轮复习）已知是空间的一个基底，，，若，则（      ） A．0 B． C．6 D．5 3.在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 题型四： 正交分解 规律与方法 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1.设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝ ，z＝ ． 题型五： 利用空间基本向量证明平行垂直 规律与方法 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2.若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 1.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. 2．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 题型六： 利用空间基本向量求夹角或距离 规律与方法 1．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 2．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 1.（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（多选 25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 3．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 课后作业： 1.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 3.（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 5.（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 6.（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 8.（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 9.（多选 25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10.（多选 25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 11.（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 12．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 13．（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 14.已知是空间的一组基，且，，，． （1）能否构成空间的一组基？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． （2）判断，，，四点是否共面． 15.（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 16.已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 试卷第2页，共3页 30 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $